3237

y(a)

A, y (a) C1.

Предположим,

что

на

отрезке

a, b

построено

приближенное решение

y

y1(x,C1) этой начальной задачи.

Сравнение значения

y1(b,C1)

полученного решения в точке

x b с заданным, согласно (8.4), значением

B

дает

информацию

для корректирования угла наклона касательной к

решению y

y2 (x,C2 )

новой начальной задачи с условиями

y(a)

A, y (a) C2

так, чтобы уменьшить разницу

B

y2 (b,C2 ) . Таким образом

будем задавать значения

y (a)

C1, C2 , C3 ,...

так, чтобы

обеспечить

наиболее

быструю

сходимость

к

числу

B

последовательности

приближений

yk (x, Ck )

(k

1,2,3,...) .

Если при заданном

0

и некотором k

n будет выполнено

неравенство

B yn (b, Cn )

, то за искомое приближенное

решение краевой задачи

(8.3)-(8.4) принимается функция

y yn (x, Cn ) .Описанный

способ

получения приближенного

Пусть дана линейная краевая задача

y p(x) y q(x) y f (x)

(8.5)

0 y(a)

1 y (a)

A ;

2

2

0 ;

(8.6)

0

1

0 y(b)

1 y (b)

B ;

2

2

0 .

(8.7)

0

1

Здесь

p(x), q(x)

и

f (x)

заданные

функции,

непрерывные на отрезке

a, b ,

0 , 1,

0 , 1 - числа.

Разобъем отрезок

a, b

на n

равных частей точками

a x0 , x1,..., xn 1, xn

b с шагом h : xi

xi 1

h . Обозначим:

y(xi ) yi ;

y (xi )

yi ;

y (xi )

yi ;

p(xi )

pi ; f (xi ) fi ;

Рассмотрим задачу (8.5) - (8.7)

в узле

x

xi ,

заменив

производные кусочно-разностными уравнениями.

Во внутренних точках отрезка

a, b :

yi

yi 1 2 yi

yi 1

;

yi

yi 1

yi 1

( i

1,2,..., n

1 ).

h2

2h

На концах отрезка:

y0

y1 y0

и yn

yn

yn 1

.

h

h

yi 1 2 yi

yi 1

+ pi

yi 1

yi 1

qi yi

fi ( i 1,2,..., n 1 ), (8.8)

h2

2h

0 y0

1

y1

y0

A

h

(8.9)

yn

yn 1

0 yn

1

B.

h

Таким образом,

получена линейная система ( n 1 )

y

1

y

3x

на

отрезке

1;2

с

шагом

h

0.25

при

x

условиях: y(1)

2,

y(2) 9.

Решение.

В нашем случае:

n

4 ;

x0

1.00 ;

x1 1.25 ;

x2

1.50 ;

x3

1.75;

x4

2.00 ;

h2

1

;

2h

1

;

16

2

y0

2 ; y4

9 .

Составим систему (8.8), полагая поочередно

i 1, 2, 3:

y2

2 y1

y0

1 y2

y0

3x1

h2

x1

2h

y3

2 y2

y1

1 y3

y1

3x2

h2

x2

2h

y4

2 y3

y2

1 y4

y2

3x3

h2

x3

2h

16( y2

2 y1

y0 )

1.6( y2

y0 )

3.75

16( y3

2 y2

y1)

1.333( y3

y1)

4.50

16( y4

2 y3

y2 )

1.143( y4

y2 )

5.25

y1

0.45 y2

0.983

y1

1846. y2

0.846 y3

0.260

y2

1867. y3

7.494

y1

0.45 y2

0.983

1396. y2

0.846 y3

0.723

y2

1867. y3

7.494

y1

0.45 y2

0.983

y2

0.606 y3

0.518

y2

1867. y3

7.494

y1

0.45 y2

0.983

y2

0.606 y3

0.518 .

1261.y3

8.012

Далее,

последовательно

находим

y3 6.354 ,

y2

4.368,

y1 2.949.

