3237

Так, если заданы значения

yi

функции y f (x) на

системе узлов xi таких, что

a x0 x1 ...

xn

b ,

(2.27)

и требуется аппроксимировать

f (x)

кусочно-линейной

a1x0

b1

y0 ,

a1x1

b1

y1;

a2 x1

b2

y1,

a2 x2

b2

y2 ;

(2.29)

.... .... .... ....

an xn 1

bn

yn 1,

an xn

bn

yn ,

функции (при n

2m в (2.27))

a x 2

b x

c

при

x

[x

0

, x

2

],

1

1

1

a

2

x2

b x

c

2

при

x

[x

2

, x

4

],

(x)

2

.... .... .... .... .... .... .... ....

a

m

x2

b x

c

m

при

x [x

2m 2

, x

2m

]

m

определяется тройкой коэффициентов ak , bk , ck (k

1,2,..., n) ,

a

k

x 2

b

k

x

2k 2

c

k

y

2k 2

,

2k 2

a

k

x 2

b

x

2k 1

c

k

y

2k 1

,

(2.30)

2k 1

k

a

k

x 2

b x

2k

c

k

y

2k

,

2k

k

последовательной линейной интерполяции (2.7)

по

перемещаемым вдоль отрезка [a,b] парам соседних

точек

x

0

0.5

1

2

3

4

5

f (x)

1.5

0

0

2

2

1

2

формулы (2.28). Положив f (x)

1(x) , будем иметь

3x

1.5,

x

[0,0.5],

0,

x

[0.5,1],

1(x)

2x

2,

x

[1,2],

0,

x

[2,3],

x

5,

x

[3,4],

x

3,

x

[4,5].

3x2

4.5x

1.5,

x

[0,1],

2 (x)

x2

5x

4,

x

[1, 3],

x2 8x 17,

x

[3, 5].

Приведенный

пример

приводит к

понятию

сплайнов.

Пусть отрезок [a,b]

разбит на n частей точками xi

:

a x0

x1 x2

... xi 1

xi ... xn

b.

Сплайном

k -й

степени

называется

функция,

интервалов

(xi 1, xi ) (i

1,2,..., n

1) , причем в точках стыка

двух интервалов

xi

(i 1,2,..., n

1)

функция

непрерывна

вместе со

своими

производными

до

порядка

не выше k .

сплайн).

Пусть на отрезке [a,b]

определена функция y

f (x) ,

значения которой в точках xi

равны yi f (xi ) .

Задача интерполяции функции y f (x) на отрезке

a, b

S(x) ,

равной многочлену третьей степени

Si (x)

на каждом

отрезке

xi 1, xi

(i

1,2,..., n) , т. е.

S (x)

Si (x)

a0i x3

a1i x 2 a2i x a3i , x xi

1, xi

,

(2.31)

причем значения сплайна в узлах интерполяции

xi

равны

соответствующим значениям заданной функции yi

и сплайн-

S(xi )

Si 1(xi ) yi

(i

0,1,2,...n

1), S(xn ) Sn (xn )

yn , (2.32)

Si (xi )

Si 1(xi )

(i

1,2,..., n 1),

(2.33)

Si (xi )

Si

1(xi )

(i

1,2,..., n 1),

(2.34)

Si (xi )

Si

1(xi )

(i

1,2,..., n

1).

(2.35)

Условия

(2.32)

-

(2.35)

дают

4n

2

линейных

алгебраических уравнений для определения 4n

неизвестных

коэффициентов

aip

p

0,1,2,3;

i

1,2,..., n

при

соответствующих степенях x

в многочленах Si (x) .

Можно показать, что интерполяционный кубический

сплайн для функции

y

f (x)

существует

и

является

удовлетворяется

какая-либо пара дополнительных

условий

(краевых условий) следующего типа

I. S (a)

f (a),

S (b)

f (b) ;

II.

S (a)

f

(a),

S (b)

f (b) ;

III. S (a)

S (b),

S (a)

S (b) .

Рассмотрим случай разбиения отрезка

a, b

на n

равных

частей

с

шагом

h ,

для

которого

x0 a,

x1 x0

h,

xi 1

xi

h,...., xn

b и

h

(b

a) / n .

иногда наклонами сплайна в точках (узлах)

xi

(i 0,1,...., n) .

Интерполяционный кубический сплайн вида

S(x)

Si (x) yi 1

(x xi )2 (2(x

xi 1) h)

yi

(x

xi

1)2 (2(xi

x) h)

h3

h3

+ m

(x xi )2 (x xi 1 )

+ m

(x xi 1)2 (x xi )

,

(2.36)

1

i

i

h2

h2

x xi 1, xi

(i 1,2,..., n)

удовлетворяет условиям (2.32),

(2.33),

(2.34)

для любых mi .

Действительно,

легко

проверить,

что

S (xi 1)

Si (xi 1)

yi 1,

S (xi ) Si (xi )

yi (i 1,2,..., n) .

Кроме того, вычисления показывают, что

S (xi )

Si (xi ) mi ,

S (xi )

Si

1(xi )

mi ,

(i 1,2,..., n) .

Если учесть, что

Si" (xi )

2mi

1

4mi

6

yi

yi

1

(i

1,2,..., n

1) ,

h

h

h2

Si" 1

(xi )

4mi

2mi

1

6

yi 1

yi

(i

1,2,..., n

1) ,

h

h

h2

m0

b0

f (a),

mi 1

4mi

mi 1

bi

3( yi 1

yi 1)

(i 1,2, ,..., n

1) (2.37)

h

mn

bn

f (b).

Решение этой системы позволяет найти значения

неизвестных

mi и

определить

интерполяционный

сплайн в

1

0

0

0

0

0

0

1

4

1

0

0

0

0

0

1

4

1

0

0

0

A

0

0

0

0

1

4

1

0

0

0

0

0

0

1

4

1

0

0

0

0

0

0

0

1

L0 0,

M 0

b0 ,

Li

1

,

M i

Li (M i 1 bi )

Li

1 4

(i 1,2,..., n 1) .

Обратной

прогонкой

последовательно

определяют

неизвестные mi

mn

bn ,

(i

n 1, n

2,...,0) .

mi

Li mi

M i

1

Пример.

На

отрезке

0,

построить

кубический

2

сплайн с шагом

h

, удовлетворяющий на концах отрезка

2

краевым

условиям

I

типа и

интерполирующий функцию

x0

0 и

x1

h

2

y0

S (x0 )

sin x0

0,

y1

S(h)

sin h

1,

m0

S (x0 )

sin

x0

cos x0

1,

m1

S (h)

sin h

cos x0

1,

Подставим значения

h,

y0 ,

y1, m0 , m1

в формулу

(2.33) и получим сплайн вида

S (x)

S3 (x)

x2 (2(h

x)

h)

(x

h)2 x

,

x

[0, h];

h

3

h2

S (x)

x

4(

3)2

x

2

4(4

)

x

3

x

0.057358x

2

0.11074x

3

.

2

3

Тогда

sin

S

0.49196983

(точное

значение

6

6

равно 0.5).

При

построении сплайна,

удовлетворяющего краевым

условиям

II

типа,

введем величину

~

S (xi ) - значение

mi

второй производной сплайна в узле xi

(i

0,1,..., n) .

Уравнения (2.32),

(2.33),

(2.35)

будут удовлетворены,

S(x) Si (x) yi 1

(x xi )2 (2(x xi 1) h)

yi

(x xi 1)2 (2(xi x) h)

h3

h3

~

(x x)3

h2 (x

i

x)

~

(x x

)3

h2

(x x

)

i

i 1

i 1

+ mi

1

+ mi

, (2.38)

6h

6h

x

xi

1, xi

(i 1,2,..., n) .

yi yi

~

~

Si

(xi )

1

hmi

2hmi

(i

1,2,..., n 1) ,

h

6

yi 1

yi

~

~

Si 1

(xi )

2hmi

hmi 1

(i

1,2,..., n 1) ,

h

6

~

~

~

6( yi 1 2 yi

yi 1)

mi 1

4mi

mi 1

, (i 1,2,,..., n 1)

(2.39)

h2

~

f (b).

mn

u0

b0 ,

ui 1

4ui ui 1

bi ,

(i 1,2, ,..., n

1)

(2.40)

un

bn .

Для

функции

f (x) ,

имеющей

на отрезке

a, b

точность

интерполяции

ее кубическим сплайном S(x)

по

точкам

равномерного

разбиения отрезка с шагом h

при

следующим неравенством для любых

x на отрезке

a, b

f (x) S(x)

5

M 3h3

, где M 3

max

f (x)

.

(2.41)

2

a x b

Неравенство

(2.41)

дает завышенную оценку точности

2.8. Среднеквадратичное приближение функций.

Метод наименьших квадратов

Пусть

для

неизвестной

функции f (x)

в точках

x0 , x1 , ..., xm

экспериментальным путем

получены

значения

y0

f (x0 ),

y1

f (x1),...., ym

f (xm ) .

Интерполяция

позволяет аппроксимировать таблично

заданную

функцию

f (x)

с помощью более простой функции

(x) .

При этом

требуется выполнение в узлах интерполяции

xi

равенства

f (xi )

(xi )

( i

0,1,..., m ). В ряде случаев выполнение этого

формулу f (xi )

(xi )

( i 0,1,..., m ), пригодную для большего

отрезка [a,b] .

При

этом точность приближения может

max

f (xi ) (xi )

( i

0,1,..., m ),

x a,b

требуя, чтобы оно было меньше заданного

0 . В этом

случае близость между функциями

f (x)

и

(x) называется

равномерной.