Теория автоматического управления. Волков В.Д., Смольянинов А.В

чением клапана. Другим примером может служить управление подвижным объектом (захватом робота, стеллажным погрузчиком, стрелой крана и т.д.),

когда требуется выйти в точку с заданными координатами в заданное время,

с заданной точностью, в заданном направлении, израсходовав минимальное количество энергии, обеспечивая минимальную вероятность аварийных си-

туаций и т.д. Некоторые из перечисленных требований формализуются на основе характеристик, определяемые для других потребностей: зависимости частоты вращения или положения выходного органа от управляющего воз-

действия, параметров режима движения и конструктивных особенностей аг-

регата, энергетических характеристик приводного двигателя.

Другие требования для формализации требуют построения специаль-

ных «искусственных» целевых функций и, в силу часто возникающих проти-

воречий, возможно достижение лишь условных экстремумов (компромисс).

При общей формулировке задачи на оптимизацию вводится понятие совокупность /32/ данных D={D1…Dl}, необходимых для оптимизации объек-

та (системы). Совокупность данных включает совокупности:

условий Y={Y1…Y };

оптимизируемых параметров X={X1…Xn};

показателей качества Q={Q1…Qm};

ограничений O={O1…Oq}.

В совокупность условий входят характеристики полезных сигналов и помех, воздействующих на объект. Совокупность оптимизируемых парамет-

ров образует вектор параметров объекта оптимизации и характеризует вид оптимизационной задачи. Если число оптимизируемых параметров больше единицы (n>1), то задача относится к многопараметрическим, а при n=1 она переходит в однопараметрическую. Совокупность показателей качества об-

разует вектор показателей качества объекта Q={Q1…Qm}. При необходимости характеризовать объект группой показателей качества задача классифициру-

ется как многокритериальная или векторная, если же для оптимизации вы541

бран лишь один показатель качества, то задача переходит в однокритериаль-

ную или скалярную. Совокупность ограничений играет весьма важную роль при постановке и решении оптимизационной задачи. Наиболее часто встре-

а также на показатели качества. Если в задаче векторной оптимизации пере-

вести часть показателей качества в разряд ограничений, то можно ее свести к однокритериальной (скалярной) задаче.

В общем случае объект многопараметрической оптимизации можно представить в виде многомерной системы (рис. 5.33) с n управляемыми вхо-

дами X={x1, x2,…,xn}, характеризующими варьируемые параметры, при по-

мощи которых производится оптимизация системы. Объект находится также под воздействием совокупности условий (полезных и мешающих сигналов)

E={e1, e2,…,es}. Векторы X и E приложены к объекту.

Рис. 5.33. Представление объекта автоматизации

Информация о работе объекта снимается с его выходов. Один из них представляет собой скалярный Q={x1, x2,… xn, e1, e2,…,es,}=Q{X, E} или век-

торный Q={Q1, Q2,… Qm} показатель качества. Скалярный показатель качест-

ва используется при скалярной оптимизации, а векторный – при многокрите-

риальной (векторной) оптимизации.

Кроме того, объект имеет k+р выходов, соответствующих совокупно-

сти ограничений О={O1,…,Oq} вида равенств G={g1,…,gk} и неравенств

H={h1,…,hp}.

При выборе функции качества следует руководствоваться следующими

542

требованиями. Функция качества должна:

отражать наиболее важные особенности объекта, определяющие его целевое назначение;

иметь экстремум в допустимой области.

Теория векторной или многоцелевой оптимизации /101, 102/ рассмат-

ривает проблемы формальных обобщенных методов выбора решений на ос-

нове некоторых правил сравнения вариантов или формирования обобщенной целевой функции (подход Парето), исключает из рассмотрения возможность коррекции по результатам принятого неитерационного решения.

В практических приложениях проблема многокритериальной оптими-

зации не должна и не может решаться целиком формализованным путем: вы-

бор функционала и его уточнение на стадии проектирования системы управ-

ления должны производится с участием «главного конструктора», как прави-

ло, итерационным путем, т.е. с коррекцией по полученным путем моделиро-

вания результатам.

