Ucheb_posobie_ETE_zadachi
.pdf
61
Рис. 2.43. Результаты моделирования принципиальной схемы в Multisim
2.3. Соединение трехфазных потребителей электроэнергии треугольником
Соединение трехфазного потребителя электрической энергии треугольником – это соединение, при котором конец предыдущей фазы соединяется с началом последующей фазы. При этом начала всех фаз потребителя присоединяются к трехфазному источнику электрической энергии с помощью линейных проводов (рис. 2.44). Из схемы видно, что каждая фаза потребителя присоединяется соответственно к двум линейным проводам. Поэтому при соединении потребителя треугольником фазные напряжения оказываются равными соответствующим линейным напряжениям (в соответствии со вторым законом Кирхгофа):
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
ICA |
|
IAB |
IA |
A |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
ZCA |
|
|
|
|
ZAB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UAB |
|
|
|
|
|
|
|
|
UCA |
|
|
|
|
ZBC |
|
b |
IB |
|
c |
|
|
|
|
|
B |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IBC |
|
UBC |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IC |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.44. Схема соединения трехфазного потребителя электроэнергии треугольником
UФ = UЛ |
(2.9) |
Соотношения между комплексными фазными (IAB, IBC, ICA) и комплексными линейными (IA, IB, IC) токами могут быть получены на основании первого закона Кирхгофа, уравнения по которому независимо от величины и характера сопротивлений потребителя составляются для узлов
разветвления токов, имеющихся в начале каждой фазы потребителя:
62
IA = IAB – ICA; |
|
IB = IBC – IAB; |
(2.10) |
IC = ICA – IBC. |
|
Если вектор UAB направить по вещественной положительной оси, тогда:
U |
|
U |
e |
j0 |
U |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
AB |
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
j120 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|||||
U |
|
U |
e |
|
U |
|
|
|
|
j |
|
|
||||||
BC |
|
|
|
Л |
|
|
|
; |
||||||||||
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
U |
|
U |
e |
j120 |
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
CA |
|
|
Л |
|
|
j . |
||||||||||||
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Комплексные фазные токи находим по закону Ома:
(2.11)
I I I
AB
BC
CA
UAB ; ZAB
UBC ; ZBC
UCA . ZCA
(2.12)
Фазные углы находим из треугольника сопротивлений для каждой фазы:
|
|
|
|
ZAB |
|
|
|
tg AB |
|
|
X AB |
; |
|
||||||
|
|
|
|
XAB = XL |
− XC |
|
R AB |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
φAB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X BC |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
; |
|
||||
|
|
|
|
|
RAB |
|
|
|
BC |
|
|
(2.13) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R BC |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
X CA |
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CA |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R CA |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 2.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Дано: трехфазный потребитель, соединенный треугольником (рис. 2.44). |
|||||||||||||||||
U |
Л |
220 В; |
Z |
AB |
5 |
3 j5 Ом; Z |
BC |
10 Ом; Z |
CA |
5 3 j5 Ом. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найти: комплексные и действующие значения линейных токов (IA, IB, IC), активную, реактивную и полную комплексную мощности фаз АВ, ВС и СА, а также всей трехфазной цепи. Построить векторную диаграмму токов и
63
напряжений.
Результаты решения задачи проверить в Mathcad и/или Multisim. Решение:
Комплексные и действующие значения линейных (фазных) напряжений:
U U
U
АВ
ВС
СА
U
U
U
Л
Л
Л
220 (B); |
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
j |
3 |
|
110 j110 |
3 |
(B); |
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
j |
3 |
|
110 j110 |
3 |
(B). |
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U |
АВ |
220 B; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
( 110) |
2 |
( 190) |
2 |
220 B; |
|
ВС |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
( 110) |
2 |
(190) |
2 |
220 B. |
|
СА |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Комплексные и действующие значения фазных токов:
I |
|
|
U |
АВ |
|
|
220 |
19 j11 (A); |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
АВ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Z |
|
|
|
5 |
3 j5 |
|
|
||
|
|
|
АВ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I |
|
|
U |
|
ВC |
|
110 j110 |
3 |
11 j19 (A); |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ВC |
Z |
|
|
|
10 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ВC |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I |
|
|
U |
CA |
|
110 j110 |
3 |
j22 (A). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
CA |
Z |
|
|
|
5 |
3 j5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
CA |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
IАВ 
192 112 22 A;
IВС 
11 2 ( 19)2 22 A;
IСА 
222 22 A.
Комплексные и действующие значения линейных токов:
IA = IAB – ICA = 19 + j11− j22 = 19 − j11 (A);
IB = IBC – IAB = –11 – j19 −19 − j11= −30 − j30 (A); IC = ICA – IBC = j22 – ( – 11 – j19) = 11 + j41 (A).
