студ ивт 22 материалы к курсу физики / belonuchkin_ve_zaikin_da_tsipeniuk_ium_kurs_obshchei_fiziki

рону, когда жидкость медленно вращается и успевает остывать при прохождении через верхнюю часть петли. Однако любое малое отклонение скорости или температуры приведет к тому, что жидкость начнет ускоряться и установится нестационарный режим вращения, «то сюда, то туда», при котором число оборотов жидкого кольца в какую-либо сторону оказывается случайной величиной.

5.7.Пути возникновения хаоса. Каскады Фейгенбаума

При переходе системы от режима периодических колебаний к стохастическому, как это наблюдается в разобранных выше экспериментах, энтропия скачком меняется от нуля до некоторой положительной величины. Но что происходит при этом в фазовом пространстве системы, как возникает стохастичность? Говорят также, каков сценарий развития неустойчивости? Этот вопрос является принципиальным для многих явлений.

Вообще говоря, пути возникновения хаоса могут быть разные, но один из них, наиболее распространенный среди простых систем, заключается в следующем. Пусть движение системы периодично, что соответствует в фазовом пространстве наличию

устойчивого предельного цикла. Это означает, что все соседние траектории как бы навиваются на эту замкнутую кривую, как это показано на рис. 5.12. Для устойчивых движений характерно затухание малых отклонений, предельный цикл как бы притягивает к себе все близкие траектории и поэтому его называют аттрактором (от английского слова attract, что значит привлекать, притягивать).

Рис. 5.12

Изменим параметр системы (обозначим его через ) таким образом, что периодический режим теряет устойчивость. При этом нарастают возмущения какого-либо определенного типа. Во многих случаях периодический режим оказывается наиболее неустойчивым по отношению к периодическим возмущениям удвоенного периода (у них наибольшая скорость роста), наибольшее влияние оказывают возмущения с вдвое меньшей частотой.

Геометрически в фазовом пространстве системы этому соответствует рождение вблизи старого замкнутого цикла нового — двухоборотного цикла, как это показано на рис. 5.12. Этот цикл удвоенного периода становится аттрактором, а исходный теряет устойчивость. Затем с ростом параметра этот двухоборотный цикл сам становится неустойчивым — рождается устойчивый четырехоборотный цикл и т. д. Таким образом через последовательность удвоений периода система переходит к хаосу, причем этот переход осуществляется скачком при некотором критическом значении параметра .

Оказывается, что удвоение периода — это характерная черта перехода системы от простого периодического к сложному апериодическому движению. Они оказываются общими для широкого класса гидродинамических, механических, химических, электрических систем. Такие последовательности удвоений периода называют также каскадами Фейгенбаума.

Наглядную физическую иллюстрацию перехода к динамическому хаосу предложил Л. П. Каданов, рассмотрев так называемое логистическое уравнение

Это выражение задает закон преобразования переменной , и, в частности, оно описывает следующую модельную ситуацию, аналогичную рассмотренному выше примеру с зайцами и рысями. На изолированном острове летом выводятся насекомые общей численностью и кладут яйца. Потомство численностью1 появляется лишь на следующее лето. Рост популяции насекомых описывается первым членом в правой части уравнения (5.11), убыль (из-за недостатка пищи при слишком большой

с ростом вымирает и исчезает (это условие очевидно: если рост следующего поколения все время меньше предыдущего, то такая популяция вымирает). В области 1 3 численность популяции приближается к ненулевому постоянному значению

11 , определяемому подстановкой в уравнение вместо

1 и их предела . Это область стационарных решений. Но уже при 3 3, 4 появляются две ветви кривой. Численность популяции колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала численность популяции насекомых с малого значения резко возрастает, откладывается большое число яиц. Но на следующий год возникает перенаселенность, и через год численность популяции снова становится малой. Период возникающих колебаний популяции равен двум годам.

Далее, при 3,4 3,54 имеются уже четыре ветви. Возникает четырехстадийный цикл колебаний, период цикла удваивается. Затем появляются 8, 16, 32, ..., 2 ветвей. Соответственно растет, удваиваясь, период цикла. При значении 3,57 движение становится апериодическим (период цикла стремится к бесконечности), поведение системы приобретает хаотический характер, происходит перекрытие областей различных решений.