Кроме того, для решения задачи оптимального управления необходи-

мо, прежде всего, иметь информацию о свойствах и состоянии объекта. Эта информация дается в виде математического описания объекта и ряда данных о результатах измерения текущих значений его координат. Информация о свойствах объекта может быть в некоторых случаях полностью задана зара-

нее, априори. В других случаях априори может быть задана лишь часть ин-

формации, другую часть придется получать в процессе эксплуатации либо на основе только пассивного наблюдения за ходом процесса, либо путем орга-

низации специальных пробных воздействий на объект.

Поэтому в зависимости от способа получения информации и способа действия системы оптимального управления можно разделить на три класса:

1)системы с полной априорной информацией об объекте,

2)системы с неполной информацией и независимым или пассивным

еенакоплением,

543

3) системы с неполной информацией и активным ее накоплением в процессе работы.

Кроме того, в любой реально функционирующей системе управления формирование управляющих воздействий происходит в реальном времени.

И, наряду с ограниченностью возможностей априорной и получения текущей информации об объекте, это обстоятельство существенно ограничивает воз-

можности методов оптимального управления, применяемых только на стадии проектирования систем, что связано с быстрым ростом мощности множеств,

с которыми приходится сталкиваться при усложнении (увеличении размер-

ности) нелинейных математических моделей управляемых процессов. По-

этому, многообразие задач, решаемых при реализации оптимального управ-

ления, определило и достаточное многообразие используемых методов,

большинство которых систематизировано в /32/. В настоящем пособии рас-

сматриваются только задачи, связанные с программным управлением, управ-

лением с квадратичным минимизируемым функционалом, получившим в отечественной литературе название «аналитическое конструирование опти-

мальных регуляторов» (АКОР) и с моделью управляемых процессов.

5.5.2. Методология выбора минимизируемого функционала

Для детерминированных непрерывных систем, описываемых в про-

странстве состояний, показатель качества управления представляется в виде минимизируемого функционала, задаваемого, в общем случае, в форме /9/

где V3 – заданная с точностью до вектора (или матрицы) параметров системы скалярная функция конечного (для данного этапа) состояния (терминальная часть функционала или целевой функции) процесса x(tk); L – скалярная функция или, в общем случае, – оператор со скалярным выходом, действую-

щий из пространств состояния и управления; u – управление.

544

Требуется найти такую тройку d* (t*2 ,x* ( ),u* ( )) D(t1 ,x1 ), что

Задача (5.176) с функционалом (5.175) называется задачей Больца; если

в (5.175) отсутствует терминальная часть – задачей Лагранжа; если отсутст-

вует интегральная часть – задачей Майера.

Искомые функции x*( ) и u*( ) называются соответственно оптималь-

ной траекторией и оптимальным управлением, а t*2 – оптимальным момен-

том окончания процесса.

Если любое допустимое управление u*( ) U1 порождает единственную тройку d* D(t1 ,x1 ), то задача (5.176) может быть записана в эквивалентной форме

I(t1 ,x1u* ( )) min I(t1 ,x1 ,u( ))

.

Обычно на основе процедуры предварительного выбора V3 задается не только общая форма этой функции, но и вектор параметров , который мо-

жет уточняться при последующей итерационной коррекции.

Интегрирование в (5.175) может осуществляться по различным интер-

валам времени:

от текущего момента времени t1 = t до конечного t2 = tk;

по скользящему интервалу времени от t1 = t до t2 = t1+Ton, где Ton – за-

данная длительность интервала;

от текущего момента времени t1 = t до фиксированного промежуточно-

го момента времени t2 < tk.

Частным случаем является чисто терминальный функционал (целевая функция), когда t1 = t2 или L 0.

