Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

11-02-2013_11-32-37 / TFKP_OI_elektr.pdf

Скачиваний:

168

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

562.06 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

z =1+

i .

Пример.

Найдём

значение

где

тригонометрической

форме

z = 2

Тогда

= 8(cos (π )+ i sin (π ))= −8

поэтому

cos

+i sin

cos

3π

3π = −2

= 2

+ i sin

= 2

i ,

= 2

+ i sin

i .

7.Комплексные ряды

7.1Комплексные числовые ряды

∞

Числовой ряд с комплексными слагаемыми имеет вид ∑zn

=∑(xn +iyn ).

n=1

По

аналогии

действительными

числовыми

рядами,

если

lim Sn = lim

∞

∑zk = lim (z1 + z2 + + zn ) существует и конечен,

то ряд ∑zn называют сходящимся.

n→∞

k =1

n→∞

n=1

Сам этот предел называют суммой ряда S = lim Sn и часто пишут в этом случае

∞

S = ∑zn .

n→∞

n=1

Если конечный предел

lim Sn

∞

не существует, то ряд ∑zn называют расходящимся.

n→∞

n=1

∞

Ряд ∑zn

называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей слагаемых этого

n=1

∞

ряда, т.е. сходится ряд ∑

=∑ xn2 + yn2 .

n=1

∞

Если

ряд

∑zn сходится, а

ряд ∑

расходится,

то

ряд ∑zn

называют

условно

n=1

сходящимся.

∞

∑xn

n=1

Справедливы утверждения:

∞	∞	∞
1. Ряд ∑zn =∑(xn +iyn )		сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба ряда: ряд ∑xn ,
n=1	n=1	n=1

∞

составленный из действительных частей, и ряд ∑yn , составленный из мнимых частей.

n=1

∞

2. Ряд ∑zn абсолютно сходится тогда и только тогда, когда абсолютно сходятся оба ряда:

n=1

∞

и ∑yn .

n=1

Оглавление Е.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»

	∞		n	.
Пример. Исследовать на сходимость ряд ∑i				.
	n=1	n
				∞
Ряд из модулей слагаемых данного ряда имеет вид ∑1						(вспомним, что	i	=1 и поэтому
Ряд из модулей слагаемых данного ряда имеет вид ∑1						(вспомним, что	i	=1 и поэтому
				n=1	n
				n=1	n

i n =1). Это расходящийся ряд, и поэтому исходный ряд не является абсолютно сходящимся.Для проверки на сходимость исходного ряда составим ряды из действительных и мнимых частей. Для этого представим i в тригонометрической форме и применим формулу Муавра возведения комплексного числа в целую положительную степень.

+i sin

π n

cos

πn +i sin πn

cos

zn =

∞

cos

πn

+0 + 1

+0 − 1 + =

∞

(−1)

Итак,

∑xn = ∑

0 −

∑

. Такой ряд сходится условно по

n=1

признаку Лейбница.

∞

∞ sin

πn

=1− 1

+ 1

∞

(−1)

n−1

Аналогично,

∑yn = ∑

− = ∑

. Ряд из мнимых частей также

2n −1

n=1

3 5

n=1

сходится условно по признаку Лейбница.

∞

сходится условно.

Окончательно имеем: ряд ∑i

n=1

7.2 Степенные ряды в комплексной плоскости

∞

Ряд ∑cn (z − z0 )n , где cn - некоторые комплексные числа, z0 - фиксированное комплексное

n=0

число, называется степенным рядом разложенным по степеням

(z − z0 ). Числа cn

называют

∞

коэффициентами степенного ряда. Если

z0 = 0 , то степенной ряд имеет вид ∑cn zn , при этом

n=0

он разложен по степеням z .

∞

Теорема Абеля. Если ряд

∑cn (z − z0 )n

сходится в некоторой точке z* ≠ z0 комплексной

n=0

плоскости, то

он абсолютно

сходится

во

всех точках z ,

удовлетворяющих

условию

z − z0

z *−z0

. Если же этот ряд расходится внекоторой точке z = z *, то он расходится при всех

z , удовлетворяющих условию

z − z0

z *−z0

Оглавление Е.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»

∞

Существует такое число R > 0 , что при

z − z0

< R ряд

∑cn (z − z0 )n абсолютно сходится,

n=1

при

z − z0

> R этот ряд расходится,

а при

z − z0

= R ряд может как сходиться, так и расходиться.

Круг

z − z0

< R называют кругом

сходимости степенного

ряда, а число

R - радиусом

сходимости степенного ряда.

Возможны вырожденные случаи:

1.R = 0 . Это означает, что степенной ряд сходится в одной точке z = z0 .

2.R = ∞. В этом случае степенной ряд сходится абсолютно во всей комплексной плоскости.

	∞
Область сходимости степенного ряда	∑cn (z − z0 )n	- множество точек z , при которых
	n=0
соответствующий числовой ряд сходится –	представляет	собой круг сходимости	z − z0	< R ,
соответствующий числовой ряд сходится –	представляет	собой круг сходимости	z − z0	< R ,

дополненный, быть может, точками границы этого круга (некоторыми или всеми). Для нахождения круга сходимости степенного ряда достаточно применить к ряду из модулей слагаемых исходного ряда признак Даламбера или радикальный Коши (в предположении

lim

сn+1

существования пределов

или lim n

n→∞

∞

(z −n2i)

и исследовать данный ряд на

Пример. Найти круг сходимости степенного ряда ∑

n=1

2 n

сходимость в четырёх точках границы этого круга: самой верхней, самой нижней, самой левой, самой правой:

∞

z −2i

Рассмотрим ряд

∑an , где an

ряд,

составленный из модулей исходного ряда при

n=1

фиксированном

значении

z .

Применим к

нему

признак

Даламбера.

Вычислим

lim

= lim

z −2i

n+1 2n n

z −

Получили,

что при

z −2i

<1,

т.е. при

z −2i

< 2, ряд

n+1

n 2n+1 (n +1)

n→∞

z −2i

∞

∑an сходится,

следовательно исходный степенной ряд абсолютно сходится. При

>1, т.е.

n=1

∞

при

z −2i

> 2,

ряд

∑an

расходится,

причём

lim

≠ 0. Следовательно,

для

исходного

n=1

n→∞

степенного ряда не выполняется необходимое условие сходимости.

Итак, множество точек z −2i < 2 есть круг сходимости. Построим его на комплексной плоскости.

Оглавление Е.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»

Самая правая точка границы этого круга z1 = 2 +2i , самая левая				z2 = −2 +2i , самая верхняя
z3 = 4i , самая нижняя z4 = 0 .
∞	(z1 −2i)n			∞	2n			∞	1
При z = z1 исходный степенной ряд примет вид ∑				= ∑				= ∑		. Этот ряд
При z = z1 исходный степенной ряд примет вид ∑	2	n	n	= ∑	2	n	n	= ∑	n	. Этот ряд
n=1	2		n	n=1	2		n	n=1	n

расходится. Таким образом, исходный степенной ряд в точке z1 расходится.

∞

2i)

∞

(−2)

∞

(−1)

В точке z2

исходный степенной ряд примет вид

∑

(z2 −

= ∑

, откуда

n=1

2 n

n=1

исходный степенной ряд в точке z2 сходится условно.

∞

(z3 −2i)n

∞

(2i)n

∞

В точке z3

получим ряд

∑

= ∑

который

сходится

условно (см.

n=1

пример из п. 7.1). Поэтому исходный степенной ряд в точке z3 сходится условно.

∞

(−2ni)

∞

Для точки

z4 имеем ряд ∑(z 4 −n

2i)

= ∑

(−1) (i)

. Таким образом, исходный

n=1

2 n

n=1

степенной ряд в точке z4

сходится условно (доказательство аналогично примеру из п. 7.1).

7.3 Двусторонние степенные ряды в комплексной плоскости

В ТФКП рассматривают ряды вида

∞

c−n

c−n+1

c−1

∑ cn (z − z0 )n = +

+ +

+c0 +c1 (z − z0 )+ +cn (z − z0 )n + .

(z − z0 )

n−1

n=−∞

(z − z0 )

z − z0

Областью сходимости двустороннего степенного ряда может являться кольцо r < z − z0 < R

(при r < R ), дополненное, быть может, точками границы этого кольца. При этом для кольца сходимости возможны вырожденные случаи

Оглавление Е.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»

1.r = 0 : 0 < z − z0 < R - проколотый круг.

2.R = ∞: 0 < z − z0 - внешность круга.

3. r = 0 , R = ∞: 0 < z − z0 - вся комплексная плоскость за исключением z = 0.

∞		n		∞		1
Пример. Найти кольцо сходимости двустороннего степенного ряда ∑	z			+∑						.
	n		2		n n	(		3	)
n=1 2 n				n=1 z 4			n
									+1

Рассмотрим для каждого из слагаемых соответствующий ряд из модулей и применим признак Даламбера.

Для первого ряда lim

n+1

2n n2

и поэтому он абсолютно сходится при

< 2 .

n 2n+1

(n +1)2

n→∞

n 4n

Для второго

ряда lim

(

)

и поэтому он абсолютно

сходится при

n+1 4n+1 ((n +1)3

+1)

n→∞

<1, т.е. при

1 .

Таким образом, кольцом сходимости исходного ряда является кольцо 14 < z < 2 . В этом

кольце он сходится абсолютно, так как там абсолютно сходится каждый из двух составляющих его рядов.

Выясним вопрос о сходимости ряда на границе кольца.

При

= 2 ряд из модулей, соответствующий первому ряду, принимает вид

∞

и поэтому

= 2 сходится абсолютно по доказанному.

∑n=1 n2

сходится абсолютно. Второй ряд при

При

= 1

ряд из модулей,

соответствующий первому ряду,

сходится

абсолютно по

= 1 ряд из модулей имеет вид

∞

доказанному. Для второго ряда при

∑

следовательно,

n=1 n

второй ряд также сходится абсолютно.

В итоге, областью абсолютной сходимости исходного ряда является кольцо со всеми точками его границы 14 ≤ z ≤ 2 .

Оглавление Е.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 11-02-2013_11-32-37

#
10.02.201511.41 Кб27index.htm
#
10.02.201543.73 Кб29riadi_furie_variant_17.xmcd
#
10.02.2015562.06 Кб168TFKP_OI_elektr.pdf