5.Механика кровообращения.5.1.Давление и кровоток в артериях. Действие гравитации. Модель упругого резервуара

В стенке крупн. кровен. сосудов находятся коллагеновые и эластиновые волокна. Упругость стенок определяется в основном эласт. волокнами, так как кол. волокна сориентированы т.о., что при растяжении они выпрям-ся, но не растяг-ся по направлению оси. Когда мы говорим о давл. крови, то представляем величину давл-я по отношению к атм. дав-ю, но для потока важна раз-ть давл-й вдоль сосудист. русла, а для растяж-я сосудов важно трансмуральное давление, т.е. раз-ть между давл. крови внутри сосуда и давл., действующ. на внеш. стенку сосуда. Система кровообращения(грубо):

- давление в легочной артерии, - давление в некотором артериальном сегменте сосудистого русла, - кровоток, - сопротивление.

Тогда справедлива формула

давление крови больше внизу и меньше вверху. Раз-ть давл-й опред. величиной . Такое дей-е гравитации может привести к явлению, назыв. ортостатическим обмороком. if человек резко переходит из гориз. полож-я в вертик., давл. крови на уровне головы резко падает, а на уровне ног – увелич.. В венах начин. накап. кровь, поэтому возврат крови по венозной системе уменьш. Поэтому уменьш. наполнение сердца →, сердечный выброс. Сниж. кровотока в аорте приводит к уменьш. кровот. через мозговые сосуды. If давл. крови на уровне глаз уменьш. до 30 мм.водн.ст., набл. серая пелена - на периферии зрение ухудшается. If давл. пад. до 10 мм.водн.ст., возник. черная пелена – человек перестает видеть. Сердце пыт. компенс. этот недостаток и нач. усердно биться. В обыч. усл-х этого мех-ма хватает для востан-я уровня кровотока, но if человек длительное время находился в гориз. состоянии, то этих мех-в не достаточно, и человек теряет сознание. Это явление также встреч. у космонавтов, кот. длит. t пребывают в сост-ии антигравитации. При перегрузках сильно возрастает g, поэтому вертик. раз-ть давлений возраст. пропорц. перегрузкам. Поэтому также могут возникнуть явления черной и серой пелены.

Самая простая модель сосудистого русла – компартментальная модель упругого резервуара. Эта модель рассм. с-му кровооб-я как с-му с сосредоточ. пар-ми.В сос. русле выдел. участки, каждый из которых явл. отдельным упругим резервуаром. Каждый резервуар опис. ур-ми: Q₂R_ab = P_a - P_b ; Q₂-Q₁ = -dV_a/dt ; P_a = (V_a-V_a0)/C_a, - давл. и объем в 1м рез-ре, -во 2м, - величина кровотока, - сопротивл. между рез-ми, С – вел-на растяжимости рез-ра, - объем 1го рез-ра, при кот. давл-я внутри и снаружи резервуара одинаковы. Резистивная часть между резервуарами не облад. объемом, т.е. сколько втекло крови, столько и вытекло. Эти уравнения позвол. описать динамику кровообр-я в рез-ре.

Rab

В системе кровообращения также должна быть описана насосная функция сердца.

где Q-объемный кровоток, F – частота сокращ-й, - сократит. способ-ть сердца, - растяжимость, - венозное давление на входе в сердце, - длительность диастолы, - объем нерастянутого желудочка, а величины под экспонентой учитывают сопротивление клапанов.

Данная зависимость выведена на основе закона Франка-Старлинга.

5.1(Трехмерные уравнения (неразрывности и импульса – Навье-Стокса). Уравнения для линейного, невязкого варианта. Распространение пульсовой волны. Вывод формулы Моэнса-Кортевега. Нелинейные эффекты. Число Рейнольдса, число Уомерслея.

Раз с-ма имеет распределенность в пространстве, то в ней могут возникать волны. Ур-я, кот. опис. мех-ку с-мы кровооб-я, рассматриваемую как система с распределенными параметрами:

Уравнение Навье-Стокса (Уравнение баланса импульса) для несжимаемой жидкости:

,где - скорость, - плотность, - давление, - коэффициент кинематической вязкости, - конвективное ускорение.Видно, что уравнение не линейно по , поэтому решается только в простых случаях.

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости имеет простой вид:

Это 2 ур-я баланса. Ур-е сохр. эн-и не нужно, т.к. t несжимаемой жидкости const. Но нужно иметь замыкающее уравнение для всей трубки в целом (закон трубки):

Эти три уравнения полностью описывают распространение пульсовой волны в сосудистом русле.

Рассмотрим одномерный случай:1) , где вязкостное слагаемое , что по смыслу является силой трения, приходящ. на единицу площади сосуда.

