ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический университет”

А.П. Бырдин Н.В. Заварзин А.А. Сидоренко Л.П. Цуканова

ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ

Часть 1

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2012

1

А.П. Бырдин, Н.В. Заварзин, А.А. Сидоренко, Л.П. Цуканова.

большим количеством примеров. Имеются задачи для

“Проектирование авиационных и ракетных двигателей”, дисциплине ”Математика”.

Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе Word 2003 и содержится в файле РД- Математика-Часть1.doc.

Ил. 63. Библиогр.: 8 назв.

Научный редактор д-р физ.-мат. наук, проф. В.Д. Репников

Рецензенты: кафедра математического моделирования Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Костин); канд. техн. наук, доц. А.В. Паринов

Бырдин А.П., Заварзин Н.В., Сидоренко А.А., Цуканова Л.П., 2012

Оформление. ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический университет”, 2012

2

ВВЕДЕНИЕ

Данное пособие представляет собой обработку курса лекций, которые авторы на протяжении ряда лет читали студентам очного обучения специальности «Ракетные двигатели» Воронежского государственного технического университета. Пособие написано в соответствии с программой курса “Высшая математика” и может быть использовано студентами других специальностей.

В учебном пособии представлен материал, который изучается во втором семестре, это – приложения дифференциального исчисления к исследованию функций, неопределенные и определенные интегралы, функции нескольких переменных. Цель работы – помочь студентам усвоить и закрепить основные положения исследования функций с помощью дифференциального исчисления и построения их графиков, методы интегрирования, вычисления и приложения определенных и несобственных интегралов.

При написании учебного пособия авторы стремились изложить материал по возможности полно, строго и доступно. Представленная работа направлена на совершенствование учебного процесса и способствует целенаправленному использованию знаний математики.

По каждому разделу приведены примеры решения задач, а также многочисленные задачи для контроля усвоения материала. Ко всем рекомендуемым для самостоятельного решения задачам приведены ответы. Поэтому представленное учебное пособие может быть использовано преподавателями для проведения практических занятий. Пособие содержит четыре главы, включающие индивидуальные задания.

3

1.ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ

1.1.Матрицы

1.Определения. Прямоугольная таблица чисел, записанная в виде

называется матрицей.

Коротко матрицу обозначают так: A (aij ) (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3), где aij элементы данной матрицы.

Элементы матрицы образуют столбцы и строки. Первый индекс (i) указывает номер строки, а второй (j) – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент aij . Матрица

(1.1) имеет три строки и три столбца.

В высшей алгебре рассматриваются матрицы с любым числом строк и столбцов. Поэтому в общем виде матрица записывается следующим образом:

квадратная, третьего порядка. В матрице (1.2) m строк и n столбцов. Если m 1, n 1, то получаем однострочную матрицу [ a1 a2 ... an ], которая называется вектор - строкой.

Если же m 1, а n 1, то получаем одностолбцовую матрицу

4

a1 a2 ,

при всех i и j (при этом число строк (и аналогично столбцов) матриц А и В должно быть одинаковым).

2. Свойства матриц. Матрицы, подобно векторам, можно складывать, умножать на число и друг на друга. Рассмотрим эти операции.

одинаковым количеством m строк и n столбцов называется

Обозначение: А + В = С.

1 0 0

0 1 0 .

0 0 1

Аналогично определяется разность двух матриц.

2о. Произведением матрицы A (aij ) на число

называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число : А = (aij ) = ( aij ) (i = 1, 2…, m; j = 1, 2, …, n).

5

иn столбцов, у которой элемент cij равен сумме

При этом число k столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение не определено. Произведение обозначается так:

AB C.

З а м е ч а н и е. Правило умножения легко запомнить, если сформулировать его в следующем виде: элемент cij

матрицы С, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца,

A (B C) = (A B) C,

(A+B)+C = A+(B+C).

4о. Умножение на единичную матрицу. Совокупность элементов a11, a22 ,..., ann квадратной матрицы A (aij )

называется главной диагональю матрицы. Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается буквой Е.

Так, единичной матрицей третьего порядка является матрица

1 0 0 Е = 0 1 0 .

0 0 1

Единичная матрица обладает замечательным свойством, а

именно: умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.

Это свойство и объясняет ее название «единичная»: при умножении матриц она обладает таким же свойством, как число 1 при умножении чисел.

согласно правилу умножения матриц имеем

7

+

Это правило позволяет легко записать формулу (1.4) и вычислить данный определитель. Например,

2. Свойства определителей. Сформулируем эти свойства для определителей третьего порядка, хотя они присущи и определителям любого порядка.

1о. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами, т. е.

2о. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на –1. Например,

3о. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

4о. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число равносильно умножению определителя на это число . Например,

9

5о. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6о. Если элементы двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7о. Если каждый элемент п-го столбца (п-ой строки) определителя представляет собой сумму двух определителей, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в п-м столбце (п-й строке) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой – вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех

8о. Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель , то величина определителя не изменится.

Для формулировки следующего свойства определителя познакомимся с понятиями алгебраического дополнения и минора.

Минором некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

10

определителя называется минор этого элемента, умноженный на ( 1)р, где р – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Алгебраическое дополнение элемента обозначается такой же прописной буквой, что и сам элемент. Так, алгебраическое дополнение элемента a1 , обозначается через A1 , элемента b1

– через B1 и т. д.

Если, например, элемент a2 находится на пересечении

Таким образом, алгебраическое дополнение и минор одного и того же элемента могут отличаться только знаком.

9о. Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца или какой-нибудь строки на их алгебраические дополнения.

Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

Запись определителя по какой-нибудь из формул (1.5) – (1.7) называется разложением его по элементам некоторого столбца или некоторой строки (первая формула дает разложение по элементам первого столбца и т. д.).

11

2 4 6

3 9 17

разлагая его по элементам первой строки. Имеем

10о. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца или какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца или строки равна нулю.

1.3. Системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

Теория матриц и определителей имеет широкое применение как в самой математике, так и в ее приложениях. Это очень удобный и часто используемый в самых разнообразных исследованиях математический аппарат.

Рассмотрим применение матриц и определителей к исследованию системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными x, y, z:

(1.8), если в результате подстановки этих чисел вместо x, y, z все три уравнения (1.8) обращаются в тождества.

В дальнейшем основную роль будут играть следующие четыре определителя:

12

определителя системы заменой свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.

Теорема (правило Крамера). Если главный определитель системы (1.8) отличен от нуля, то существует, и притом единственное, решение этой системы, и оно выражается

формулами Крамера

За м е ч а н и е 1. Если главный определитель системы (1.8) равен нулю, а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система (1.8) не имеет решения.

За м е ч а н и е 2. Если главный определитель системы (1.8) и все вспомогательные определители равны нулю, то

13