Математика (семестр 2, часть 2)

ЛЕКЦИЯ № 12. 13. 05. 2016

Приложения рядов Тейлора.

1. Приближѐнные вычисления.

Значения функции в точке можно приближѐнно вычислять с помощью разложения в ряд Тейлора, более того, во всех калькуляторах и компьютерах именно так и запрограммировано. Каждая функция там задана просто в виде набора коэффициентов ряда, и при обращении к функции именно это и вычисляется автоматически, с той точностью, с которой позволяет разрядная сетка калькулятора.

каждым шагом всѐ ближе к e 2,71828.

2. Нахождение производной высокого порядка.

Если разложить функцию в ряд и рассмотреть слагаемое со степенью

n, то можно сравнить его с теоретически полученным видом f (n) (x0 ) n!

и отсюда извлекается информация о значении f (n) (x0 ) , причѐм не

требуется вычислять все производные включительно до n порядка, а сразу получаем значение n-й производной в точке. Ведь бывает так, что функция содержит произведение, и там число слагаемых удваивается на каждом шаге, и их уже 1024 для 10-й производной.

41

Здесь нам нужен только коэффициент при степени 10.

3. Нахождение определѐнного интеграла.

Если функция требует больших трудоѐмких подстановок, или многократного интегрирования по частям, можно разложить функцию в ряд, состоящий из степенных функций, и приближѐнно вычислить.

слагаемые заведомо меньше 10 5 , и не повлияют на 4-й знак после запятой, поэтому приближѐнное значение

Как видим, даже 2-е слагаемое можно было не рассматривать, т.к.

оно меньше, чем 10 4 .

4. Решение дифференциальных уравнений.

Можно представить неизвестную функцию y(x) в виде степенного ряда y a0 a1x a2 x2 ... и подставить его в дифференциальное

уравнение, тогда решение найдѐтся тоже в виде ряда, т.е. можно знать строение решения, его график и т.д. даже без аналитического выражения этой функции. .

Пример. y y решить с помощью рядов.

y a0 a1x a2 x2 ... тогда y a1 2a2 x 3a3 x2 ...

42

Из равенства a1 2a2 x 3a3 x2 ... = a0 a1x a2 x2 ... получаем: a1 a0 , 2a2 a1 , 3a3 a2 и так далее.

В этом случае все коэффициенты можно последовательно выразить

что в скобках получилось разложение экспоненты. Итак, y a0ex . Эту единственную константу можно переобозначить C и получится знакомый из вид общего решения такого уравнения: y Ce x .

Ряды ЛОРАНА.

Ряд вида an (z z0 )n , то есть содержащий как положительные, так

n

и отрицательные целые степени, называется рядом Лорана. Совокупность слагаемых с нулевой и положительной степенью называется его правильной частью, а отрицательных - главной частью.

Теорема 1. Область сходимости ряда Лорана есть кольцо вида

Доказательство. Распишем по отдельности на главную и

1. Для правильной части верна теорема Абеля, ведь это обычный степенной ряд. Правильная часть абсолютно сходится в некотором

круге z z0 R .

43

Решение. Найдѐм отдельно по радикальному признаку Коши область сходимости правильной и главной части.

Разложение в ряд Лорана с помощью геометрической прогрессии.

44

в) в ряд Тейлора в круге z 2.

Чертѐж:

D2 2 z 3 кольцо, расположенное между двумя точками

разрыва, так, чтобы ни одна из низ не была внутри кольца. Разложим на простейшие дроби. Это действие необходимо в любом случае, независимо от того, в каком множестве надо получать разложение в ряд.

1) Для разложения в ряд Лорана в кольце, надо вынести за скобку иногда константу, а иногда z , чтобы всегда получалось что-то меньшее 1.

45

является суммой геометрической прогрессии, и его можно превратить

2) Теперь разложим в ряд во внешней области, которую, впрочем,

46

т.к. в каждом слагаемом есть одинаковые степени.

только главная часть.

3) Если требуется разложить в ряд в круге, то это получится ряд Тейлора, там наоборот, в обеих дробях надо выносить константу,