Таким образом, в данной модели существует диапазон значений параметра , когда поведение системы упорядочено и периодично. Внутри этого диапазона с изменением параметра происходит последовательное удвоение периода, затем он становится бесконечным, а поведение системы перестает быть периодическим.

Ученых всегда интересовало, есть ли какая-либо универсальность в сценариях перехода к хаотическому движению или каждый раз это происходит непредсказуемым образом. Такие универсальные законы перехода к хаотическому состоянию при удвоении периода были установлены М. Фейгенбаумом. Эта универсальность заключается в следующем: расстояние между значениями параметра , при котором рождается цикл периода 2 ,

где Æ 4,6692016 — универсальная постоянная Фейгенбаума. Именно такой является скорость перехода к беспорядку осцилляторов, популяций, жидкостей и вообще всех систем, испытывающих удвоение периода. Это означает, что, обнаружив экспериментально несколько первых удвоений, на основании универсального закона можно предсказать значение параметракр, вслед за которым в системе возникает хаос.

Примечательно, что законы Фейгенбаума были экспериментально подтверждены для ряда совершенно различных по своей природе систем. С другой стороны, что не менее важно, на основе этого подхода может быть найден ответ на противоположный вопрос: как избежать хаотизации данной конкретной системы. Это имеет большое значение, например, для проблемы управляемого термоядерного синтеза.

5.8. От хаоса к самоорганизации

Все процессы можно разделить на два класса: сложные, или хаотические, и простые, или упорядоченные. Задачей инженеров является создание устройств второго типа: отдельные части механизма, совершающие отдельные упорядоченные действия, объединяются в единое целое для выполнения некоторой общей задачи. Так устроены, например, автомобили, самолеты, радиоприемники и часы. Все они собраны из отдельных простых частей, каждая из которых, по идее, отвечает за одну какую-нибудь функцию механизма. Важными технологическими проблемами являются также учет и сведение к минимуму влияния неупорядоченных процессов, например, сложных атмосферных явлений, вихрей в турбулентном потоке, шумов в электронной схеме и т. д.

Рассмотрим, например, шумовой сигнал, поведение которого нерегулярно и трудно предсказуемо. Описать шум на математическом языке можно, как и любой другой случайный процесс, лишь статистически. Это значит, что хотя и нельзя предсказать, какова будет, например, амплитуда шума в следующий момент времени, но вполне возможно, зная статистические свойства этого случайного процесса, оценить вероятность достижения сигналом каких-то определенных значений. Поэтому исследование неупорядоченных процессов заключается в определении вероятностей и, исходя из вероятностей, в определении того, что нас в данном случае интересует, например какое влияние оказывает турбулентность воздуха на лобовое сопротивление самолета.

Казалось бы, чем выше степень неравновесности, тем надежнее устанавливается в ней хаотическое, турбулентное движение. Является ли это утверждение всеобщим? Оказывается, что нет. Можно привести много примеров детерминированных систем

сбесконечным числом степеней свободы, в которых, наоборот,

сростом неравновесности движения становятся все более организованными. Один из них — образование периодических пилообразных или колокообразных волн в газе и плазме, появляющиеся среди хаоса начальных возмущений при увеличении энергии источника. Возникший хаос может при определенных условиях уступить место высокоорганизованной структуре. Многие, кто летал на самолете над облаками, имели удовольствие наблюдать их хорошо упорядоченную, регулярную структуру. Иногда в виде прямоугольных или шестигранных ячеек, иногда в виде валов или «улиц». Всегда вызывает удивление эта картина, возникшая среди беспорядка разнообразных возмущений, нарастающих в слое водяного пара, подогреваемого снизу более теплым воздухом.

Поэтому необычайно интересна и привлекательна обратная проблема — как возникает порядок из беспорядка в сложных

системах. Подчеркнем еще раз, что диссипативные структуры образуются в открытых системах, т. е. в системах, способных обмениваться веществом и энергией с внешней средой. Однако в системах, где возможно формирование структур, второе начало не нарушается. Оно лишь проявляется в более общем виде, уточняя условия структурирования системы. А именно, стационарная неравновесная система, имеющая диссипативную структуру, должна потреблять отрицательную энтропию (негэнтропию). Если диссипативные структуры возникают как очаги внутри большой изолированной системы, то суммарная энтропия будет возрастать. Более того, в расширенной системе, включающей диссипативные структуры, скорость возникновения энтропии выше за счет интенсивной генерации энтропии в структурных очагах.

Понимание совместимости второго начала термодинамики со способностью к самоорганизации — одно из крупнейших достижений современной термодинамики. Заслугой неравновесной термодинамики является осознание того факта, что неравновесность может быть причиной порядка. Оказалось, что необратимые процессы в открытых системах могут приводить к возникновению нового типа динамических состояний материи — диссипативных самоорганизующихся систем. При этом источником нововведений в системе, т. е. источником структурной эволюции, являются флуктуации, «запускающие» механизм неустойчивости, который, в свою очередь, приводит к формированию новой пространственно-временной структуры. И, что необычайно важно, формирование структур происходит вдали от состояния равновесия. В ходе неравновесного процесса из пространственнооднородного состояния самопроизвольно (спонтанно) возникает пространственно-временная структура, которая называется диссипативной.

С задачей возникновения порядка из беспорядка тесно связана проблема происхождения жизни на Земле, которая всегда была одной из центральных проблем науки. Конечно, в основе своей это задача биологии, однако не менее принципиален этот вопрос и для физики, ибо в рамках основных физических законов следует понять, каким образом могло произойти возникновение живой природы из неживой. Для физики существенным оказывается следующий опытный факт: большинство биологических механизмов действия свидетельствует о том, что жизнь сопряжена с далекими от равновесия условиями за порогом устойчивости термодинамической ветви. Невольно это приводит к мысли, что происхождение жизни может быть связано с серией последовательных неустойчивостей.

Значение и роль необратимых физических процессов для биологических систем были поняты значительно раньше, чем сфор-

мулированы современные статистические и термодинамические теории необратимых процессов, которые мы рассматривали. Еще

вработах В.И. Вернадского содержались представления современной теории самоорганизации.

Макромолекулярные структуры одинаково широко распространены как в неживой, так и в живой природе. При этом на современном этапе можно провести принципиально важное разделение между реализацией макромолекулярных структур в неживой и живой природе. Суть дела состоит в том, что на протяжении долгого времени несмотря на в принципе близкое строение макромолекулярных структур в обоих случаях, считалось, что функционирование их происходит по двум различным законам:

вслучае неживой природы вполне адекватна квантовая механика, статистическая физика, электродинамика, тогда как в живой природе реализуются особые биотонические закономерности. Однако после создания синергетики стало ясно, что здесь имеет место «один закон, но два различных случая его реализации». Речь идет о том, что термодинамика неравновесных процессов включает в себя возможность анализа явлений как живой, так и неживой природы; отличие состоит лишь в том, что в неживой природе реализуется слабое отклонение от состояния равновесия (на это было указано Онсагером еще в 1938 г.), тогда как в живой природе все макромолекулярные структуры функционируют

вусловиях сильного отклонения от состояния равновесия, что приводит к процессам самоорганизации на различных уровнях сложной иерархической системы. Интересно отметить, что подобное представление о взаимосвязи живой и неживой природы может явиться основой нового концептуального подхода, в основе которого лежит аналогия явлений живой и неживой природы на молекулярном уровне. Тем самым физика, по крайней мере

впринципе, может сказать, почему было возможно зарождение жизни на Земле.

Мы лишь в очень малой степени затронули необычайно большую область современных исследований неравновесных процессов. В их изучении огромную роль играют современные математические методы, биология, биохимия и многие другие области современного естествознания, что выходит далеко за рамки курса общей физики.

Задачи

1. Самоорганизация и эволюция открытых биологических систем на всех уровнях (от клетки до биосферы в целом) происходит вследствие оттока энтропии в окружающую среду. Оценить верхний предел оттока энтропии от Земли. Получаемая Землей от Солнца энергия составляет 1,2 1017 Вт.

Решение. В силу теплового баланса Земли точно такое же количество тепла, которое получает Земля от Солнца ( C 6000 K), Земля излучает обратно

5.9 ] Задачи 407

в космическое пространство, однако при другой температуре — температура

Это верхний предел экспорта энтропии Землей, ответственный, в частности, за биологическое развитие и эволюцию.

2. По отношению к космическому кораблю организм космонавта является открытой системой, хотя сам корабль хорошо изолирован от окружающего космического пространства. Показать, что стационарное состояние космонавта поддерживается возрастанием энтропии в окружающей среде.

Решение. Общее изменение энтропии всей системы по II началу положительно, т. е.

1 2 0, где 1 и 2 — изменение энтропии космонавта и окружающей среды, причем

1 1 1

Здесь — энтропия, производимая внутри системы, а — энтропия, поступающая извне или уходящая во внешнюю среду.

Изменение 2 происходит в результате обмена среды веществом и энергией с космонавтом — продукции энтропии в среде, окружающей космонавта, практически нет. Поэтому

2 1 и 1 0

Если состояние космонавта стационарно, то

1 0, 1 1 0, 2 1 0

Стационарное состояние космонавта поддерживается возрастанием энтропии в окружающей среде, определяемым оттоком в нее энтропии из организма космонавта, компенсирующим продукцию энтропии в организме. Энтропия среды возрастает ( 2 0) вследствие выделения теплоты космонавтом и вследствие того, что энтропия веществ, выделяемых космонавтом, выше энтропии потребляемых им веществ.

3.Уравнение Навье–Стокса для вязкой жидкости может быть приведено

кразностному уравнению

если предположить, что в нем имеется некоторое характерное течение с периодом . В этом уравнении — скорость течения, 0 — некая характерная скорость течения, например, скорость движущегося в нем тела, а Re — число Рейнольдса. Какова будет при этом скорость такого периодического течения? Найти условие устойчивости периодического течения и показать, что на границе устойчивости возникает движение с удвоенным периодом.

Решение. Строго периодическое решение означает, что 1 1 . Подставляя это решение в исходное уравнение (5.13), получаем

Пусть периодическое решение испытывает некоторое возмущение . Подставляя в исходное уравнение решение в виде и ограничиваясь членами первого порядка по , получаем

2

1 0 Re 1 2 1 (5.15)

0

Учитывая, что 1 также удовлетворяет исходному уравнению (5.13), получаем соотношение

Если 2 Re 1 0, то течение устойчиво, так как , т. е. возмущение затухает. Потеря устойчивости происходит при условии 2 Re1 10. Найдем величину Re1, подставляя это условие в соотношение (5.14):

2 Re1 1 1 4 Re 1 0 откуда 1 4 Re1 2 Re1 1 0 2, (5.17)

0

т. е. Re1 3 4. Из уравнения (5.16) следует, что на границе

и, следовательно,

2

Таким образом, течение со скоростью 1 тоже периодическое, но с периодом 2 , т. е. с удвоенным периодом исходного течения.

Г л а в а 6

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

XIX век был богат открытиями. Учение о теплоте превратилось в строгую науку — термодинамику. Учения об электричестве, магнетизме и свете объединились в электродинамику, науку об электромагнитном поле. Казалось, что для полноты научного описания природных явлений с единых позиций достаточно сделать лишь один шаг — применить к электромагнитному полю представление о тепловом равновесии. Задача эта родилась вполне естественно, как только физики стали интересоваться излучением нагретых тел.

Прежде всего возник вопрос о том, можно ли говорить о температуре излучения и вообще о термодинамических свойствах электромагнитного поля. Термодинамика не различает, в какой форме находится материя, ее законы имеют универсальный характер. Все физические системы стремятся к тепловому равновесию, температуры двух систем, находящихся в контакте друг с другом, выравниваются. Однако попытки применить понятие теплового равновесия и законы термодинамики к излучению натолкнулись на неожиданные трудности, которые, как потом оказалось, являются принципиальными. Все расчеты приводили к явно неверным результатам.

Если предположить, что между атомами вещества и излучением есть равновесие, то из законов термодинамики и электродинамики получалось, что чем меньше длина волны, тем больше энергия, приходящаяся на узкий участок спектра в интервале длин волн . Формула классической термодинамики требовала, чтобы нагретое тело излучало в основном короткие волны. Этот вывод еще осложнился тем, что полная энергия излучения оказалась бесконечной.

Тем самым из законов классической физики следовало, что между атомами и электромагнитным полем не может существовать теплового равновесия. Энергия, накопленная атомами, должна неминуемо быть передана электромагнитному полю. В теории наступила, по образному выражению Эренфеста, ультрафиолетовая катастрофа. Все вокруг нас, и мы сами в том числе, должно было бы охладиться, все тепло перешло бы в «бездонную бочку излучения». Но это было только на бумаге, на опыте никакой катастрофы не происходит.