Для течения Пуазейля τL = 8πηu, а для турбулентного потока τL = ρK_tu²

2) уравнение неразрывности ∂S/∂t + ∂(uS)/ ∂x = 0

Будем считать, что стенка невязкая, линейно упругая. Тогда 3) закон трубки

Пренебрегая в первом уравнении вторыми слагаемыми в левой и правой частях, получим: Уравнение неразрывности вместе с законом трубки дает:

Помножив первое из этих уравнений на , а второе на , получим волновое уравнение Тогда скорость пульсовой волны равна

- формула Моэнса-Кортевега

Для тонкостенного сосуда, модуль упругости которого равен , а толщина равна , а диаметр

Оценим, справедливы ли наши упрощения. Мы предполож. линейность и пренебрегли конвективным ускорением. Это справедливо,if конвективное ускорение меньше, чем 1е слагаемое в уравнении Навье-Стокса. Для этого нужно, чтобы u/c << 1. Реально наблюдаются величины u/c~0.4 Второе упрощение – линеаризация кривой зависимости S от Р. Это можно делать, когда мы работаем на небольшом участке. Мы рассматривали диапазон dP/P ~ 0.2.Эти источники нелинейности искажают форму пульсовой волны, но на скорость влияют мало.Пренебрегать вязкостным слагаемым можно в том случае, если число Уомерслея (отношение сил инерции к силам вязкости) α >> 1, а в аорте человека α ≈ 20 .

Распространение пульсовой волны в сосудах выглядит следующим образом:←

По мере того, как давление крови повышается, аорта растягивается и становится более жесткой. Тогда величина снижается, и скорость возрастает. Видно также, что скорость пульсовой волны мало меняется с частотой, что связано с слабым влиянием вязкости стенки.

Дерево сосудов – ветвящееся, поэтому в бифуркациях сосудов происходит отражение волн. Исходя из теории длинных линий, можно найти отношение амплитуды давлений в отраженной волне к амплитуде давлений в падающей волне. Если у нас есть гармонические колебания в системе, то давление и поток связаны линейно где - механический импеданс системы.

Для трубочки сечения S импеданс системы равен, где с – скорость пульсовой волны.

Тогда отношение амплитуд падающей и отраженной волн (коэффициент отражения) равногде -импеданс материнской ветви, а - импедансы дочерних ветвей.

Видно, что полное согласование возможно в случае, когда

Тогда отраженная волна отсутствует. Но исследования показали, что реальная сосудистая система человека не является полностью согласованной, и в ней есть отраженные волны.

Число Рейно́льдса - безразмерная величина, характеризующая отношение нелинейного и диссипативного членов в уравнении Навье-Стокса. Число Рейнольдса также считается критерием подобия течения вязкой жидкости.

Re= ρ v L/ η= v L/ ν= Q L/ ν A где ρ — плотность среды, кг/м3; v — характерная скорость, м/с; L — характерный размер, м; η — динамическая вязкость среды, Н·с/м2; ν — кинематическая вязкость среды, м2/с ; Q — объёмная скорость потока; A — площадь сечения трубы.

5.2Кровоток в спадающихся сосудах: Механика стационарного потока в спадающихся сосудах. Запирание потока. Зависимость потока от давлений в общем виде. Спадение сосудов в легких и легочное кровообращение. Характерные параметры, скорости в венах. Метод измерения давления крови по звукам Короткова, аналогия с ударной волной в газе

Течение в спадающихся (коллапсобильных) трубках и артериях.Коллапс наблюдается в мягких податливых трубках, когда давл. снаружи трубки>давл. внутри нее. При сжатии трубки сначала сечение становится эллиптическим, а потом начинает схлопываться. Рис: зав-ть относ. изменения площади поперечного сечения от трансмурального давления в трубке:

где А₀ – площадь трубки при нулевом давлении внутри нее.

Когда давл. внутри труб. большое, труб. растянута, имеет круглое сечение. Растяжимость при этом мала. При уменьш. трансмур. давл-я площадь сечения уменьшается. Сплошная л. –для полой вены собаки, пунктир. – для трубочки из латекса. Вена более растяжима при больш. давл., лучше держит форму при отриц. давл. На правом рис. относит. изменение периметра трубочки из латекса (треуг) и вены (крест) в зав-ти от измен-я давл-я. При измен-и давл-я периметр у вены мен. сильнее, чем у лат. труб., хотя их р-ры одинаковы (внут. d вены и трубки 1,2 см, h/d=0,04).Cвязано с тем, что модули Юнга различаются в 40 раз.

←Изменение формы сечения трубочки при измен. трансмур. давления. Форма трубочки меняется от круга до «гантельки»

При дальнейш. увелич. разницы давлений площадь открытых участков (круж.) уменьш., а длина перемычки– увел. Упругость трубочки препятствует полному схлопыванию просветов.

В нек. диапазоне трансмур. давл-й площадь сечения схлопывающ. трубки:(при P_тм<-β, трубка без учета продольного натяжения) где β – давление коллапса, т.е. давление, при кот. трубка начинает схлопываться. Зная геом. р-ры трубки и модуль Юнга, можно рассчитать давление коллапса.