Билет № 1.

1.Перечислить методы математического описания линейных динамических систем. Показать, как перейти от одного способа к другому. Доказать линейность применяемых операторов.

1) Линейные дифференциальные уравнения

Здесь - постоянные коэффициенты, x - выходная величина динамической системы, g - входная величина. Дифференциальное уравнение полностью описывает свойства линейной динамической системы (не обязательно системы управления).

2) При исследовании свойств систем управления в ряде случаев более удобным представляется частотный оператор, который также служит полной характеристикой линейной динамической системы. Для получения выражения частотного оператора подадим на вход линейной системы входное тестовое гармоническое

и попробуем найти выходную величину в форме

Дифференцируя по времени t получаем выражение для частотного оператора

.

Частотный оператор линейной динамической системы представляет дробно-рациональную функцию величины ,- частота входного тестового гармонического воздействия. Сам оператор является комплексной функцией и может быть записан в форме

;

здесь - модуль частотного оператора и называется амплитудной частотной характеристикой,- аргумент частотного оператора и называется фазовой частотной характеристикой. Нетрудно выяснить тот факт, что амплитудная частотная характеристика является четной, а фазовая частотная характеристика - нечетной функцией частоты.

Из физических наблюдений известно, что с увеличением частоты входного воздействия амплитуда на выходе убывает (по крайней мере, начиная с некоторого значения частоты). Это объясняется тем, что порядок знаменателя, вообще говоря , выше порядка числителя. Это свойство частотного оператора называют свойством физической осуществимости

3) Среди тестовых сигналов особая роль принадлежит δфункции или функции Дирака. Реакция динамической системы на это входное воздействие называется импульсной переходной характеристикой, которую обычно обозначают символом . Пользуясь этим понятием, можно получить выражение для вычисления реакции системы на воздействие произвольного типа, в том числе и на воздействие типа непрерывной функции времени.

Формально импульсную переходную характеристику можно определить как оригинал по отношению к передаточной функции.

.

1.Перечислить методы математического описания линейных динамических систем. Показать, как перейти от одного способа к другому. Доказать линейность применяемых операторов.

Линейные динамические системы можно описать несколькими способами:

1. С помощью дифференциального уравнения звена

стандартный вид:

Где - постоянные времени

- коэффициент усиления

X1 – входная величина

X2 – выходная величина

2. С помощью передаточной функции звена

Передаточная функция звена – отношение изображений Лапласа выходной и входной величин, при нулевых начальных условиях

Из преобразования Лапласа следует, что

Тогда

3. С помощью весовой (импульсной переходной) функции звена

Весовой функцией звена (k(t)) называется оригинал (обратное преобразование Лапласа) передаточной функции

Зная весовую функцию звена k(t), можно определить его передаточную функцию:

4. С помощью переходной функции звена

Переходная функция звена – реакция звена на единичное ступенчатое воздействие

Откуда

Отношение между весовой и переходной функциями звена:

5. С помощью частотной характеристики звена

Частотные характеристики – формулы и графики, характеризующие реакцию звена на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме (вынужденные синусоидальные колебания звена)

Если

То

Где А – усиление амплитуды

–сдвиг по фазе

Пусть уравнение звена имеет вид

Символическая запись колебаний

,

Подставив в уравнение звена, получим :

Откуда

Сравнивая это выражение с передаточной функцией (см выше похожее выражение), имеем: - амплитудно – частотная хар-ка звена

Отсюда

–фазовая частотная хар-ка звена

А – амплитудная частотная хар-ка звена

В общем виде имеем:

Выделив мнимую и вещественную часть, имеем: