Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П

способами:

a)

( X

,Y ) = 2x1y1+5x2y2;

б)

( X

,Y ) = x1y1+x1y2+x2y1+x2y2.

Вычислить скалярное произведение векторов:

X

=(1,-2) и Y

=(5,1) каждым из указанных способов.

можно определить способами:

а)

(p,q)=a0b0+a1b1+ +anbn;

n

б)

(p,q)=

p(tk )q(tk ) , t1,t2,

,tn - произвольные

k 1

попарно различные действительные числа.

Вычислить

скалярное произведение многочленов

p(t)=1+t+t2

и q(t)=t-2t2+3t3 каждым

из указанных способов

ортогональных базисов:

1)

e 1=(1,-2,1,3),

e 2=(2,1,-3,1)

3)

e 1=(2/3,1/3,2/3),

e 2=(1/3,2/3,-2/3)

4)

e 1=(1,1,1,2),

e 2=(1,2,3,-3).

Ответы.

1.

а)

0;

б)

-6.

2.

а)

-1;

б)

24.

3.

1)

e 3=(-4,2,-1,3), e 4=(2,4,3,1).

Указание.

Для

определения

вектора

e 3=(x1,x2,x3,x4)

достаточно

найти

какое-нибудь

решение

системы

относительно

неизвестных

x1,x2,x3,x4

двух

линейных

уравнений

( e 3,

e 1)=0,

( e 3,

e 2)=0.

Для

определения

e 4

аналогичная система состоит из трех уравнений.

2)

e 4=(1,-1,1,-1,0),

e 5=(0,5,1,-4,-2),

3)

e 3=(2/3,-2/3,-1/3),

4)

e 3=(1,-2,1,0), e 4=(25,4,-17,-6).

Будем

рассматривать линейные

операторы

в

конечномерном

евклидовом пространстве

En. Оператор

*

A

:

если для любых

и

из En выполняется соотношение:

x

y

*

( A x

, y )=( x

, A

y ).

1+

( A x ,

y

y 2)= ( A x

, y 1)+ (

A x

, y 2)=

* y

1)+

* y

*

1+

= ( x

, A

( x

, A

2)=( x ,

A

(

y

y 2)),

Это соотношение справедливо для любых x

,

y 1, y 2

и любых

чисел и .

Каждый

линейный

оператор

A имеет

Теорема.

3.

(

*

*

A ) =

A ,

следующую цепочку соотношений:

*

* *

(( A B ) x

, y )=( A ( B x ), y )=( B x

, A

y )=( x

,( B

A

) y ).

* *

Таким образом, (( A

B ) x

, y )=( x

,( B

A

) y ), а это означает, что

Если

оператор

A

в

ортонормированном

базисе

евклидова

пространства

имеет

матрицу

A=(aij), то

сопряженный оператор

*

в том же базисе имеет матрицу

A

A*=AT. Справедливость утверждения проверить самим.

базисе

Пример.

Линейный

оператор A : E3

E3

в

B'=( e

'1, e '2, e '3) имеет матрицу:

1

1

3

AB

0

5

1 .

2

7

3

Известно,

что

e1 = e 1+2 e

2+ e 3,

e2

= e

1+ e

2+2 e 3,

e3

= e

1+ e 2

и

базис B=( e1

, e2

, e3 ) ортонормирован. Найти

*

в базисе B'.

матрицу сопряженного оператора A

Прежде всего проверим, будет ли ортонормированным

базис B':

e1

e2 = 1+2+2 = 5

0.

ортонормированном базисе B, по полученной матрице найти

матрицу AB*, а затем, используя формулы перехода, найти

матрицу AB'*. Итак, имеем:

1

1

1

TB B

2

1

1 .

1

2

0

Тогда:

1

2

2

0

T 1

1

1

1 ,

2

3

1

1

следовательно,

2

3

7

A

T 1 A T

6

4

6 ;

B

B

6

5

5

и

2

6

6

A*

3

4

5 .

B

7

6

5

Отсюда окончательно получаем:

36

37

15

A*

T

1 A*T

30 30 14 .

B

B

26

27

9

6.2. Самосопряженные операторы

Линейный

Их свойства

En

называется

оператор A :

En

самосопряженным, если справедливо равенство:

*

A =

A .

Простейшим

примером

самосопряженного

оператора

является тождественный оператор I.

действующий в

Самосопряженнный

оператор A ,

Доказательство. Пусть A - симметричный оператор.

и

справедливо равенство

Тогда при любых x

y

( A x

, y )=( x

, A y ).