Решение получено в виде таблицы 23:

Таблица 23

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

2.00

2.949

4.368

6.354

9.00

При

большом

n непосредственное решение системы

(8.8),

(8.9)

становится затруднительным.

yi 1

2 yi yi 1

+ pi

yi 1

yi 1

qi yi

fi ,(i 1,2,..., n 1)

h2

2h

0 y0

1

y1

y0

A

h

0 yn

1

yn

yn 1

B.

h

1

pi

yi

1

2

qi

yi

1

pi

yi 1

fi ,(i 1,2,..., n

1)

h2

2h

h2

h2

2h

0

1

y

0

1

y

A

h

h

1

0

1

yn

1

yn 1 B.

h

h

Два

последних

равенства умножим на h ,

а остальные -

на h2 и переобозначим коэффициенты уравнения:

b

h

;

c

;

Ah ;

a

1

1

p

h ;

0

1

0

1

0

i

0

2

i

b q h2

2 ;

c 1

1

p h ;

f

h2

;

a

;

i

n

1

i

i

i

2

i

i

bn

0h

1 ;

n

Bh .

Тогда система запишется в виде:

b0 y0

c0 y1

0

ai yi 1

bi yi

ci yi

1

i ,

( i

1,2,..., n

1 ) .

(8.10)

an yn 1

bn yn

n

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

2.00

2.948

4.367

6.351

8.00

L y y p(x) y q(x) y ; y

0 y(a) 1 y (a) ;

u0 (x); u1 (x); u2 (x);...; un (x) .

(8.11)

При этом функция

u0 (x)

удовлетворяет неоднородным

граничным условиям (8.6),

(8.7):

Г a u0

A ;

Гb u0

B ,

(8.12)

а все остальные

функции

удовлетворяют

однородным

граничным условиям:

Г a ui

0 ;

Гb ui

0

( i

1,2,..., n ).

(8.13)

Замечание

1.

Если

граничные условия

(8.6),

(8.7)

однородные, т.е. A

0 ,

B

0 ,

то u(x)

0

и

вместо

системы

функций (8.11)

рассматривается система функций:

u1 (x); u2 (x);...; un (x) .

Замечание 2. Система n

функций

1 (x); 2 (x);...; n (x)

называется линейно

зависимой

на множестве

X ,

если

существуют

n

таких

постоянных (среди которых хотя бы

одна отлична от нуля), что равенство

c1 1 (x)

c2

2 (x) ...cn n (x) 0

выполняется тождественно, т.е.

для

x

X .

Если же

указанное

равенство возможно лишь при условии,

что все

коэффициенты

ci

0 ,

то

система функций

называется

линейно независимой на отрезке множества X .

Достаточным

условием

линейной

независимости

функций

на

множестве

X

является

отличие от нуля

определителя Вронского:

1 (x)

2 (x) ...

n (x)

W (x)

1 (x)

21 (x) ...

n (x)

.

...

...

...

...

(n 1) (x)

(n 1) (x) ...

(n 1)

(x)

1

2

n

n

yn u0 (x)

ciui (x) .

(8.14)

n

n

Г a yn

Г a u0 (a)

ciui (a)

Г a u0

Г a

ciui (x)

i 1

i 1

n

n

Г a u0

ci Г a ui

A

ci 0 A,

i

1

i 1

т.е. Г a

yn

A . Аналогично, Гb

yn

B .

Подставим функцию (8.14) в уравнение (8.5)

n

n

yn

u0 (x)

ciui (x) ;

yn

u0 (x)

ciui (x) ,

i

1

i 1

получим

u0 (x)

p(x)u0 (x) q(x)u0 (x)

n

ci ui (x)

p(x)ui (x) q(x)ui (x)

f (x).

i 1

Так как

yn (x)

не является точным решением краевой

задачи,

то

данное равенство не будет тождеством. Перенося

f (x)

в левую часть равенства,

получим так

называемую

невязку

n

R(x, c1, c2 ,..., cn )

L u0

ci L ui

f (x) .

(8.15)

i 1

Невязка - функция от x

и параметров c1,c2 ,..., cn . Если

бы x1,x2 ,..., xn

была точным решением краевой задачи, то

R(x, c1, c2 ,..., cn )

0

x

a; b .

При

приближенном

решении

краевой

задачи

коэффициенты

ci

стараются подобрать так, чтобы невязка

точки отрезка.

Можно

брать, например, точки, делящие

отрезок

a; b на равные

части. В результате получим систему

линейных

алгебраических

уравнений относительно

коэффициентов

ci :

R(x1, c1, c2 ,..., cn )

0

R(x2

, c1, c2

,..., cn )

0

(8.16)

.......... .......... .......... ...

Пример.

Методом коллокаций

решить краевую задачу

y (1

x2 ) y 1 0 ,

y( 1)

0, y(1)

0 .

Решение.

В качестве базисной системы берем функции

un (x)

x2n 2 (1

x2 ) ,

( n

1,2,... ). Очевидно, что при любом