Содержание

1. Постановка задачи	2
2. Вычисление матрицы коэффициентов податливости	3
2.1. Кубическая кристаллическая решетка	3
2.2. Гексагональная кристаллическая решетка	3
3. Зависимость линейной податливости от направления единичного вектора	4
3.1. Кубическая кристаллическая решетка	4
3.2. Гексагональная кристаллическая решетка	7
4. Оценки по Фойгту и Рейссу	8
4.1. Кубическая кристаллическая решетка. Оценки по Фойгту	8
4.2. Кубическая кристаллическая решетка. Оценки по Рейссу	9
4.3. Гексагональная кристаллическая решетка. Оценки по Фойгту	10
4.4. Гексагональная кристаллическая решетка. Оценки по Рейссу	10
5. Задача Эшелби	11
6. Сплав-смесь металлов	11
6.1. Коэффициент пористости	12
6.2. Коэффициент пористости	14
.3. Коэффициент пористости	15
7. Заключение	17
8. Список литературы	18
9. Приложение	19

1. Постановка задачи

По значениям коэффициентов упругости кристаллов заданной пары чистых металлов вычислить элементы матрицы коэффициентов податливости и построить графики зависимостей линейной податливости от направления единичного вектора для гексагональной кристаллической решетки в плоскости, содержащей оптическую ось кристалла, а для кубической кристаллической решетки в плоскости грани и в плоскостях, содержащих имеющие общую точку диагонали двух граней, диагонали грани и куба, диагональ куба и ребро.

Для каждого из металлов в предположении хаотической ориентации зерен в поликристалле найти верхнюю и нижнюю оценки модулей сдвига, продольной и объемной упругости, а также оценки коэффициента Пуассона, и сравнить полученные значения с вычисленными для случая статистически усредненной сферической формы кристаллических зерен в поликристаллическом материале.

Провести аналогичные расчеты и построить графики для пористого двухфазного сплава-смеси заданной пары металлов при трех фиксированных значениях объемной пористости, равных 0, 0.1 и 0.2, в зависимости от отношения , гдеи- объемные доли металлов в сплаве.

Металл	, ГПа	, ГПа	, ГПа
Литий, Li	13,5	11,4	9,60

Металл	, ГПа	, ГПа	, ГПа	, ГПа	, ГПа
Кобальт, Co	303,5	161,2	99,8	354,2	71,9

2. Вычисление матрицы коэффициентов податливости

2.1. Кубическая кристаллическая решетка

Запишем матрицу жесткости для кубической решетки:

Для лития она примет вид:

где значения элементов матрицы измеряются в ГПа.

Найдем матрицу податливости, обратив матрицу жесткости:

где значения элементов матрицы измеряются в ГПа^-1.

2.2. Гексагональная кристаллическая решетка

Аналогично запишем матрицу жесткости для ГПУ:

Для кобальта она примет вид

где значения элементов матрицы измеряются в ГПа.

Аналогично найдем матрицу податливости:

где значения элементов матрицы измеряются в ГПа^-1.

3. Зависимость линейной податливости от направления единичного вектора

3.1. Кубическая кристаллическая решетка

Зависимость линейной податливости от направления единичного вектора в плоскости грани (рис. 1)

Воспользуемся формулой [1]

₍₁₎

где - компоненты направляющего единичного вектораВ нашем случае

Подставим значения компонент направляющего вектора в формулу (1). На рис. 2 представлена зависимость S_nв ГПа от угла.

Рис.1

Рис.2

Зависимость линейной податливости от направления единичного вектора в плоскости, содержащей пересекающиеся диагонали двух граней (рис. 3)

Покажем, что . Уравнение плоскости, показанной на рисунке №3, имеет вид, где- длина ребра куба. Пусть начало вектора, лежащего в этой плоскости, имеет координаты, а конец. Начало и конец вектора принадлежат плоскости, т.е.и. Вычитая второе уравнение из первого, получим, или же.

Рис.3

Известно, что и. Возведем в квадрат первое выражение, получим. Или, воспользовавшись второй формулой,. Возведем это выражение в квадрат, и, вынеся одинаковые члены за скобки, получим:

.

Рис.4

Или же . Подставляя это выражение в формулу (1), получаем(рис 4).

Зависимость линейной податливости от направления единичного вектора в плоскости, содержащей имеющие общую точку диагональ куба и ребро (рис. 5)

Рис. 5

В этом случае и, значит

(рис. 6).

Рис. 6

3.2. Гексагональная кристаллическая решетка

Найдем зависимость линейной податливости от направления единичного вектора в плоскости, содержащей оптическую ось кристалла (рис. 7).

Для этого воспользуемся формулой [1]

Рис. 7

Подставляя вместо косинус угла, получаем искомый результат (рис. 8).

Рис. 8