64
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
19 |
2 |
( 11) |
2 |
22 A; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
( 30) |
2 |
42,43 A; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
30 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
42,45 A. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
11 |
|
41 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Активную мощность каждой фазы можно определить по двум |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
выражениям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
P |
|
I |
|
|
R |
|
|
|
|
19 |
|
|
|
5 |
3 4174 Вт; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
AB |
|
AB |
|
11 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
P |
|
Re(U |
|
|
|
I |
* |
|
|
) Re 220 (19 j11) 4174 Вт. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
AB |
AB |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
I |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 11) |
( 19) |
|
|
10 |
4820 Вт; |
||||||||||||||||
|
|
BC |
BC |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
BC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) Re ( 110 j110 |
|
|
) ( 11 j19) 4820 Вт. |
|||||||||||||||||||||
|
P |
|
Re(U |
|
|
I |
* |
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
BC |
BC |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
BC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
I |
R |
|
|
|
|
|
|
22 |
5 |
|
3 4192 Вт; |
|||||||||||||||||||||
|
|
СA |
СA |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
СA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re ( 110 j110 |
3 ) ( j22) 4192 Вт. |
|||||||||||||||||
|
|
P |
Re(U |
|
|
|
I |
* |
|
) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
СA |
СA |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
СA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
И так как величины мощностей каждой фазы, рассчитанные по обеим формулам, одинаковы, то это означает, что задача решена правильно.
Активная мощность всей трехфазной цепи определяется суммой активных мощностей отдельных фаз:
P = PAB + PBC + PCA= 4174 + 4820 + 4192 = 13186 Вт.
Реактивную мощность каждой фазы можно также определить по двум выражениям:
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
I |
|
X |
|
|
|
|
|
19 |
|
( 5) |
2420 ВАр; |
||||||||||||||||
|
|
AB |
AB |
AB |
|
|
11 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Q |
|
|
Im(U |
|
|
|
I |
* |
) Im 220 (19 j11) 2420 ВАр. |
|||||||||||||||||||||
|
|
AB |
AB |
AB |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
Q |
|
|
I |
|
X |
|
|
|
|
|
( 11) |
|
( 19) |
0 0 ВАр; |
||||||||||||||||||
BC |
BC |
BC |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) Im ( 110 j110 |
|
|
) ( 11 j19) 0 ВАр. |
||||||||||||||||||||
Q |
|
Im(U |
|
|
I |
* |
|
3 |
||||||||||||||||||||||||
BC |
BC |
BC |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
I2 |
|
X |
|
|
|
|
|
|
2 |
5 2420 ВАр; |
||||||||||||||||||||
Q |
СA |
|
СA |
|
|
222 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
СA |
|
|
|
|
|
|
|
) Im ( 110 j110 |
|
|
|
) ( j22) 2420 ВАр. |
|||||||||||||||||
|
|
Im(U |
|
|
I* |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Q |
СA |
СA |
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Реактивная мощность всей трехфазной цепи определяется суммой реактивных мощностей отдельных фаз:
Q = QAB + QBC + QCA= -2420 + 0 + 2420 = 0 (Вт).
Полная комплексная мощность фаз АВ, ВС и СА, а также всей трехфазной цепи.
SU I* P jQ (ВA).
ФФ Ф
S |
АВ |
P |
jQ |
АВ |
4174 j2420 (ВA); |
|||
|
|
АВ |
|
|
|
|||
S |
ВC |
P |
jQ |
ВC |
|
4820 j0 (ВA); |
||
|
|
ВC |
|
|
|
|
||
S |
CА |
P |
jQ |
CА |
4192 j2420 (ВA); |
|||
|
|
CА |
|
|
|
|||
S |
|
|
|
13186 j0 (ВA). |
||||
|
P j |
Q |
||||||
Построение векторной диаграммы (рис. 2.45).
+Re
UAB
|
IAB |
|
|
|
|
IA |
|
|
|
+j |
φAB |
IB |
||
IСA φCA |
0 |
-j |
||
|
||||
IBC
IC
UCA 
UBC
-Re
Рис. 2.45. Векторная диаграмма к примеру 2.2
Для построения векторной диаграммы развернем оси (Re, j) на +90 . Вектор фазного напряжения UAB направляем по вещественной положительной оси (+Re), относительно него под углом ±120° строим векторы фазных напряжений UCA и UBC.
Векторы фазных токов строим относительно векторов фазных
66
напряжений в соответствии с характером нагрузки на каждой фазе. Для фазы АВ (из треугольника сопротивлений) фазный угол равен:
φAB = arctg |
X AB |
= arctg |
5 |
||
|
|
||||
RAB |
5 |
3 |
|||
|
|
||||
для фаз ВС и СА соответственно:
φBC = arctg |
X |
BC |
= arctg |
0 |
|
|
|||
R |
|
10 |
||
|
|
|
||
|
BC |
|
|
|
30
=0º ,
,
φCA = arctg
XCA
RCA
= arctg 553 30 .
Векторы линейных токов получают, соединяя концы векторов соответствующих фазных токов.
Проверку расчета трехфазной цепи осуществляем посредством математического и имитационного моделирования в Mathcad и Multisim. Ниже представлены фрагменты такого расчета (рис. 2.46 – 2.50).
Рис. 2.46. Фрагмент 1-го расчета трехфазной цепи по схеме треугольник в Mathcad
67
Рис. 2.47. Фрагмент 2-го расчета трехфазной цепи по схеме треугольник в Mathcad
68
Рис. 2.48. Фрагмент 3-го расчета трехфазной цепи по схеме треугольник в Mathcad
Рис. 2.49. Векторная диаграмма трехфазной цепи по схеме треугольник в Mathcad 69
70
Рис. 2.50. Имитационная модель трехфазной цепи по схеме треугольник в Multisim