4. Оценки по Фойгту и Рейссу
4.1. Кубическая кристаллическая решетка. Оценки по Фойгту
В
данной модели фиксируют деформации:
Найдем верхние оценки упругих характеристик. Имеем[1]
где
- компоненты тензоров коэффициентов
упругости зерна и поликристалла
соответственно.
Это неравенство равносильно двум другим
В этом случае получим:
(2)
Запишем связь элементов матриц жесткости и податливости с механическими параметрами материалов [1]:
(3)
Подставив (3) в систему (2), получим:
откуда получим оценки по Фойгту:
ГПа,
ГПа,
,
ГПа.
4.2. Кубическая кристаллическая решетка. Оценки по Рейссу
В
данной модели фиксируют напряжения:
.
Найдем нижние оценки упругих характеристик. Имеем [1]
где
- компоненты тензоров коэффициентов
податливости зерна и поликристалла
соответственно.
Это неравенство равносильно двум другим
Тогда получим:
Воспользовавшись соотношениями (3), запишем:
откуда получим оценки по Рёйссу:
ГПа,
ГПа,
,
ГПа.
4.3. Гексагональная кристаллическая решетка. Оценки по Фойгту
Записываем
систему (2), учитывая, что структура
тензора
одинакова
для кубической и гексагональной решеток:
Используя соотношение (3), получаем:
откуда получим оценки по Фойгту:
ГПа,
ГПа,
ГПа,
.
4.4. Гексагональная кристаллическая решетка. Оценки по Рейссу
Запишем
систему (2), учитывая, что структура
тензора
одинакова
для кубической и гексагональной решеток:
Воспользовавшись соотношениями (3), получим:
откуда получим оценки по Рёйссу:
ГПа,
ГПа,
ГПа,
.
5. Задача Эшелби
В этой модели выдвигается предположение о статистически усредненной сферической форме кристаллических зерен в поликристаллическом материале.
Решение задачи Эшелби сводится к условию[2]:
где
;
(4)
которое
можно записать следующим образом:
Если перейти от тензора четвертого ранга к матрице 6×6, то получим
Если
принять обозначения
и
,
то задача сводится к минимизации функции
двух аргументов
и
.
Результаты для кубической решетки:
ГПа,
ГПа,
ГПа,
.
Результаты для ГПУ решетки:
ГПа,
ГПа,
ГПа,
.
6. Сплав-смесь металлов
Для оценок характеристик по Фойгту имеем
,
,
.
Для оценок же по Рёйссу:
,
,
.
Для каждого компонента смеси можно решить задачу Эшелби, учитывая что в (4):
где
- компоненты тензоров коэффициентов
упругости для такого сплава-смеси (для
пор
).
Для двух компонентного сплава-смеси Li-Coс учетом наличия пор имеем:
где
- объемная доля лития, входящая в сплав,
-
объемная доля кобальта, входящая в
сплав,
-
коэффициент пористости,
-
компоненты тензоров коэффициентов
упругости лития и кобальта соответственно.
Оценки
и
получаются с использованием последних
уравнений из (3).
Результаты
расчета представлены в виде зависимостей
констант от безразмерной комбинации
.
Пусть
Найдем зависимость
и
.
Преобразуем (4):
Подставим это выражение в безразмерную
комбинацию:
Выразим
и
:
В дальнейшем синей пунктирной линией обозначены оценки по Рейссу, зеленой пунктирной линией – оценки по Фойгту, а красной сплошной линией – оценки, следующие из задачи Эшелби.
6.1.
Коэффициент пористости
Рис. 9. График для модуля объемной упругости
Рис. 10. График для модуля сдвига
Рис. 11. График для модуля Юнга
Рис. 12. График для коэффициента Пуассона
6.2.
Коэффициент пористости
Рис. 13. График для модуля объемной упругости
Рис. 14. График для модуля сдвига
Рис 15. График для модуля Юнга
Рис. 16. График для коэффициента Пуассона
6.3.
Коэффициент пористости
Рис.
17. График для модуля объемной упругости
Рис. 18. График для модуля сдвига
Рис. 19. График для модуля Юнга
Рис. 20. График для коэффициента Пуассона