3234

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При составлении настоящего пособия авторы стремились, во-первых, дать достаточное число упражнений для выработки навыков решения типовых задач, во-вторых, дать задачи способствующие уяснению основных понятий и их взаимной связи (например, связь свойств матриц со свойствами квадратичных форм с одной стороны, и линейных преобразований - с другой), в-третьих, дать задачи, дополняющие лекционные курсы и содействующие

141

расширению математического кругозора. В ряде задач предлагается доказать теоремы, которые можно найти в учебниках. Помещая такие задачи, авторы исходили из того, что лектор при недостатке времени дает изучить часть материала по книге самим учащимся или провести доказательство самостоятельно, что способствует развитию начальных навыков научного исследования. Такой разнообразный набор задач позволяет использовать его на практических занятиях и при составлении домашних заданий.

Библиографический список

1.Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1984. 294 с.

2.Блох Э.Л., Лошинский Л.И.,Турин В.Я. Основы линейной алгебры и некоторые ее приложения. М.: Высш. шк.,

1971. 256 с.

3.Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1979. 392 с.

4.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М: Наука, 1980. 336 с.

5.Сборник задач по математике для втузов. / Под ред.

А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича: М.:Наука, 1981. 464 с.

142

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение………………………………………………………..3

1.Матрицы…………………………………………………......4

1.1.Основные определения……………………………..…4

1.2.Действия над матрицами…………..………………….5

1.3.Транспонированная матрица…..……………………..8

1.4.Обратная матрица……..………………………………8

1.5.Ранг матрицы………..………………………………..10

1.6.Элементарные преобразования матриц…….……...12 1.7.Вычисление ранга матрицы методом элементар-

ных преобразований………………………………….14

Упражнения…………………………………………...17 Ответы………………………………………………....21

2.Решение систем линейных уравнений…………..………23

2.1.Решение систем с помощью обратной матрицы…..23

2.2.Формулы Крамера……..……………………………..26

2.3.Метод Гаусса……......………………………………..28

2.4.Использование в алгоритме Гаусса эквивалентных матриц………..………………………………….……32

2.5.Условия совместности систем…………………..…..34 2.6.Однородная система линейных уравнений………….36

Упражнения……….…………………………………..42 Ответы…….…………………………………………...44

3.Линейные пространства…………………………………...46

3.1.Аксиомы линейного пространства…………………..46

3.2.Примеры линейных пространств…………………….48

3.3.Линейная зависимость векторов……………………..50

3.4.Базис и размерность линейного пространства…...…52

3.5.Линейные операции над векторами к координатной форме………………….……………………………….55

3.6.Признак линейной зависимости и независимости векторов………………………….……………………56

3.7.Преобразование координат вектора при преобразо-

вании базиса……………………….………………….59

143

Упражнения…………..………………………………..63 Ответы…..……………………………………………...67

4.Линейный оператор……………………………………..69 4.1.Матрица линейного оператора…………...…………..69

4.2.Примеры линейных операторов………...…………...73

4.3.Действия с линейными операторами…………..…...75

4.4.Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису……………………………79

4.5.Геометрический смысл определителя матрицы оператора в пространствах R3 и R2 ………………...82

Упражнения………………….………………………..83 Ответы…………………………………………….…...87

4.6.Собственные значения и собственные векторы линейного оператора…...…………………………...89

4.7.Приведение матрицы оператора к диагональному

виду……………...……………………………………96

Упражнения….………...……………………………..99 Ответы…….…………...…………………………….101

5.Вещественное евклидово пространство, его простей-

шие свойства…..……….………………………………..103 5.1.Определение вещественного евклидова простран-

ства…………..……………………………………..103

5.2.Простейшие свойства произвольного евклидова пространства…………….………………………...105

5.3.Ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства. Его свойства…………..107

Упражнения………………………………………..111 Ответы………………..…………………………….112

6.Линейные самосопряженные операторы в евклидовом пространстве……………………………………………...113

6.1.Понятие сопряженного оператора. Его свойства.113

6.2.Самосопряженные операторы. Их свойства…….115

6.3.Степенной метод приближенного нахождения собственных значений оператора, действующего

144

в En ………………………………………………....118

Упражнения……….………………………………119

Ответы…………………………………………….120

7.Квадратичные формы…………...………………………..121

7.1.Квадратичная форма и ее матричная запись……122

7.2.Преобразование квадратичной формы.…….…...123

7.3.Приведение квадратичной формы к каноническому виду (сумме квадратов)……………………..124

7.4.Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду………………......127

7.5.Исследование общего уравнения поверхностей второго порядка………...………………………....132 Упражнения……………………………….………136

Ответы….....……………………………………….137

Заключение……..……..…………………………………….140

Библиографический список……..………………………….141

Учебное издание

Глушко Елена Георгиевна Дубровская Алевтина Петровна Кретова Лариса Дмитриевна Ускова Наталья Борисовна

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Компьютерный набор Е.Г.Глушко

145