3234
.pdf
|
|
|
|
x2+ x3)= |
|
|
A ( |
x )=( x2+ x3,2 x1+ x2,3 x1- |
|
|
|
|
= (x2+x3,2x1+x2,3x1-x2+x3)= |
|
|
|
|
A x ; |
|
|
|
|
||
A ( x |
+ y )=(x2+y2+x3+y3,2x1+2y1+x3+y3,3x1+3y1-x2-y2+x3+y3)= |
=(x2+x3, 2x1+x2, 3x1-x2+x3)+(y2+y3, 2y1+y2, 3y1-y2+y3)=
=A x + A y .
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
, |
|||
A - линейный оператор. Далее, |
Ae1 |
2e2 |
3e3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ae2 |
e1 |
e3 |
, Ae3 |
e1 |
e3 |
e3 . |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
Значит, A |
|
2 |
0 |
1 . |
|
|
|
|
|
31 1
3.В пространстве R3 заданы два линейных оператора A
и B . Найти матрицу С линейного оператора C |
AB |
BA и его |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
явный вид в каноническом базисе |
3: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
=(2x2-2x1+3x2+2x3,4x1-x2+5x3), |
|
|
|||||
|
|
A x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B x =(-3x1+x3,2x2+x3,-x2+3x3). |
|
|
||||||
Решение. Так как, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 , 2 , 5 и |
|
|||
Ae1 |
0 , 2 , 4 , Ae2 |
2 , 3 , 1 , Ae3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1, 1, 3 , то |
|
||
Be1 |
3 , 0 , 0 , Be2 |
0 , 2 , 1 , Be3 |
|
|||||||
|
|
|
0 |
2 |
0 |
3 |
0 |
1 |
|
|
|
|
A |
2 |
3 |
2 , B |
0 |
2 |
1 . |
|
|
|
|
|
4 |
1 |
5 |
0 |
1 |
3 |
|
|
|
|
0 |
4 |
2 |
|
3 |
0 |
1 |
|
|
Далее, |
AB |
6 |
4 |
7 |
, BA |
0 |
2 |
1 . |
|
|
|
|
12 |
7 |
18 |
|
0 |
1 |
3 |
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81
4 11 3 C AB BA 6 1 2 .
26 1 5
По определению матрицы линейного оператора в каноническом базисе R3 ее столбцы являются наборами компонент образов базисных векторов, т.е.
|
( 4,6, |
|
|
11, |
1, |
|
3 , |
26 , 6 . |
||
Ce1 |
26) , Ce2 |
1 ,Ce3 |
||||||||
Отсюда находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x2e2 |
x3e3 |
|
|
|
|
|
Cx |
C x1e1 |
|
x1Ce1 |
x2Ce2 |
x3Ce3 |
=(-4x1+11x2-3x3,6x1-x2-2x3,-26x1-x2+5x3).
4.5 Геометрический смысл определителя матрицы оператора в пространствах R3 и R2.
1. Изменение объѐма. Рассмотрим пространство R3.
Пусть оператор A - невырожденный. |
Это означает, |
что он |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
любые три некомпланарных вектора ( e |
1, e |
2, e |
3) переводит в |
||||
три |
некомпланарных |
вектора |
|
|
|
|
|
|
( A e |
1, A e |
2, A e 3). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Параллелепипед, построенный на векторах e1 , |
e2 |
, e3 , оператор |
A в силу линейности преобразует в параллелепипед, построенный на их образах. Найдем соотношения между объѐмами этих параллелепипедов.
Как известно, ориентированный объѐм параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен их смешанному произведению. Поэтому
|
|
V(1) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
e |
e |
e , V(2) = A |
e |
1 |
|||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
A e 2 |
A e 3 |
|
||
Выражая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A e |
1, A |
e 2, |
A |
e 3 по формулам: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
A e |
1 = a11 e |
1+a21 e |
2+a31 e 3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
A e |
2 = a12 e |
1+a22 e |
2+a32 e 3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
A e |
3 = a13 e |
1+a23 e |
2+a33 e 3 |
|
|
82
получаем
V(2)=(a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a23a31 -
-a12a21a33 - a11a23a32)( e1 e2 e3 )
или
V(2)=detA V(1),
где А - матрица оператора A . Отметим: что если detA>0, то оба параллелепипеда одинаково ориентированы, если detA<0, то ориентация их разная.
