Коэффициент а1 характеризует скорость нарастания воздействия X(t).

Рис. 2.2. Виды типовых воздействий

2.Дать определение и указать на области использования импульсной переходной функции линейной динамической системы.

Реакция динамической системы на это входное воздействие называется импульсной переходной характеристикой, которую обычно обозначают символом . Пользуясь этим понятием, можно получить выражение для вычисления реакции системы на воздействие произвольного типа, в том числе и на воздействие типа непрерывной функции времени.

Формально импульсную переходную характеристику можно определить как оригинал по отношению к передаточной функции. В самом деле, т.к. изображение единичного импульса равно 1, то изображение можно записать как

.

Если импульс возникает в момент , то реакция на него будет также сдвинута и равна, причем поскольку эффект не может предшествовать причине, вызвавшей его , то при.

С другой стороны любая ограниченная функция может быть представлена суммой элементарных импульсов

,

где

и при остальных значениях аргумента. В силу линейности реакция системы на сумму импульсов будет равна сумме реакций на каждое слагаемое, т.е.

.

Переходя к пределу при , получаем формулу, известную какинтеграл Дюамеля

. (10.1)

Если иметь в виду замечание о причине, вызывающей импульсную реакцию, то в формуле (10.1) верхний предел можно ограничить текущим моментом времени, т.е.

. (10.2)

В случае, когда входной сигнал равен нулю при отрицательных значениях аргумента в формулах (10.1) и (10.2) нижний предел интеграла также равен нулю.

Последние два выражения можно получить и более строгим путем, преобразуя по Лапласу свертку, т.е.

(10.3)

В последнем выражении сделаем замену переменных, положив

(10.4)

с Якобианом преобразования

.

При этом область интегрирования преобразуется, как показано на

рис.10.1.

Рис.10.1. Преобразование области интегрирования при подстановке (10.4).

Тогда (10.3) примет вид

. (10.5)

Следовательно, оригинал в формулах (10.1) и (10.2) действительно является выходным сигналом и интеграл Дюамеля доказан формальным путем.

Изображения ивходят в (10.5) симметрично. Поэтому интеграл Дюамеля можно записать также в виде

.

Билет № 3.

1.Математическое описание периодических и непериодических сигналов. Какие сигналы имеют изображение по Лапласу?

Функция f(t) называется периодической, если существует величина T, такая что для любого значения t f(t+T)=f(t). Наименьшая из величин T называется периодом.

Весьма широкий класс периодических функций можно разложить в ряд Фурье

. (2.1)

Здесь коэффициенты a_k и b_k вычисляются с помощью соотношений

,

(2.2)

Ряду Фурье можно придать комплексную форму, если воспользоваться соотношениями

и

.

Введем обозначение и, замечая, что согласно (2.2), запишем ряд (2.1) в комплексной форме

. (2.3)

Нетрудно заметить, что коэффициенты в (2.3) вычисляются с помощью формулы, вытекающей из (2.2), а именно

. (2.4)

Введем обозначение . Очевидно при этом приращение

и, следовательно, согласно (2.3) и (2.4),

. (2.5)

Переходя к пределу в (2.5) при и обозначая

, (2.6)

запишем

. (2.7)

Мы получили соотношения, которые играют в дальнейшем важную роль во всей изучаемой нами дисциплине. Это прямое (2.6) и обратное (2.7) преобразования Фурье. Предельный переход означает, что мы распространили ряд Фурье на непериодические функции, и этим существенно расширили класс исследуемых сигналов.

Заметим, что функция , фигурирующая в формуле прямого преобразования должна допускать сходимость несобственного интеграла. Разумеется, не все функции обладают этим свойством. Например, функция1/t не может быть преобразована по Фурье - она недостаточно быстро убывает (кроме того, она имеет разрыв при t=0). Для того, чтобы гарантировать сходимость несобственного интеграла в (2.5),во многих случаях достаточно предварительно умножить преобразуемую функцию на экспоненту с отрицательным показателем, т.е. рассматривать в дальнейшем такие функции, которые допускают существование интеграла

(2.8)

Константа с называется абсциссой абсолютной сходимости, а преобразование вида (2.8) называется прямым преобразованием Лапласа.

В соответствии с введенным обозначением для параметра s можно записать и обратное преобразование (2.7) в форме

. (2.9)

В математической литературе принято называть изображением

по Лапласу функции , которая в свою очередь называетсяоригиналом.

Пользуясь преобразованием Лапласа, мы еще более расширяем класс исследуемых сигналов. Найдем, например, изображение для

оригинала , причем параметрможет быть как отрицательным, так и положительным. Обращаясь к (2.8), находим

. (2.10)

Формула (2.10) открывает широкие возможности для получения изображений еще нескольких оригиналов. Полагая ,запишем сразу изображение для единичного скачка, причем будем пользоваться следующей символикой:

. (2.11)

Далее, полагая ии пользуясь линейностью интегрального преобразования, получим изображения для двух гармонических функций:

, (2.12)

а также

. (2.13)

Из формулы (2.10)видно также, что умножение оригинала на экспоненту влечет соответствующий сдвиг в области переменного s . Таким образом,

(2.14)

и

. (2.15)

Нам понадобится еще формула для изображения производной от оригинала. Для этого рассмотрим интеграл

. (2.16)

Формула (2.11) без труда распространяется на любой порядок производной:

. (2.17)

Применим формулу (2.17) к дифференциальному уравнению (1.1)

При нулевых начальных условиях. Обозначая для краткости

и ,

имеем

.

Найдем отношение

. (2.18)

Мы получили выражение для передаточной функции линейной динамической системы, которая в соответствии с выражением (1.3) обозначается тем же символом, что и частотный оператор.

Определение

Передаточной функцией линейной динамической системы называется отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях.