8.Функции комплексного переменного

z

2

z

n

∞

z

n

еz =1+ z+

+...+

+... = ∑

,

n!

2!

n!

n=0

z

2

z

4

−...+ (−1)

n

z

2n

∞

(−1)

n

z

2n

cos z =1−

+

+... = ∑

,

(2n)!

2!

4!

(2n)!

n=0

z

3

(−1)

n

z

2n+1

∞

(−1)

n

z

2n+1

sin z = z −

+...+

+

... = ∑

.

(2n +1)!

(2n +1)!

3!

n=0

Тогда по определению tg z = sin z

, при cos z ≠ 0 и

ctg z = cos z

при условии

sin z ≠ 0.

cos z

sin z

Кроме того, по определению для всех значений z

ch z =

ez +e−z

,

sh z =

ez −e−z

2

2

,

th z =

sh z

=

ez −e−z

,

cth z =

ch z

=

ez +e−z

.

ch z

ez +e−z

sh z

ez −e−z

cos z =

eiz +e−iz

,

2

sin z =

eiz −e−iz

.

2i

Если r ,

ϕ модуль и аргумент комплексного числа, то из тригонометрической формы записи

комплексного

числа

z = r (cosϕ +i sinϕ) и

формулы Эйлера получим показательную форму

представления комплексного числа z = reiϕ .

В

показательной

форме

формулы

Муавра

приобретают

простой

вид

zn = rneinϕ

и

n

= n

rei(arg z+2kπ ) n , где k = 0,1,..., n −1.

z

(1+

i)5

Пример.

Найдём

и

4 1+

i .

Сначала

представим в

показательной

форме

3

3

π

π

π i

5

5

5π

i

5π

i

комплексное

число

1

. Тогда

(1+

3i)

= 2

и

+ 3i = 2 cos

+i sin

= 2e3

e 3

= 32e 3

3

3

Справедливы следующие соотношения

sin iz = i sh z ,

sh iz = i sin z

cosiz =ch z ,

ch iz = cos z

tg iz = i th z ,

th iz = i tg z

ctg iz = −i cth z ,

cth iz = −i ctg z

С учётом приведённых свойств можно получить и две следующие формулы

sin(x ±iy) = sin xch y ±i cos xsh y

cos(x ±iy) = cos xch y i sin xsh y

Примеры.

1. Вычислим cos(1+

i). Применяя формулы из п. 8.1

(по сути, хорошо известные

3

π

= sin1cos

π

+cos1sin

π

= sin1ch

π

+i cos1sh

π

.

Аналогично, sin 1+

3

i

i

3

i

3

3

3

3. Представим в

алгебраической форме

значение sh (1−

3i). Учитывая формулу

sh (α −β)= shα chβ −chα shβ

и формулы

связи между

тригонометрическими и

гиперболическими функциями,

найдём

sh (1−i

)= sh1 ch (i

)−ch1 sh (i

)= cos

sh1−isin

ch1.

3

3

3

3

3

Если eω = z , то ω называют логарифмом комплексного числа z и обозначают ω = Ln z .

Логарифм

комплексного

числа

–

это

многозначная

функция

Ln z = ln

z

+iArg z = ln

z

+i(arg z +2kπ) ,

k Z , в которой мнимая часть определена с точностью

до слагаемого кратного 2π .

Главное значение логарифма ln z

отвечает значению k = 0 и имеет вид ln z = ln

z

+i arg z .

Пример.

Представить

в

алгебраической

форме

значение

ln (1+i).

Поскольку

π

π

1+i

и arg (1+i)

π

ln (1+i)= ln

π

i . Соответственно,

1

+i sin

= 2

=

, то

2 +

+i = 2 cos

4

4

, т.е.

4

4