2.Показать различные методы вычисления коэффициентов ошибок.
Для оценки точности воспроизведения непрерывных функций часто используются коэффициенты ошибок, которые оказываются наиболее удобными для управляющих сигналов класса полиномов.
Оригиналом
по отношению к изображению
служит импульсная переходная характеристика
.
Ошибку можно вычислить с помощью
интеграла Дюамеля
.
(10.8)
Если
управляющее воздействие представляет
собой непрерывную медленно меняющуюся
функцию, то ее выгодно представить в
виде разложения по степеням
,
ограничившись небольшим числом слагаемых. Подставив это разложение в (10.8), получим выражение вида
,
(10.9)
где
(10.10)
называются коэффициентами ошибки.
Напомним,
что интегралы вида (10.10) называются
моментами
порядка r
функции
.
Вычисление коэффициентов ошибки не
обязательно выполняется интегрированием.
Если продифференцироватьr
раз
преобразование Лапласа по s
положить
затем s
= 0 , то, как
легко видеть, получится выражение вида
(10.10). Вычисления выполняются особенно
просто, если передаточную функцию
представить в виде разложения в
окрестности точкиs
= 0
(10.11)
причем для этого нет необходимости в многократном дифференцировании, имея в виду, что все передаточные функции принадлежат к классу дробно-рациональных и легко представляются в виде разложения путем деления полиномов, расположенных по возрастающим степеням s.
Коэффициенты ошибок наиболее наглядно показывают, какую роль в точности автоматических систем играет коэффициент усиления в разомкнутом состоянии и так называемый порядок астатизма, с которым необходимо предварительно познакомиться.
С формальной точки зрения астатической называется система, передаточная функция которой имеет вид
,
где
порядок полюса
называетсяпорядком
астатизма.
Системы с нулевым порядком астатизма
называются статическими.
Как мы увидим, следящие системы не бывают статическими, ибо они обязательно имеют исполнительный элемент, обладающий свойствами интегрирования. На практике получили распространение системы первого и второго порядков астатизма. Так следящая система, рассмотренная нами в лекции 7 (Пример 7.1) имеет первый порядок астатизма. Проанализируем, какую ошибку будет иметь система в установившемся состоянии (т.е. по окончании переходного процесса) при различных управляющих функциях. Находим передаточную функцию по отношению к ошибке
.
(10.12)
Ограничиваясь тремя первыми членами, запишем разложение передаточной функции вида (10.11)
.
В полученном разложении отсутствует нулевой коэффициент ошибки. Это означает, что астатическая система при постоянном входном воздействии после затухания переходного процесса не имеет ошибки, независимо от величины этого воздействия. Первый коэффициент ошибки равен 1/ k , т.е. составляющая ошибки, пропорциональная скорости изменения входного сигнала тем меньше, чем выше коэффициент усиления k. По этой причине этот коэффициент называется добротностью следящей системы.
Система второго порядка не имеет установившейся ошибки при постоянной скорости входного сигнала, т.е. работает с еще большей точностью. Таким образом, при повышении порядка астатизма точность работы автоматической системы возрастает. Однако такое повышение требует специальных мер по обеспечению устойчивости. В связи с этим системы уже третьего порядка астатизма практически не встречаются.
При вычислении установившегося значения ошибки для входного воздействия произвольного типа полезно также использовать теорему о конечном значении
.
(10.13)
Пусть, например, на систему с передаточной функцией по отношению к ошибке вида (10.12) действует входная функция
.
Т.к.
в этом случае
,
то предельное значение ошибки равно
.
Билет № 4.