Итак, определитель матрицы оператора равен отношению ориентированных объемов соответствующих параллелепипедов в пространствах образов и прообразов. Иначе, он является коэффициентом искажения объѐма.
|
2.Изменение площади. |
Пусть |
оператор |
A |
переводит |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неколлинеарные |
векторы |
e 1, e2 |
пространства |
R2 |
в векторы |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A e |
1, A e 2. Возьмѐм единичный вектор e 3, перпендикулярный |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости векторов e 1, |
e 2. Введѐм вспомогательный оператор |
||||||||||
A 1, (действующий в пространстве R3) такой, что : |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e 1 |
A e 1, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
A |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e 2 |
A e 2, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 1 e |
3 = e 3. |
|
|
|
||
|
Тогда ориентированные объѐмы V(1) и V(2) численно |
||||||||||
равны площадям параллелограммов S(1) и S(2), построенных на |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторах |
e |
1, e 2 |
и их образах. С |
учетом результата п.1, |
|||||||
получаем S(2)=S(1)detA1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Нетрудно |
видеть, |
что |
detA1=detA. |
Значит |
||||||
S(2)=detA S(1),т.е. |
detA |
является |
коэффициентом |
искажения |
площади.
Упражнения
83
1. Установить, какие из заданных отображений пространства
R3 в себя являются |
|
линейными операторами; выписать их |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
матрицы в прямоугольном базисе B=( i , j , k ): |
|||||||
а) |
|
= |
|
, |
- |
фиксированное число; |
|
A x |
x |
||||||
б) |
|
= |
|
|
, |
|
- фиксированное число; |
A x |
x |
+ a |
и a |
||||
в) |
|
|
|
|
|
- заданный единичный |
|
A x |
=( x , e ) e |
, где e |
вектор, выяснить геометрический смысл этого отображения;
г) |
|
|
|
|
- фиксированный вектор. |
|
A x |
=[ a |
, x |
], a |
|||
д) |
|
|
|
|
|
- фиксированный вектор. |
A x |
=( a |
, x ) x , |
a |
|||
2. |
|
Установить, |
какие из заданных отображений |
пространства арифметических векторов R3 в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в каноническом базисе:
а) A x =(x1,x2+1,x3+2);
б) A x =(0,x2-x3,0);
в) A x =(x1+2x2+2x3,-3x2+x3,2x1+3x3);
г) A x =(3x1+x2,x1-2x2-x3,3x2+2x3).
3.Показать, что ортогональное проектирование
трехмерного пространства на ось 0X есть линейный оператор.
|
|
|
|
|
|
Найти его матрицу в базисе B=( i , j , k ). |
|
|
|
||
4. В пространстве R3 заданы два линейных оператора A |
|||||
|
|
|
|
|
|
и B . Найти матрицу С линейного оператора |
C |
AB |
BA и его |
||
|
|
|
|
|
|
явный вид в каноническом базисе R3: |
|
|
|
||
а) |
|
=(7x1+4x3,4x2-9x3,3x1+x2); |
|
|
|
A x |
|
|
|
||
|
|
=(x2-6x3,3x1+7x3,x1+x2-x3); |
|
|
|
|
B x |
|
|
|
б) A x =(2x1-x2+5x3,x1+4x2-x3,3x1-5x2+2x3);
x =(x +4x +3x ,2x +x ,3x -x );
B 1 2 3 1 3 2 3
в) A x =(3x1+x2-2x3,3x1-2x2+4x3,-3x1+5x2-x3);
84
|
|
|
=(2x1+x2,x1+x2+2x3,-x1+2x2+x3); |
|
B x |
||
г) |
|
|
=(3x1+x2+x3,2x1+x2+2x3,x1+2x2+3x3); |
A x |
|||
|
|
|
=(x1+x2-x3,2x1-x2+x3,x1+x2). |
|
B x |
|
|
|
|
|
|
|
5. Векторы |
a 1=(2,3,5), |
a 2=(0,1,2), a 3=(1,0,0) |
линейным |
|||
оператором |
|
преобразуются соответственно |
в векторы |
|||
A |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
b 1=(1,1,1), |
b 2=(1,1,-1), |
b 3=(2,1,2). |
Найти матрицу этого |
оператора в том же базисе, в котором указаны координаты
векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
и b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
В L4 |
задан линейный оператор A , матрица которого в |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
некотором базисе B=( e |
1, e |
2, e |
3, e 4) равна: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
3 |
0 |
1 |
2 . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Найти матрицу этого оператора в базисах: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
B'=( e |
1, e |
3, e |
2, e |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
б) |
|
B'=( e |
1, e |
1+ e |
2, e |
1+ e 2+ e |
3, e 1+ e 2+ e |
3+ e 4). |
||||||
В L3 |
задан линейный оператор A , матрица которого в |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
некотором базисе B=( e |
1, e |
2, e 3) равна: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
15 |
|
11 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
20 |
|
15 |
8 . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
7 |
6 |
|
|
|
|
|
|