Пусть A - матрица оператора A ,

X

x2 , Y

y2 - матрицы-столбцы, элементами которых

xn

yn

являются координаты векторов

x

и y в ортонормированном

базисе.

n

n

yi

T

T

xi yi , то

Так как ( x

, y )= xi

, а матрица X Y=Y X=

i 1

i 1

T

T

матричную

форму

записи

( x

, y )=X Y=Y X. Используя эту

T

T T

( A x

, y )=(AX) Y=X A Y,

T

T

AY.

( x

, A y )=X (AY)=X

Доказательство.

Пусть

-

собственное

значение

самосопряженного

оператора

A .

По

определению

собственного значения

оператора A ,

существует

ненулевой

такой, что

вектор x

A x =

x . Из этого соотношения следует,

что

вещественное скалярное произведение ( A x , x ) может

быть

представлено

в

. Так

как

виде ( A x

, x )=

( x

, x )=

x

вещественны, то и

- вещественное число.

( A x

, x ) и

x

Теорема. Если

A

- самосопряженный

оператор,

то

Доказательство. Пусть

1

и

2

различные собственные

значения (

1

2)

самосопряженного оператора A , а

x 1 и

x 2 -

соответственно отвечающие им собственные векторы.

Тогда

1,

Поэтому

скалярные

A x 1=

1 x

A x 2= 2 x 2.

произведения (

A x 1, x 2) и ( x 1,

A x 2) соответственно равны:

( A x 1, x 2)=

1( x

1, x 2),

( x 1,

A x 2)=

2( x

1, x 2).

Но

по

условию

-

самосопряженный

оператор,

A

2)=(

поэтому ( A x

1, x

x 1, A x 2).

Вычитая из первого соотношения второе, получаем:

1-

2)=(

(

2)( x

1, x

A

x

1, x

2)-( x

1, A

x 2)=

=( x 1,

A

x 2)-( x 1, A x 2)=0.

Так как

1

2, то ( x 1, x 2) = 0, т.е. x 1 и x 2 ортогональны.

Теорема.

У

каждого

самосопряженного

линейного

действующего

в n - мерном евклидовом

оператора A ,

пространстве En,

существует n линейно независимых попарно

ортогональных и единичных собственных векторов.

Таким образом, в n - мерном евклидовом пространстве

всегда можно

построить

ортонормированный

базис

из

самосопряженного oператора A . Отсюда следует,

что всякая

симметрическая матрица A всегда может быть приведена к

диагональному виду, т.е. найдется такая матрица

T, что T-

1AT=( i ij). Здесь i - собственные значения матрицы A, а:

0, i

j

ij= 1, i

j .

собственное значение 1

матрицы оператора A , действующего

| 1| | 2|

| 3|

| n|.

Алгоритм простейшего варианта степенного метода

состоит

в

следующем.

Возьмем

произвольный

начальный

вектор

(0) и построим

последовательность

векторов

x

1(k)} к

1 по следующим

{ x (k)}

k=0,

,

и приближений {

формулам:

x (k)=

A x (k-1),

(x(k ) , x( k 1) )

.

1(k)=

(x(k 1) , x( k 1) )

Можно

показать,

что

последовательности

{ x

(k)}

и

{ 1(k)}

сходятся соответственно к пределам

1, где

1 -

x и

искомое

собственное значение

и

-

соответствующий

x

1.Линейный оператор

A

в базисе B'=( e1

,e2 ,..., en ) имеет

матрицу A. Найти матрицу сопряженного оператора

*

в том

A

же базисе B', если векторы

заданы столбцами своих

e1,e2 ,..., en

координат

в

некотором

ортонормированном

базисе

B=( e 1,

, e n):

1) A=

1

2

,

1

,

1

.

1

1

e1

0

e2

1

1

1

3

1

1

1

2) A

0 5

1 ,

e1

2 ,

e2

1 ,e3

1 .

2

7

3

1

2

0

1

1

1

2

i

1

1

1

3) A 1

2 ,

1 .

e 3 , e

2 , e

1 , e

1

2

3

1

2

1

2

0

2.

В

пространстве

многочленов

3

задано

скалярное

произведение

(f,g)=a0b0+a1b1+a2b2,

где

f(t)=a0+a1t+a2t2,

g(t)=b0+b1t+b2t2. Найти матрицы оператора дифференцирования

D=

d

и сопряженного оператора D* в базисе B:

dt

1)

B=(

1

t

2

1

t,t

2

1,

1

t

2

1

t );

2

2

2

2

2)

B=(1,t,

3

t

2

1

).

2

2