Локальной (в отношении времени) оптимизацией с целевой функцией от текущего состояния называется случай, когда tk = t, L 0. Оптимизация в такой постановке настолько же менее совершенна в сравнении с общим слу-

545

чаем (5.175), когда t2 > t, tk > t, насколько планирование и управление без прогноза на будущее менее совершенны в сравнении с управлением с пред-

виденьем.

Еще менее результативной является минимизация функционала типа

(5.175) при tk = t, t2 = t, t1 < t2 (ретроспективный интервал оптимизации).

Для процессов с дискретным временем (импульсных систем) аналогом функционала (5.175) является

где k – дискретное время.

Оптимизация по функционалам (5.175), (5.177) является однокритери-

альной. Получение обобщенных критериев (функционалов) из множества ча-

стных критериев и требований составляет предмет предварительного выбора функционала и его итерационной коррекции.

5.5.3. Параметрический синтез систем автоматического управления

В ряде практически важных случаев заданы топология системы, струк-

туры операторов, конкретизирована часть параметров, установлены пределы изменения остальных и необходимо определить значения варьируемых пара-

метров, обеспечивающие требуемое качество процесса управления. Такая по-

становка задачи оптимизации получила название параметрического синтеза

/7/. Задача параметрического синтеза часто сводится к расчету настроек ре-

гуляторов промышленной автоматики, когда закон регулирования уже вы-

бран. Решение и других задач синтеза систем автоматического управления – обеспечения инвариантности к возмущениям, стабилизации объектов – за-

вершается этапом параметрического синтеза. Этот этап характеризуется от-

носительно малой исходной неопределенностью: на предыдущих этапах про-

ектирования приняты принципиальные решения о точках съема текущей ин-

формации и приложения воздействий на объект, выбраны алгоритмы перера546

ботки информации, конкретизирована часть параметров и установлены пре-

делы для других.

Установившиеся и переходные, основные и дополнительные процессы количественно характеризуются показателями качества. При параметриче-

ском синтезе преобладает тенденция к взвешенному учету всей совокупности

требований к поведению систем управления.

В постановках задач параметрического синтеза требования к процессам

управления могут выражаться в виде ограничений на показатели качества /7/

Ii (q1 ,q2 , ) Iimax ; i 1,2, (5.178)

Параметры системы должны принадлежать допустимой области Q, на-

пример, заданным интервалам: qkmin qk qkmax; k=1,2,…. В результате решения задачи должно быть найдено подмножество значений параметров Qc Q, при которых удовлетворяются все ограничения (5.178).

Задача параметрического синтеза в такой постановке может иметь множество решений, единственное решение или не иметь ни одного. На рис. 5.34 иллюстрируются ситуации: 1 – множество решений; 2 – отсутствие ре-

шения – для случая, ко-

гда выбираются два па-

раметра q1 и q2 и предъ-

явлены требования к двум показателям каче-

ства I1(q1,q2), I2(q1,q2).

Рис. 5.34. Иллюстрация задачи параметрического синтеза

На плоскости по-

казателей качества (I1,I2) отображается область допустимых параметров Q.

Отсутствие пересечения области допустимых параметров с областью требуе-

мых значений показателей качества свидетельствует об отсутствии решения.

Это чаще всего означает, что этапы топологического и структурного синтеза проведены неудовлетворительно. Следует пересмотреть ограничения на па-

раметры, требования к показателям качества, структуру операторов и даже

547

топологию системы, что изменяет зависимости Ii(q1,q2,….) и увеличивает число выбираемых параметров.

Отображение области допустимых значений параметров Q на про-

странство показателей качества в условиях применения развитых программ-

ных средств не представляет больших трудностей, если невелики размерно-

сти пространств. Это задача многократного анализа, правда, связанная с не-

обходимостью выбора конечного подмножества элементов Q. Как правило,

выбирают узлы решетки, равноотстоящие (для малых интервалов) в обычном или логарифмическом масштабе. Более сложно решить обратную задачу ото-

бражения (синтез) области допустимых значений показателя качества на пространство параметров. На рис. 5.34 приведены примеры этих отображе-

ний для двух ситуаций: 1 –множество решений Qc; 2 – отсутствие решения.

