Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

11-02-2013_11-32-37 / TFKP_OI_elektr.pdf

Скачиваний:

142

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

562.06 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Пример. Произведением двух комплексных чисел z1 = 3 +7i и z2 = −1+2i будет комплексное число z1z2 = (3 +7i)(−1+2i)= −3 −7i +6i −14 = −17 −i .

Произведением комплексно сопряжённых чисел является действительное число.

Действительно, (x +iy)(x −iy)= x2 +iyx −iyx −i2 y2 = x2 + y2 .

4.4 Деление комплексных чисел

Частным двух

комплексных чисел

z1 = x1 +iy1

z2 = x2 +iy2 ,

≠ 0

называется

комплексное число, вычисляемое по правилу

z1z2

x1x2

+ y1 y2

x2 y1 − x1 y2

x2 + y2

+ y

Иногда сначала

определяют при z

≠ 0

величину

−i

. Тогда

x2 + y2

+ y2

z1 = z1 1 и далее используется операцияумножения комплексных чисел. z2 z2

3 +i

(3 +i)(4 +3i)

12 +4i +9i −3

9 13

Пример.

+ 25 i .

4 −3i

(4 −3i)(4 +3i)

16 +9

5. Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Тригонометрическая (или полярная) форма записи комплексного числа

имеет

вид

z = r (cosϕ +i sinϕ), где

r =

x2 + y2

- модуль комплексного числа.

ϕ - аргумент комплексного числа.

Аргумент

комплексного числа

z = x +iy

при

x ≠ 0 вычисляется исходя

из

того,

что

tg (Argz)= tgϕ = xy . Случай когда x = 0 рассмотрен чуть ниже.

Главное значение аргумента комплексного числа, обозначаемое arg z , есть такое значение аргумента комплексного числа, которое удовлетворяет условию −π < arg z ≤π (иногда, для удобства, выбирают 0 ≤ arg z < 2π ). Соответственно, Argz = argz +2kπ , где k Z .

Главное значение аргумента комплексного числа можно найти по следующему правилу

Оглавление Е.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»

7
			arctg (y x), x > 0
		π	+arctg (y x), x < 0, y ≥ 0
		π	+arctg (y x), x < 0, y ≥ 0
arg z =		π	+arctg (y x), x	<	0, y	<	0
	-		+arctg (y x), x		0, y		0
			π 2, x = 0, y > 0
			π 2, x = 0, y > 0
			−π 2, x = 0, y > 0
			−π 2, x = 0, y > 0

Пример. Найдём модуль и главное значение аргумента для следующих комплексных чисел z1 =1+i : z1 = 2 , arg (z1 )=π4 ;

z2 =1−3 i : z2 = 2 , arg (z2 )= −π3; z3 = −2 +2i : z3 = 22 , arg (z3 )= 3π4;

z4 = −1−	i	:	z4	= 2		, arg (z4 )= −5π 6 ;
					3


	3

6.Действия с комплексными числами втригонометрической форме

6.1Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

При умножении двух комплексных чисел z1 = r1 (cosϕ1 +i sinϕ1 )

и z2

= r2 (cosϕ2 +i sinϕ2 )

тригонометрической форме их

модули

следует

перемножить,

аргументы сложить:

z1z2 = r1r2 (cos(ϕ1 +ϕ2 )+i sin (ϕ1 +ϕ2 )), то есть

z1z2

, Arg (z1z2 )= Argz1 +Argz2 .

6.2 Деление комплексных чисел в тригонометрической форме

При делении двух комплексных

чисел z1 = r1 (cosϕ1 +i sinϕ1 )

и z2

= r2 (cosϕ2 +i sinϕ2 )

тригонометрической форме при z2 ≠ 0

(а значит, и r2

≠ 0 ) модуль делимого надо разделить на

модуль делителя, а аргумент делителя вычесть из аргумента делимого:

(cos(ϕ1 −ϕ2 ) +i sin(ϕ1 −ϕ2 )).

То есть,

z	=	z1	, Arg	z
z		z1		z
1				1	= Argz − Argz		.
					= Argz − Argz		.
z2		z2		z2	1	2
z2		z2		z2

Оглавление Е.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»

6.3 Возведение комплексного числа в целую положительную степень

При возведении комплексного числа в целую положительную степень удобно предварительно записать его в тригонометрической форме после чего воспользоваться формулой Муавра возведения комплексного числа в целую положительную степень.

zn = (r(cosϕ +i sinϕ))n = rn (cos nϕ +i sin nϕ).

3π

Пример.

(3 +3i)

+i sin

= (3 2 )

+i sin

= 3

cos

= −54 +54i .

= 54 2

−

6.4 Извлечение корня целой положительной степени из комплексного числа

arg z +2kπ

+i sin

arg z +2kπ

n z = n r

cos

k = 0,1,..., n −

Из этого соотношения называемого формулой Муавра извлечения корня целой

положительной степени из комплексного числа, следует, что среди возможных значений

(при z ≠ 0 ) различными будут n значений, соответствующих, например, значениям k =

0, n −1.

Геометрически, все значения n

располагаются на окружности с центром в точке z = 0 и

радиусом

и являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в эту окружность.

Пример.

Найдём

где

a .

этого

корня

различных значений zk ,

при

k = 0,1,2,3 a −1.

Поскольку

1 =1(cos(0)+i sin (0)), то

значения

корня имеют

вид

0 +2kπ

+i sin

0 +2kπ

2kπ

+i sin

2kπ

. Они лежат на окружности с центром в

zk =1 cos

1 cos

точке z = 0 и радиусом 1, являются вершинами правильного a-угольника, вписанного в эту окружность и при этом координаты одной из вершин имеют вид (1,0).

Оглавление Е.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»

Пример.

Решим уравнение

3 −3i . Учтём,

что

(3 −3i)= 3 2

−

. У

cos −

+i sin

этого

уравнения

корня

zk ,

k = 0,1,2,3 , которые имеют вид

−

+2kπ

−

2kπ

zk = 4 3

, а именно

cos

+i sin

−

= 8 18 cos

+i sin

= 8

cos −

+i sin

−

z = 8

cos

−

2π

+i sin

−

4 +2π

cos 7π +i sin

7π ,

−

+4π

−

4π

z2 =

+i sin

15π

+i sin

15π

8 18

cos

= 8

cos

−

+6π

−

+6π

z3 =

+i sin

23π

+i sin

23π

8 18

cos

= 8

cos

6.5 Возведение комплексного числа в рациональную степень

Формула для возведения комплексного числа в рациональную степень. Возведение комплексного числа z2 ≠ 0 в рациональную степень q = m / n, где m / n - несократимая дробь, можно рассматривать как две последовательные операции: сперва возведение комплексного числа в целую степень m Z, а затем извлечение из результата корня n-й степени. Учитывая,

что Arg(zm ) = mArgz, получаем
	q	= r	q		m arg z	+2kπ	+i sin	marg z	+2kπ	,
z		= r		cos	n		+i sin	n		,
					n			n

k = 0,1,..., n −1

Оглавление Е.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 11-02-2013_11-32-37

#
10.02.201511.41 Кб13index.htm
#
10.02.201543.73 Кб15riadi_furie_variant_17.xmcd
#
10.02.2015562.06 Кб142TFKP_OI_elektr.pdf