3237

Горизонтальная таблица разностей

Таблица 3

x

y

y

2 y

3 y

4 y

x0

y0

y0

2

y0

3

y0

4

y0

x1

y1

y1

2

y1

3

y1

x

y2

y

2

2

2

y2

x

3

y3

y

3

x

4

y4

Диагональная таблица разностей

Таблица 4

x

y

y

2 y

3 y

4 y

x0

y0

y0

x1

y1

2

y0

3 y0

x2

y2

y1

2 y

4 y0

x

3

y

3

y2

2

1

3 y

y2

1

x4

y4

y3

Пусть

функция f (x) задана

на сетке равноотстоящих

узлов xi x0 ih, где i

0,1,..., n , и для нее построена таблица

конечных разностей.

Будем строить интерполяционный

многочлен Pn (x) в

форме:

Pn (x) a0

a1 (x x0 ) a2 (x x0 )(x x1 )

a3 (x

x0 )(x x1 )(x

x2 ) ...

an (x

x0 )(x x1 )...(x xn 1 ).

(2.18)

Pn (x0 ) y0 ; Pn (x1 )

y1; ... ;

Pn (xn )

yn .

(2.19)

Для этого сначала подставим в (2.18) вместо x

значение x0 .

Тогда y0

Pn (x0 )

a0 .

Далее,

полагая x

x1 ,

получаем

y1

Pn (x1) a0

a1(x1

x0 ) ,

или, так как x1

x0

h ,

y1

Pn (x1) y0

a1h ,

откуда

a

y1

y0

y0 .

1

h

h

Продолжая вычисление коэффициентов, положим x

x2 .

Тогда

y2

Pn (x2 ) a0

a1(x2

x0 ) a2 (x2

x0 )(x2

x1) .

Заменим найденные коэффициенты

a0 , a1

их значениями

y2

y0

y0

2h a2

2h h ;

h

тогда

y

2

2 y

0

y

0

y

2

2 y

y

0

2a

2

h2 .

1

Воспользовавшись

формулой,

выражающей

разности

через значения функции, получим

a2

2 y0

.

2!h2

Точно так же получим

a3

3 y0

.

3!h3

an

n y0

.

n!hn

Подставим найденные выражения коэффициентов в

формулу (2.18)

P (x)

y

0

y0

(x x

0

)

2 y0

(x x

0

)(x x )

n

h

2!h2

1

3 y0

(x

x

0

)(x

x )(x

x

2

) ...

n y0

(x x

0

)(x

x )...(x

x

n 1

).

3!h3

1

n!hn

1

x

x0

q

или x

x0

qh .

h

Множители, входящие в формулу (2.18), выразятся через

q следующим образом

x

x1

x

x0

h

q

1 ,

h

h

x

x2

x

x0

2h

q

2 ,

h

h

……………………………….

x xn 1

x x0

(n 1)h

q

n 1.

h

h

P (x)

y

q y

q(q

1)

2 y

q(q

1)(q

2)

3 y

0

0

0

0

n

2!

3!

(2.21)

q(q

1)

...

(q

n

1)

....

n y0 .

n!

Первая формула Ньютона (2.21) обычно применяется при

значениях

q

1 , а

именно,

для интерполирования вперед

(при

x

(x0 , x1) ,

т.е.

при

q

(0,1))

и экстраполирования

назад

(при x

x0 , т.е. при

q

0) .

Частные случаи формулы Ньютона.

1.

При

n

1

получается

формула

линейной

интерполяции:

P (x)

y y

0

x

x0

y

0

;

y y

0

q y

0

.

1

h

2.

При

n

2 – формула квадратичной интерполяции:

x x

0

y

0

(x x

0

)(x x )

2 y

0

P (x)

y y

0

1

,

2

h

1!

h2

2!

y

y0

q

y0

q(q

1) 2

y0 .

2!

Дело в том, разности

k yi вычисляются

через

значения

функции yi , yi 1, ...,

yi

k ,

причем

i

k

n (2.17). Поэтому

при больших значениях

i

мы не можем вычислить разности

высших порядков k

n

i

. Например,

при

i n

3 в (2.21)

можно учесть только

y ,

2 y и

3 y .

a3 (x xn )(x

xn 1)(x

xn

2 ) ...

an (x

xn )(x

xn 1)...(x x1).

Коэффициенты a0 , a1,..., an

этого многочлена находятся

аналогично тому, как они находились для многочлена (2.18),

только

здесь

подстановка

узловых точек вместо x и

рассмотрение интерполяционных равенств производится в

обратном порядке. Полагая x

xn ,

x

xn

1 ,…, имеем:

Pn (xn )

yn

a0 ;

a0

yn .

P (x

n 1

)

y

n

a (x

n 1

x

n

)

y

n 1

a

yn

yn

1

yn 1

,

n

1

1

xn

xn

h

1

P (x

n

2

)

y

n

yn

1

(x

n

2

x

n

)

n

h

a2 (xn 2

xn )(xn 2

xn 1)

yn 2

a2

yn 2

yn

2 yn 1

yn

2 yn 1

yn 2

2 yn 2

(xn 2

xn )(xn 2

xn 1)

2h( h)

2!h2

и т.д. В общем случае

ak

k yn

k

,

k

1,2,..., n .

k!hk

Таким

образом

получаем

второй

интерполяционный

многочлен Ньютона

P (x)

y

n

yn 1

(x

x

n

)

2 yn

2

(x

x

n

)(x

x

n 1

) ...

n

h

2!h2

(2.22)

n y0

...

(x

x

n

)(x

x

n

1

)...(x

x ),

n!hn

1

Положим в (2.22) x xn

qh . Введем новую переменную

q

x

xn

и преобразуем к ней входящие в (2.22) разности

h

x xi

xn qh x0 ih x0

nh qh x0 ih h(q n i) .

В результате приходим ко второй интерполяционной

формуле Ньютона вида

P (x)

y

n

q

y

n 1

q(q

1)

2

y

n

2

...

q(q

1)...(q

n

1)

n

y

0

.

n

2!

2!

(2.23)

Ее

также

целесообразно

использовать при

значениях

q

1 т.е. в окрестности узла

xn

для интерполирования назад

(при q

(

1,0)) и экстраполирования вперед (при q

0) .

Величина

остаточного

члена

для

первой

интерполяционной

формулы

Ньютона

определяется

равенством

Rn (x)

Rn (x0

qh)

f (n

1) (

)

h

n

1

q(q

1)...(q

n) .

(2.24)

(n

1)!

При наличии оценки

f (n

1) (x)

M n

1

x

a, b

можно

уточнить

границы

абсолютной

погрешности

конечноразностного интерполирования в конкретной точке и

на всем промежутке a, b

по типу (2.14), (2.15). Так,

для

~

x0

~

оценки погрешности интерполяции в точке x

qh имеем

~

~

M n

1

n

1~ ~

~

f (x )

Pn (x0

qh)

h

q (q 1)...(q n) .

(2.25)

(n

1)!

f (x)

Pn (x0

qh)

Если

интерполяционная

формула

используется

для

аппроксимации

f (x)

в

точке

~

,

x

расположенной достаточно близко к базовому узлу

x0 справа

от него, т.е.

если

~

(0,1)

, то оценку (2.25) можно

q

существенно

упростить.

Это

достигается

применением

неравенства

q(q

1)...(q

n)

n!

для

любого

~

(0,1) .

q

4

Подстановка последнего неравенства в (2.25) приводит к

простой точечной оценке

~

~

M n

1

n

1

,

(2.26)

f (x )

Pn (x0

qh)

h