Сборник задач

личилась в

y

раз, а давление под клапаном возросло в

y

2 раз.

y

z

y

z

Таким образом, если давление под клапаном в положении его равновесия

стало

pt = p

y

2

.

y

−

z

Можно приближенно считать, что увеличение усилия на клапан со

стороны жидкости выражается формулой

d2

d2

y

2

Pж = (p1 − p)

π

= p

π

"

− 1# .

4

4

y − z

Уменьшение усилия на клапан со стороны пружины при уменьшении

его подъема на z

Pпруж

= cz.

Восстанавливающая сила, которая возникает на клапане при отклоне-

нии от положения равновесия,

"

− 1# + cz.

d2

y

2

P =

Pж +

Pпруж

= p

π

4

y − z

В положении равновесия клапана

πd2

p

= c(y0 + y),

следовательно,

y

2

2y

z

P = c (y0 + y)

"

− 1# + cz = cz "(y0 + y)

(y

−z)2

+ 1# .

y

−

z

−

Так как амплитуда колебаний z мала по сравнению с подъемом клапа-

на у, то можно приближенно принять 2y − z ≈ 2y

и

(y − z)2 ≈ y2, тогда

(

y

0

+ y) 2y

2

3

P ≈ cz

+ 1 = cy0z

+

.

y2

y

y0

Дифференциальное уравнение движения клапана, масса которого т,

имеет вид

m

d2z

=

−R − P ;

dt2

d2z

dz

2

3

m

+

ϑ

+ cy0z

+

= 0,

dt2

dt

y

y0

381

ϑ

cy

2

3

A =

и B2 =

0

+

.

2m

m

y

y0

Вычисляя, получаем

А = 250 с−1; B2 = 92 000 c−2 и период колеба-

ний T =

2π

√

= 0, 0365 c. Задача 12.15. Система, состоящая

B2 − A2

из пружины, поршня и столба жидкости

длиной L, выведена из состояния покоя

и совершает свободные колебания.

Определить период колебаний, если

масса поршня

m и площадь попереч-

ного сечения трубки

F . Режим тече-

ния жидкости в трубке считать лами-

нарным:

плотность и кинематическая

вязкость жидкости ρ

и ν. Массой пру-

жины пренебречь.

К задаче

12.15

Сравнить найденный период с пе-

риодом

колебаний,

вычисленным в

предположении отсутствия трения.

Решение. Пусть в некоторый момент времени t выведенный из поло-

жения равновесия поршень,

масса которого m,

двигаясь вправо, находится

на расстоянии х от положения равновесия; избыточное давление жидко-

сти на поршень в этот момент равно р.

Тогда дифференциальное уравне-

ние движения поршня имеет вид

d2x

m

= −cx − pF,

или

dt2

d2x

m

+ pF + cx = 0,

(1)

где с – жесткость пружины. dt2

Давление р

на поршень найдем, применяя уравнение (12.3) для сече-

ния у поршня и свободной поверхности в трубке:

откуда

W

W

1

F

p = p0

0

= p0

0

= p0

≈ p0 1 +

y .

W

W0 F y

1

F y

W0

−

−

W0

Следовательно, увеличение давления p − p0 = W0 .

Поэтому жесткость «пневматической пружины

»,

пересчитанная на

перемещение s воды в трубе,

ρgH0

c0 =

(p − p0)Fy

=

f2,

s2

W0

M0 = Lf ρ,

поэтому частота собственных колебаний жидкости

r

H fg

n =

0

=

0

.

2π

M0

2π

W0L

Задача 12.17. Круглый диск (D = 150 мм), к которому в его

плоскости приложена и внезапно удалена пара сил, совершает кру-

тильные колебания относительно оси О − О. Затухание колеба-

ний происходит благодаря трению в вязком слое жидкости по торцу

диска.

Пренебрегая массой стержня, определить частоту крутильных

колебаний, если масса диска m = 1

кг, динамическая вязкость жид-

J

d2 ϕ

+ ϑ

dϕ

+ cϕ = 0,

где J –

dt2

dt

угол закру-

момент инерции диска относительно оси О − О;4

ϕ –

чивания диска; ϑ –

фактор демпфирования: ϑ =

π

μ

D

; c –

жесткость

пружины.

16 b

Ответ.

Частота колебаний n = 2πr

= 0, 78 Гц.

J

− 4J2

c

да

Задача 12.18. Затвор, установленный на конце трубопрово-

(L =

100

м;

D = 100 мм), работающего под напором во-

ды

Н0

=

10

м,

уменьшает расход от его начального значения

Q0

= 10 л/с до нуля за время Т = 1 с.

Принимая закон закрытия затвора линейным и считая трубопро-

вод и жидкость неупругими, определить максимальное повышение

давления в трубопроводе в процессе закрытия.

Потерями напора в трубопроводе пренебречь.

Ответ.

pин = 0,24 МПа.

К задаче 12.18

К задаче 12.19

Задача

12.19. Затвор, установленный в конце трубопровода, со-

стоящего из двух участков (L1

= 50 м; D1 = 100 мм и L2 = 50 м;

D2 = 120 мм), закрываясь по линейному закону, уменьшает расход

воды от Q0 = 15 л/с до Q1 = 5

л/с в течение Тз = 1 с. Располагае-

мый напор

Н0 = 40 м.

Определить максимальное повышение давления в трубопрово-

де в процессе закрытия, считая его стенки и жидкость неупругими

и пренебрегая потерями напора.

