Сборник задач

К задачам 12.30 и 12.31

К решению задачи 12.30

3

1) h0; 2)

h0; 3) 2h0

?

2

Каковы будут при этом установившиеся значения расхода через

сопло qуст?

Трением в трубе пренебречь.

Указание.

Построив схематический чертеж графического решения,

вычислить требуемые величины аналитически.

Ответ. 1)

√

= 0, 0154,

qуст = 6 л/c;

fc

=

2gh0

fтр

2aμc

√

qуст = 2, 46 л/с;

2)

fc

2gh0

=

2√

aμc

= 0, 0063,

fтр

6

3)

fc

= 0,

qуст = 0.

fтр

На конце трубы, заполненной водой, находится в

Задача 12.34.

неподвижном состоянии поршень. Начальное избыточное давление

в трубе равно нулю.

Масса т, движущаяся со скоростью v0, ударяет

в шток поршня, после чего поршень и масса

движутся как одно

К задаче 12.34

Указание. Воспользоваться формулой Жуковского в дифференциаль-

ной форме dp = ρadv.

aρf

t; x = aρfп 1 − e−

aρf

t

, где fп –

пло-

Ответ. p = aρv0e−

m

п

m

п

щадь поршня.

v0m

ˉ

ˉ

ˉ

ˉ

(13.1)

R = ρQvˉ1

− ρQvˉ2 + P1 + P2

+ G,

где ρQvˉ1

и ρQvˉ2

–

векторы се-

кундных количеств

движения по-

тока,

т. е.

количеств движения

массы

жидкости,

протекающей

в единицу времени через вход-

ное и выходное сечения канала

(Q – расход;

ρ – плотность жид-

кости; v1 и v2 – средние скорости

ˉ

ˉ

в этих сечениях); P1

и P2 – силы

давления,

действующие во вход-

Рис

. 13.1

ном и выходном сечениях канала

на заполняющую

его жидкость

чения и

р

ˉ

вес

– давление в центре тяжести этой площади); G –

жидкости, заполняющей канал.

394

В этом уравнении вектор

Rд

= ρQvˉ1 − ρQvˉ2 –

динамическая

ˉ

слагающая реакции потока на стенки канала, определяемая измене-

нием секундного количества движения потока при протекании жид-

кости по каналу. Вектор Rст = P1

+P2 +G – статическая слагающая

реакции потока.

ˉ

ˉ

ˉ

ˉ

Уравнение применимо к потоку, который во входном и выход-

ном сечениях удовлетворяет условию плавной изменяемости (ма-

лая кривизна линий тока и малые углы между ними) и обладает до-

статочно равномерным распределением скоростей в этих сечениях.

Для определения суммарной силы,

воспринимаемой стенками

канала, на несмоченную поверхность которых действует атмосфер-

ное давление pат, в формуле (13.1) силы давления P1 и

P2

следует

определять по избыточным давлениям p

1

= p1−pат

и pи2

= p2−pат.

Если в центре одного из сечений

имеется

вакуум

(p

< 0) ,

сила из-

быточного давления в этом сечении имеет направление, противопо-

ложное указанным на рис. 13.1.

Силу

суммированием слагающих ее векторов по уравнению

(13.1) или

пользуясь методом проекций на координатные оси.

В зависимости

от величины и ориентации слагающих векторов суммарное воздей-

ствие потока и внешнего давления на стенки может сводиться к

силе, моменту или динаме (динамическому винту).

Если в канале происходит слияние или разделение потоков, сила

R определяется из векторного соотношения:

k

n

k

n

X

X

X

X

R =

P1i +

P2i + G,

где k и

1

1

1

1

ветственно.

некоторые

примеры

Рассмотрим

определения реакции потока на стен-

ки каналов.

А. Сужающийся насадок с выхо-

дом в атмосферу (рис. 13.2). Применяя

Рис. 13.2

уравнение (13.1)

в проекциях на гори-

зонтальную ось насадка,

получим осевую силу, действующую на

его стенки:

395

Q = v1F1

= v2F2,

где ζ – коэффициент сопротивления насадка.

после

Пренебрегая незначительным сопротивлением насадка,

преобразований получаем

R = ρ

v22

(F1 − F2)2

,

2

F1

где F2 – площадь выходного сечения насадка.

, в част-

Результат справедлив при любом соотношении F1 и F2

ности, также и для расширяющихся насадков (F2 > F1) ;

во всех

случаях сила R направлена к выходному сечению.

Б. Диффузор в трубопроводе (рис. 13.3). Сила, воспринимаемая

вертикальным диффузором, действует вдоль его оси. Считая поло-

жительным направление этой оси вверх, по уравнению (13.1)

полу-

чим

R = pи2 F2 − pи1 F1 − ρQ (v1 − v2) − G,

Рис. 13.3

Рис. 13.4

Пренебрегая потерями, имеем

pи2 = pи1 + ρ

v12 − v22

и Q = v2F2,

откуда

2

v12

(F2 − F1)2

R = p

(F F ) + ρ

.

и1

2 −

1

2

F2

зна-

При pи1 = −ρ 21

1 − F2

получаем R = 0; большим´

v2

F1

чениям вакуума отвечает направление силы к выходному сечению

диффузора.

В. Приточный тройник (рис. 13.4). Пренебрегая весом жидко-

сти, для проекций искомой силы на оси ответвлений тройника по-

лучаем

Rx = pи1 F1 − pи2 F2 + ρQ1v1 − ρQ2v2;

Ry = pи3 F3 + ρQ3v3,

Сила действия свободной струи на

преграду определяется изменением се-

кундного количества движения струи,

происходящим в результате ее откло-

нения преградой. При этом влиянием

силы тяжести можно в большинстве

случаев пренебречь, получая для дина-

Рис

. 13.5

мической реакции струи на преграду

(рис. 13.5) следующее выражение:

ˉ

− ρQvˉ2,

(13.3)

R = ρQvˉ1

где Q – расход струи; vˉ1 и vˉ2 – векторы скоростей струи перед пре-

градой и после нее.

Если струя делится преградой на n частей, то

n

X

R = ρQvˉ1 −

1

Пренебрегая силой тяжести и гидравлическими сопротивлени-

ями, можно принять, что скорость струи перед преградой и после

нее имеет одинаковое значение (v1

= v2) .

При сделанных предположениях сила действия свободной

струи на плоскую стенку, размеры которой велики по сравнению с

диаметром струи (рис. 13.6),

R = ρQv sin α = ρF v2 sin α,

(13.5)

где α – угол наклона стенки к оси струи; F – площадь сечения

струи; v – скорость струи.

Для стенки, перпендикулярной к струе,

R = ρQv = ρF v2.

(13.6)

Сила действия струи на симметричную криволинейную стенку,

которая делит струю на две части, отклоняемые на одинаковые углы

γ (γ = 180◦ − β, где β – дополнительный угол выходного элемента

стенки, рис. 13.7),

R = γQv (1 − cos γ) = ρQv (1 + cos β) .

(13.7)

398

Рис. 13.6

Рис. 13.7

Сила получается наибольшей при отклонении струи на угол

γ = 180◦ :

R = 2

ρQv.

При установившемся движении жидкости в канале, перемеща-

ющемся прямолинейно и поступательно с постоянной скоростью u,

сила R определяется из уравнения (13.1),

в котором динамическая

реакция потока равна изменению его секундного количества дви-

жения, вычисляемого по отношению к подвижным стенкам:

ˉ

ˉ

ˉ

ˉ

(13.8)

R = ρQwwˉ1 − ρQwwˉ2 + P1

+ P2

+ G,

где Qw – расход жидкости в канале, Qw

= w1F1

= w2F2; wˉ1

и wˉ2 –

векторы относительных скоростей во входном и выходном сечениях

канала.

Уравнение Бернулли для рассматриваемого случая относитель-

ного движения жидкости имеет вид

z1 +

p1

+

w12

= z2

+

p2

+

w22

+ hп,

(13.9)

ρg

2g

ρg

2g

R = ρQw (w1 + w2 cos β) ,

(13.10)

и КПД процесса преобразования кинетической энергии струи в по-

лезную механическую работу на колесе (КПД колеса)

Ru

cos β

u u

2

p

η =

ρQ

v2

= 2

1 +

1 +

ζ! 1 − v v .

(13.14)

400