Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

11-02-2013_11-32-37 / TFKP_OI_elektr.pdf

Скачиваний:

142

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

562.06 Кб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Оглавление

1.		Алгебраическая форма записи комплексного числа................................................................	4
2.		Плоскость комплексных чисел....................................................................................................	4
3.		Комплексно сопряжённые числа.................................................................................................	5
4.	Действия с комплексными числами в алгебраической форме ...............................................		5
	4.1	Сложение комплексных чисел.................................................................................................	5
	4.2	Вычитание комплексных чисел...............................................................................................	5
	4.3	Умножение комплексных чисел..............................................................................................	5
	4.4	Деление комплексных чисел....................................................................................................	6
5.	Тригонометрическая форма записи комплексного числа.......................................................		6
6.	Действия с комплексными числами в тригонометрической форме......................................		7
	6.1	Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.........................................	7
	6.2	Деление комплексных чисел в тригонометрической форме...............................................	7
	6.3	Возведение комплексного числа в целую положительную степень..................................	8
	6.4	Извлечение корня целой положительной степени из комплексного числа .....................	8
	6.5	Возведение комплексного числа в рациональную степень.................................................	9
7.		Комплексные ряды ......................................................................................................................	10
	7.1	Комплексные числовые ряды.................................................................................................	10
	7.2	Степенные ряды в комплексной плоскости.........................................................................	11
	7.3	Двусторонние степенные ряды в комплексной плоскости...............................................	13
8.		Функции комплексного переменного.......................................................................................	15
	8.1	Основные элементарные функции........................................................................................	15
	8.2	Формулы Эйлера......................................................................................................................	15
	8.3	Показательная форма представления комплексного числа ..............................................	16
	8.4	Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями ..........................	16
	8.5	Логарифмическая функция.....................................................................................................	17
	8.6	Общая показательная и общая степенная функции ...........................................................	17
9.	Дифференцирование функций комплексного переменного.................................................		18
	9.1	Условия Коши-Римана............................................................................................................	18
	9.2	Формулы для вычисления производной...............................................................................	19
	9.3	Свойства операции дифференцирования.............................................................................	20
	9.4	Свойства действительной и мнимой частей аналитической функции............................	21

2
10.	Восстановление функции комплексного переменного по её действительной или мнимой
части	21
10.1		Способ №1. С помощью криволинейного интеграла.....................................................	21
10.2		Способ №2. Непосредственное применение условий Коши-Римана..........................	22
10.3		Способ №3. Через производную искомой функции.......................................................	23
11.	Интегрирование функций комплексного переменного.........................................................		24
12.	Интегральная формула Коши ....................................................................................................		26
13.	Разложение функций в ряды Тейлора и Лорана .....................................................................		28
14.	Нули и особые точки функции комплексного переменного ................................................		31
14.1		Нули функции комплексного переменного.....................................................................	31
14.2		Изолированные особые точки функции комплексного переменного .........................	32

14.3Бесконечно удалённая точка как особая точка функции комплексного переменного


15.	Вычеты...........................................................................................................................................		35
15.1		Вычет в конечной точке......................................................................................................	35
15.2		Вычет функции в бесконечно удаленной точке..............................................................	37
16.	Вычисление интегралов с помощью вычетов.........................................................................		41
17.	Вопросы для самопроверки........................................................................................................		43
18.	Литература ....................................................................................................................................		45
19.	Предметный указатель................................................................................................................		47

Оглавление Е.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»

Предисловие

Правильно распределить время и силы при подготовке к теоретической и практической частям экзамена или аттестации по модулю достаточно сложно, тем более что в период сессии времени всегда не хватает. И как показывает практика, справиться с этим получается не у всех. В результате на экзамене одни студенты правильно решают задачи, но затрудняются ответить на простейшие теоретические вопросы, а другие могут сформулировать теорему, но не могут её применить.

Настоящие методические рекомендации для подготовки к экзамену по курсу «Теория функций комплексного переменного» (ТФКП) являются попыткой разрешить это противоречие и обеспечить одновременное повторение теоретического и практического материала курса. Руководствуясь принципом «Теория без практики мертва, практика без теории слепа», они содержат как теоретические положения курса на уровне определений и формулировок, так и примеры, иллюстрирующие применение каждого приведенного теоретического положения, и, тем самым, облегчающие его запоминание и понимание.

Цель предлагаемых методических рекомендаций – помочь студенту подготовиться к экзамену на базовом уровне. Иными словами, составлен расширенный рабочий справочник, содержащий основные моменты, используемые на занятиях по курсу ТФКП, и необходимые при выполнении домашнего задания и подготовке к контрольным мероприятиям. Помимо самостоятельной работы студентов, настоящее электронное учебное издание можно использовать при проведении занятий в интерактивной форме с использованием электронной доски или для размещения в системе дистанционного обучения.

Содержание справочника отвечает требованиям утверждённых учебных программ для факультетов ФН и СМ МГТУ им . Н.Э. Баумана, составленных в рамках перехода к блочномодульному построению учебных курсов и балльно-рейтинговой системе оценки знаний.

Обращаем внимание, что настоящий труд не заменяет собой ни учебников, ни конспекта лекций. Для углублённого изучения материала рекомендуется обращаться к соответствующим разделам изданного в МГТУ им. Н.Э. Баумана базового учебника [7].

В конце пособия помещён список рекомендуемой литературы и предметный указатель, в который входят все выделенные в текстеполужирным курсивом термины. Предметный указатель состоит из гиперссылок на разделы, в которых эти термины строго определены или описаны и где приведены примеры, иллюстрирующие их применение.

Пособие предназначено для студентов 2 курса всех факультетов МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Оглавление Е.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»

1. Алгебраическая форма записи комплексного числа

Запись вида z = x +iy , где x, y - действительные числа, i - мнимая единица (т.е. i2 = −1)

называют алгебраической формой записи комплексного числа z. При этом x называют действительной частью комплексного числа и обозначают Re z ( x = Re z ), y называют мнимой частью комплексного числа и обозначают Im z ( y = Im z ).

Пример. У комплексного числа z = 4 −3i действительная часть Re z = 4 , а мнимая Im z = −3 .

2.Плоскость комплексных чисел

Втеории функций комплексного переменного рассматривают плоскость комплексных чисел, которую обозначают либо , либо используют буквы, обозначающие комплексные числа z , w и т.п.

Горизонтальная ось комплексной плоскости называется действительной осью, на ней располагают действительные числа z = x +0 i = x .

Вертикальная ось комплексной плоскости называется мнимой осью, на ней располагают

чисто мнимые числа z = 0 +iy .	Мнимая ось в дань исторической традиции обозначается y (а
не iy ).
Пример. Изобразить на	комплексной плоскости 4 числа z1 = 4 −3i , z2 = 5 +2i ,
z3 = −4 +5i , z4 = −2 −2i .

Оглавление Е.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»

3. Комплексно сопряжённые числа

Числа z = x +iy и z = x −iy называют комплексно сопряжёнными. На комплексной плоскости им соответствуют точки, симметричные относительно действительной оси.

4.Действия с комплексными числамив алгебраической форме

4.1Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел

z1 = x1 +iy1

и z2 = x2 +iy2 называется комплексное число

z1 + z2

= (x1 +iy1 )+(x2 +iy2 )= (x1 + x2 )+i (y1 + y2 ).

Таким

образом,

операция

сложения

комплексных чисел аналогична операции сложения алгебраических двучленов.

Пример. Суммой двух комплексных чисел z1 = 3 +7i и z2

= −1+2i

будет комплексное число

z1 + z2 = (3 +7i)+(−1+2i)= (3 −1)+(7 +2)i = 2 +9i .

Очевидно,

суммой комплексно

сопряжённых

чисел

является

действительное

число:

z + z = (x +iy)+(x −iy)= 2x = 2 Re z .

4.2 Вычитание комплексных чисел

Разностью двух комплексных чисел z1 = x1 +iy1

= x2 +iy2

называется

комплексное

число z1 − z2 = (x1 +iy1 )−(x2 +iy2 )= (x1 − x2 )+i (y1 − y2 ).

Пример. Разностью двух комплексных чисел

z1 = 3 −4i

и z2

= −1+2i

будет комплексное

число z1 − z2 = (3 −4i)−(−1+2i)= (3 −(−1))+(−4 −2)i = 4 −6i .

Разностью

комплексно сопряжённых

чисел

является

чисто

мнимое

число

z − z = (x +iy)−(x −iy)= 2iy = 2i Im z .

4.3 Умножение комплексных чисел

Произведением двух комплексных чисел

z1 = x1 +iy1

и z2 = x2 +iy2

называется комплексное

число

z1z2 = (x1 +iy1 )(x2 +iy2 )= x1x2 +iy1x2 +iy2 x1 +i2 y1 y2

= (x1x2 − y1 y2 )+i (y1x2 + y2 x).

Таким

образом, операция умножения комплексных чисел аналогична операции умножения алгебраических двучленов с учётом того, что i2 = −1.

Оглавление Е.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 11-02-2013_11-32-37

#
10.02.201511.41 Кб13index.htm
#
10.02.201543.73 Кб15riadi_furie_variant_17.xmcd
#
10.02.2015562.06 Кб142TFKP_OI_elektr.pdf