1

1−cos

2

1

1

1

1

2

f (z)=

z +2

=

−

cos

=

z +2

2

z +2

2

z +2

z +2

2

(−1)

n 2

2n

1

1

1

1

2

2

1

2

4

1

2

z +

=

−

1−

+

−...+

+...

=

2 z +2 2 z +2

z +2 2!

z +2

4!

(2n)!

1

1

1

(

)

n

2n

∞

−1

2

=

−

∑

.

2

z +2

2

(z +2)

2n+1

(

2n)!

n=0

Определение.

Точку

а

называют нулем функции

f (z) комплексного переменного z,

если f (a) = 0 .

Пусть функция f (z)

является аналитической в точке

а . Точка z = a является нулём

функции

f (z)

кратности

(или

порядка)

m

если

выполнены

условия

′

′′

m−1

(a) = 0 и f

m

(a) ≠ 0 . Таким

образом,

порядок

нуля совпадает с

f (a) = f (a) =

f (a) = = f

наименьшим порядком отличной от нуля производной функции

f (z) .

Из данного определения можно получить следующие равносильные утверждения:

1. Точка z = a является нулём кратности m функции

f (z), аналитической в точке a , тогда

и только тогда,

когда

в

некоторой

окрестности этой

точки

имеет

место

равенство

f (z) = (z −a)m ϕ(z), где функция ϕ (z) аналитична в точке a и ϕ(a)≠ 0 .

2. Разложение функции

f (z)

в точке z = a , являющейся для этой функции нулём кратности

∞

m , имеет вид

f (z) = ∑cn (z −a)n = cm (z −a)m +cm+1(z −a)m+1 +...,

cm ≠ 0 .

n=m

3.

Порядок нуля z = a

для функции

f (z) можно определить как число m , при котором

f (z)

A(z −a)m , A ≠ 0 .

z→a

Пример. Найти порядок нуля

z = 0 для функции

f (z) =

z5

.

Используя разложение в

z

−sin z

ряд Тейлора для функции sin z в окрестности точки z = 0 , получим

f (z) =

z5

=

z5

==

z5

=

z −sin z

z3

z5

(−1)n z2n+1

z3

−

z5

+...

−

(−1)n z2n+1

z −

z

−

+

−

... +

(2n +1)!

3!

5!

(2n +1)!

3!

5!

= z2

1

.

1

−

z2

+... −

(−1)n z2n−2

3!

5!

(2n +1)!

Если положить

ϕ (z) =

1

,

то станет ясно,

что f (z) = z2ϕ(z),

причём

1

z

2

(−1)n z2n−2

−

+... −

(2n +1)!

3!

5!

ϕ(z)≠ 0 или

f (z)

Az2 ,

A ≠ 0 .

z→0

Итак,

f (z) =

z5

имеет в точке z = 0 нуль 2 порядка.

z −sin z

14.2 Изолированные особые точки функции комплексного переменного

Точка

z = a

называется особой точкой функции

f (z) , если в ней функция не определена

или теряет аналитичность.

Особая точка называется изолированной особой точкой функции f (z)

если она имеет

окрестность, в которой нет других особых точек.

Изолированную особую точку z = a однозначной функции

f (z) называют:

1. устранимой особойточкой, если существует конечный предел lim f (z) = A ≠ ∞;

z→a

2. полюсом

порядка

m,

если

существует

конечный

отличный от

нуля

предел

lim f (z)(z −a)m = A,

A ≠ 0 ,

A ≠ ∞ (ясно,

что при этом lim f (z) = ∞).

Полюс первого порядка

z→a

z→a

называют также простым полюсом;

3. существенно особой точкой, если не существует ни конечного, ни бесконечного предела

функции f (z) при z → a .

Изолированная особая точка z = a

функции

f (z) является:

∞

главная часть, т.е.

f (z) = ∑cn (z − a)n , при

0 <

z − a

< r .

n=0

2. Полюсом порядка m, если лорановское разложение функции f (z) в окрестности точки

(z −a)−m , т.е. f

∞

(z) = ∑cn (z − a)n ,

при

0 <

z − a

< r

и где m > 0 и c−m ≠ 0

(число m есть порядок

n=−m

полюса z = a ).

Иными словами, изолированная особая точка z = a

для функции

f (z) является полюсом

порядка m , если для функции

1

f

(z)

она является нулём порядка m .

Очевидно,

что z = a

- полюс

порядка m

для

f (z) тогда и

только тогда, когда

f (z)

A

, A ≠ 0 .

(z −a)m

z→a

3.

Существенно особой точкой,

если лорановское разложение f (z) в окрестности точки

+∞

f

(z) = ∑cn (z − a)n ,

при

0 <

z − a

< r

и где среди

коэффициентов

с−1 ,с−2 ,...

есть

n=−∞

бесконечное число нулевых.

Примеры.

1.

Для

функции

f (z)

=

2z

особая

точка

z = 0

является устранимой,

так

как

ez −1

lim

2z

= lim

2z

= 2.

ez −1

z→0

z→0

z

2.

Для функции

f (z) =

2 + z

особая точка

z = i

является полюсом 1

порядка,

так как

z −i

lim

2 + z

= ∞ и в этой точке функция

z −i

имеет нуль 1 порядка.

z −i

2 + z

z→i

3.

Для функции

f (z) =

1

особая точка

z = 5 является полюсом 4 порядка, так как

(z −5)4

lim

1

= ∞ и в этой точке функция (z −5)4

имеет нуль 4 порядка.

(z −5)4

z→5

1

и g(z) = sin

1

особая точка z = 0 является существенно особой,

4. Для функций f (z) = ez

z

По аналогии с изолированными нулями функции, если lim f (z)= 0 , то z = ∞ называется

z→∞

нулём функции f (z). Если f (z)

A

, A ≠ 0 , то z = ∞ называется нулём функции

f (z) порядка

z→∞ zm

m .

Аналогично определениям для конечных изолированных особых точек,

особая точка z = ∞

функции f (z) является:

1. устранимой особой точкой, если лорановское разложение функции

f (z)

в окрестности

точки z = ∞ не содержит положительных степеней z (отсутствует его главная часть):

f (z) = ∑ cn zn

= ∑c−nn , при

z > R .

0

∞

n=−∞

n=0

z

2. полюсом порядка

m , если лорановское разложение функции f (z) в окрестности точки

z = ∞ имеет m ненулевых слагаемых с положительными степенями z :

m

f (z) = ∑cn zn , при

z

> R ,

m N , cm ≠ 0 .

n=−∞

В этом случае

f (z)

Azm , A ≠ 0 .

z→∞

3. существенно особой точкой, если лорановское разложение функции

f (z)

в окрестности

+∞

f

(z) = ∑ cn zn , при

z

> R .

n=−∞

Примеры.

1.

Для функции

f (z) =1 +

1

особая точка z = ∞ является устранимой так как

z2