2 курс ОАУ(ТАУ) [препод. Петунин В.И.] / Практики / Практика_3

Практическое занятие № 3

УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Рис. 1. Структурная схема САУ

Задача 1. Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

p3 p2 2p 1 0.

Определить устойчивость системы. Решение.

Условия устойчивости

a0 0, a1 0, a2 0, a3 0, a1a2 a0a3 0

Все коэффициенты положительные, тогда

2 a1a2 a0a3 1 2 1 1 1 0.

Следовательно, система устойчивая.

Задача 2. Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

5p3 2p2 3p 1 0.

Определить устойчивость системы.

Решение. Система неустойчивая, так как a2 3 0.

Задача 3. Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

1

p4 p3 p2 p 1 0.

Определить устойчивость системы. Решение.

Условия устойчивости

a0 0, a1 0, a2 0, a3 0, a4 0,

a1a2a3 a0a32 a12a4 0.

Все коэффициенты положительные, тогда

3 a1a2a3 a0a32 a12a4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.

Следовательно, система неустойчивая.

Задача 4. Передаточная функция разомкнутой системы с единичной обратной связью

W((p) k . p(Tp 1)

Определить условия устойчивости замкнутой системы. Решение.

Для устойчивости необходимо, чтобы a0 0;a1 0; a2 0, т.е.

T 0;1 0; k 0.

Условия устойчивости T 0; k 0

Задача 5. Определить устойчивость замкнутой системы, если передаточная функция разомкнутой системы с единичной обратной связью имеет вид

k

W((p) p2(Tp 1).

Решение.

2

Характеристическое уравнение замкнутой системы

Замкнутая система структурно неустойчива, т.е. неустойчива при любых значениях k и T .

Задача 6. Передаточная функция разомкнутой САУ имеет вид

p(T1p 1)(T2 p 1)

Определить значение постоянной времени T3, при котором замкнутая система находится на границе устойчивости.

Решение.

p(T1p 1)(T2 p 1) k(T3p 1)

T1T1p3 (T1 T2)p2 (1 kT3)p k 0.

Условия устойчивости

a0 0, a1 0, a2 0, a3 0, a1a2 a0a3 0.

Отсюда

Задача 7. Определить с помощью критерия Михайлова условия устойчивости системы автоматического регулирования с передаточной функцией в разомкнутом состоянии

Решение. Характеристическое уравнение замкнутой системы

D(p) Q(p) k p(T1p 1)(T2 p 1) k 0.

3

Построим годограф Михайлова

D j j 1 j T1 1 j T2 U jV ,

где

Cистема будет на границе устойчивости, если годограф D( jω) пройдет через начало координат. Величина kкр может быть опреде-

лена из уравнений:

где ω0 – частота, соответствующая точке пересечения годографа D( jω) с началом координат.

Решая уравнения (3.1) и (3.2), получим

ω20 1/T1T2;

kкр ω02(T1 T2).

Следовательно

k kкр (T1 T2)/T1T2 1/T1 1/T2.

Задача 8. САУ имеет характеристическое уравнение пятого порядка. Годограф Михайлова имеет вид

Рис. 2

Определить число корней характеристического уравнения в правой и левой части комплексной плоскости.

Решение.

4

Отсюда получаем:

l m 5;

l m 1.

Тогда число левых корней l 3, число правых корней m 2.

Задача 9. С помощью критерия Найквиста определить устойчивость систем, приведенных на рис. 3 и рис. 4.

Рис. 3 Рис. 4

Решение. САУ на рис. 3 – устойчивая, на рис. 4 – структурно неустойчивая.

Задача 10. Применить критерий Найквиста для определения предельного (критического) коэффициента системы регулирования с передаточной функцией разомкнутой системы

где ω-π – частота, на которой годограф пересекает отрицательную действительную полуось. Она может быть получена из уравнения

В рассматриваемом примере числитель передаточной функции W(p) представляет собой действительное число k , поэтому последнее уравнение (3.4) удовлетворяется при значениях ω, обращающих в нуль мнимую часть знаменателя W( jω):

5

Im[ jω-π(1 jω-πT1)(1 jω-πT2)] 0

или

1 T1T2ω-2π 0,

откуда

ω2-π 1/T1T2.

На этой частоте знаменатель представляет собой действитель-

ную величину, равную ω-2π(T1 T2), поэтому

|W(jω-π)| kT1T2 /(T1 T2),

что при подстановке в (3.3) дает kкр (T1 T2)/T1T2 1/T1 1/T2.

Задача 11. Передаточная функция разомкнутой системы равна

где K 0; T 0; n 0.

Определить условие устойчивости замкнутой системы.

Рис. 5

Решение. Запас устойчивости по амплитуде

1 | A(ω π)| 0.

ФЧХ САУ

(ω) n arctg(ωT).

Для точкиω ω π

(ω-π) n arctg(ω-πT) π.

Тогда

6

ω πT tg π. n

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы

Задача 12. С помощью критерия Найквиста определить устойчивость системы, приведенной на рис. 6.

Рис. 6

Решение. АФЧХ разомкнутой системы

Тогда, если

7

tg( ) 1ωω-π-2π 0, то -π и U( -π) 0.

Рис. 7

Таким образом, годограф W( jω)находится в 4 и 3 квадрантах, не охватывает точку ( 1, j0) и, следовательно, САУ – устойчивая.

Задача 13. Определить область устойчивости для коэффициентов α и β характеристического уравнения

p3 αp2 βp 1 0.

Решение. В этом случае

P(p) p2;Q(p) p; R(p) p3 1.

Уравнение для границы D-разбиения:

αω2 jβω jω3 1 0.

Уравнения для действительной и мнимой частей:

αω2 1 0, βω ω3 0.

Отсюда α 1/ω2, β ω2.

Исключая параметр ω, получаемграницуD-разбиения:

αβ 1.

Так как α 0,β 0, то

Если значение α откладывается по горизонтальной оси, а значение β – по вертикальной оси, то областью устойчивости является область в первом квадранте выше гиперболы αβ 1.

8