Ответ.

pин = 0,15 МПа.

386

К задаче 12.20

К задаче 12.21

Задача

12.20. Трубопровод, имеющий общую длину l = 20 м и

внутренний диаметр d = 50

мм и подключенный к баку с водой под

напором Н0 = 4 м, мгновенно закрывается.

Определить скорость а распространения ударной волны и удар-

ное повышение давления

pуд, если толщина стенок трубы δ =

= 6 мм и материал ее – сталь (E = 2

∙

105 МПа). Модуль упругости

воды K = 2 ∙ 103 МПа.

Как изменится ударное давление, если стальная труба будет за-

менена чугунной (E = 0, 9 ∙ 105 МПа) тех же размеров? Коэффици-

ент сопротивления трения принять λ = 0,03.

Ответ.

Для стальной трубы а = 1365 м/с и

pуд = 3, 5 МПа.

Задача

12.21. Центробежный насос подает воду на высоту

H0 = 16 м по трубопроводу, имеющему общую длину l = 105 м и

внутренний диаметр d = 75

мм.

Внезапно двигатель насоса отключается от сети. Некоторое вре-

мя столб воды в трубопроводе продолжает двигаться за счет инер-

ции в прежнем направлении, затем скорость движения уменьшает-

ся до нуля, после чего движение жидкости происходит в обратном

направлении под действием напора H0. В этот момент происходит

закрытие обратного клапана, установленного в нижнем конце тру-

бы, и возникает гидравлический удар.

Определить ударное повышение давления, если обратный кла-

пан закрылся через Т = 1

с после начала движения жидкости в

фициентом сопротивления ζ = 10 (отнесенным к скорости в тру-

бопроводе).

= 4, коэффициент

Коэффициент сопротивления задвижки ζз

трения в трубе принять λ = 0,025. Для обратного клапана,

проход-

ное сечение которого равно площади сечения трубы, ζк

= 2.

Стенки трубы толщиной

δ = 4

мм выполнены из стали (E = 2

×

×105 МПа).

Модуль упругости воды K = 2 ∙ 103 МПа.

Ответ.

pуд = 1,75

МПа.

Задача 12.22. Смазка параллелей ползуна

производится из масленки самотеком по труб-

ке диаметром d = 6 мм и длиной l = 1

м через

отверстие, периодически открываемое ползу-

ном.

Считая трубку и жидкость неупругими,

определить количество поступающего из ма-

сленки смазочного масла за один оборот ко-

К задаче 12.22

ленчатого вала,

если отверстие остается при

этом открытым в течение

Т = 1

с.

= 0,8 м.

Кинематическая вязкость масла ν

= 0,5 Ст.

Напор

H0

Течение жидкости считать ламинарным, пренебрегая кинетиче-

ской энергией выхода из трубки.

d2

1 ,

Ответ. W = fv0

T + 32

e−

−

πd2

ν

где f =

; v0 – скорость установившегося течения; W = 4,6 см3.

Задача

12.23. На конце трубы мгновенно открывается кран А.

4

Найти минимальное давление перед ним, если коэффициент расхо-

да открытого крана

μ0

= 0,6, скорость ударной волны а = 1 000 м/с,

статический напор перед закрытым краном h0

= 100 м.

Исследо-

вать закон изменения расхода через кран. Трением в трубе пре-

небречь.

Указание. Построив параболу расходов воды через кран по формуле

q = μ0fтр

и ударную характеристику трубы

h(q), убе-

ждаемся

, что минимальное значение напора перед краном h0

−

h полу-

p

чается при первой фазе гидравлического удара, продолжающейся в тече-

ние времени

2l

(см. рисунок к решению задачи). Величину

h

находим

графически или аналитически из уравнения

а

388

К задаче 12.23

К решению задачи 12.23

h

μ0fтрp2g (h0 −

h) =

,

где tg ϕ =

a

tg ϕ

.

gfтр

h = 30 м. Расход

Ответ.

Минимальный напор перед краном h0 −

через кран стремится уменьшающимися ступенями к установившемуся

значению q0

, каждая ступень продолжительностью а .

100 м и диаметром

d = 100 мм, на конце которого установлен затвор, движется вода со

скоростью v0 = 2

м/с.

Построить график зависимости максимального ударного повы-

шения напора в трубопроводе от времени полного закрытия затво-

ра. Считать, что принятый закон закрытия дает линейное уменьше-

ние скорости потока перед затвором по времени. Потерями напора

в трубопроводе пренебречь.

в двух вариантах:

учитывая упругость

Построения выполнить

системы (скорость ударной волны

а = 1 000 м/с) и считая систему

неупругой.

Сравнить ударное повышение напора,

если время пол-

ного закрытия Tз

=

2l

.

Указание. При непрямом ударе и линейном законе уменьшения ско-

а

Tз .

рости максимальное ударное повышение напора

h =

g

Для неупругой системы воспользоваться выражением

1

инерционного

напора (12.4).

h = 100 м.

Ответ.

h = 200 м; для неупругой системы

389

К задачам 12.26 и 12.27

К задаче 12.28

Задача 12.28. На конце трубы совершает гармонические колеба-

ния поршень, так что вытесняемый им расход изменяется по закону

q = qmax sin ωt, где ω – круговая частота колебаний. Показать, что

при ω =

aπ

, где l – длина трубы и а –

скорость ударной волны,