Имеется ряд методов и программ, позволяющих строить в пространстве параметров поверхности равных значений показателей качества /103/.

Не всегда известны или нецелесообразно назначать ограничения на по-

казатели качества. Тогда задача параметрического синтеза часто имеет опти-

мизационную постановку – некоторые показатели качества требуется, на-

пример, минимизировать:

при ограничениях на другие. В (5.179) положено, что вектор параметров q

принадлежит подмножеству Q*, где соблюдены ограничения на другие пока-

затели качества. В частности, непустое множество должно соответствовать устойчивым системам.

Если оптимизируется единственный показатель качества, то имеет ме-

сто задача поиска условного экстремума функции нескольких переменных,

которая решается методами нелинейного программирования.

Оптимизация систем управления, как правило, ведется по нескольким

критериям. Имеет место задача векторной оптимизации:I(q) min.

q Q*

548

Компоненты Ii векторного критерия I называются частными критерия-

ми (показателями). Результаты минимизации частных критериев в общем случае не совпадают. Рис. 5.35 иллюстрирует задачу минимизации двух ча-

стных критериев, зависящих от одного параметра. Поскольку оптимальные по отдельным критериям значения параметров не совпадают, т.е. q1* q2*, то возникает вопрос, что следует считать решением задачи векторной оптими-

зации. По определению, решением задачи векторной оптимизации яв-

ляется множество значений пара-

метров, в котором изменение любо-

го параметра с целью улучшения

а) б) одного из частных критериев обяза-

резок между значениями q1* и q2* частных оптимумов. Здесь изменение q с

целью уменьшения одного показателя приводит к увеличению другого. Иная иллюстрация области Парето приведена на рис. 5.35, б, где по осям отложены значения частных показателей I1(q) и I2(q).

Неполная определенность решения задачи векторной оптимизации

(множественный характер решения) обусловлена неопределенностью поста-

новки задачи. При формализации пожеланий проектировщика не установле-

ны предпочтения и приоритеты. Уменьшение неопределенности решения связано с привлечением дополнительной информации.

Можно выделить два способа скаляризации задачи векторной оптими-

зации:

все частные критерии, кроме одного, объявляются ограниченными;

549

из частных критериев качества формируется скалярный критерий, ко-

торый называют обобщенным или глобальным: J(q,c) min.

q Q

Его оптимум зависит от ряда весовых коэффициентов ci 0; i=1,2,…, на-

значая которые выражают предпочтение тем или иным частным критериям.

Обобщенный критерий называется эффективным, если для любых значений весовых коэффициентов его минимум принадлежит области Парето. Меняя весовые коэффициенты и решая задачу скалярной оптимизации методами нелинейного программирования, находят точки области Парето.

Примером эффективного критерия является аддитивный обобщенный критерий:

Частными показателями являются интегральные квадратичные оценки переходной составляющей и ее производной по времени (см. 3.8.4).

Пример 5.8. Рассмотрим параметрический синтез следящей системы с астатизмом первого порядка, на вход которой подается воздействие g(t)=g1t. Необходимо выбрать значение коэффициента передачи разомкнутого контура – добротности по скорости k1>0.

Пусть векторный критерий качества состоит из двух частных критериев:

I1(k1) min; I2(k1) min, где установившаяся ошибка пропорциональна добротности:

уст=g1/k1, а (k1) – колебательность корней характеристического полинома замкнутой системы A3(s)=Ts2+s+k1. Колебательность корней – отношение модулей мнимых частей корней к модулю действительной части:

Система при k1>0 всегда устойчива. Но для больших значений k1>1/4Т

комплексные корни характеристического полинома замкнутой системы могут быть сильно колебательными. На рис. 5.36 изображены качественные графики зависимости частных показателей качества от добротности системы.

550