Найти матрицу этого оператора в базисе |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
B': e1 |
=2 e 1+3 e 2+ e 3, |
e2 =3 e 1+4 e |
2+ e |
3, e3 |
= e |
1+2 e 2+2 e 3. |
||||||||
|
8. В L3 заданы два базиса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
B': e1 =8 e |
1-6 e 2+7 e 3, |
e2 =-16 e |
1+7 e |
2-13 e |
3, e3 |
=9 e |
1-3 e |
2+7 e 3, |
85
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B'': e1 |
= e 1-2 e |
2+ e 3, e2 |
=3 e |
1- e |
2+2 e 3, |
e3 |
=2 e |
1+ e |
2+2 e 3 . |
|
|
||||||||||
Найти матрицу оператора A в базисе B'', если его матрица в |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
базисе B' имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
18 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
22 |
20 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
25 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.В пространстве L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
оператор |
A в базисе B': e |
1= e 1+2 e 2, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
имеет матрицу A |
3 |
5 |
. Оператор |
|
в базисе |
|||||||||||||
e2 =2 e |
1+3 e 2 |
4 |
3 |
B |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B'': |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрицу |
B |
|
4 |
6 |
. |
|||||
e1 |
=3 e 1+ e |
2, e2 |
=4 e 1+2 e 2 имеет |
|
6 |
9 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти матрицу оператора A + B |
в базисе B''. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. В пространстве L2 оператор A в базисе B': |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрицу A |
|
2 |
1 |
|
||||||
e |
3e |
7e |
, |
e2 |
e1 |
2e2 |
|
имеет |
|
|
|
. |
|||||||||
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет |
||||||||||||
Оператор B в базисе B'': e1 |
=6 e 1-7 e 2, |
e2 |
=-5 e 1+6 e 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрицу B |
2 |
7 . |
Найти |
матрицу оператора |
A |
B |
в |
том |
|||||||||||||
базисе, в котором даны координаты всех векторов. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
11. |
В |
пространстве |
n |
задан линейный |
оператор |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференцирования D |
dt |
. Найти матрицу этого оператора в |
|||||||||||||||||||
базисе 1,t,t2,…,tn. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
12. В пространстве функций, дифференцируемых на всей |
||||||||||||||||||||
оси, заданы оператор дифференцирования |
|
|
d |
|
и оператор |
||||||||||||||||
D |
|
dt |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86
A умножения на функцию e . Проверить равенство D A -
A D = |
A . |
|
|
13.Установить, какие из заданных линейных операторов
вR3 являются невырожденными, и найти явный вид обратных операторов:
|
а) |
|
=(x1-x2+x3,x3,x2) |
|
|
|
|
|
|||
|
A x |
|
|
|
|
|
|||||
|
б) |
|
=(x2+2x3,-x2,2x2-x3). |
|
|
|
|
||||
|
A x |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Ответы |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
1. |
а) |
|
является; |
|
A |
0 |
|
0 |
;б) |
не является; |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
в) |
|
является |
оператором |
проектирования на ось, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
cos |
|
|
заданную вектором e , если |
e |
i |
j |
cos k , |
|||||||
|
|
|
cos2 |
cos |
cos |
|
cos |
cos |
|
||
то |
|
A |
cos |
cos |
|
cos2 |
|
cos |
cos |
; |
|
|
|
|
cos |
cos |
cos |
cos |
|
cos2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
является, если |
a |
a1i |
|
a2 j |
a3k , |
|
||
|
|
|
0 |
a3 |
a2 |
|
|
|
|
|
|
то |
A |
|
a3 |
0 |
a1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
a1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
д) не является.
|
0 |
0 |
0 |
2. |
а) не является; б) является; A 0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
87
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
3 |
1 |
0 |
в) является; |
|
A 0 |
3 |
1 |
; г)является; A |
1 |
2 |
1 ; |
|
|
|
|
2 |
0 |
3 |
|
0 |
3 |
2 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
3. |
0 |
0 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
13 |
37 |
||
4. |
а) |
|
C |
39 |
16 |
25 , |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
6 |
|
|
|
|
=(22x1+13x2-37x3,-39x1-16x2+25x3,-x1-6x3); |
||||
|
Cx |
||||||
|
|
|
|
15 |
23 |
7 |
|
|
б) |
|
C |
2 |
|
8 |
4 , |
|
|
|
|
7 |
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cx =(-15x1+23x2-7x3,2x1+8x2-4x3,-7x1+x2+7x3); |
||||||
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
C=0, cx |
= 0 ; |
|
|||
|
|
|
2 |
|
3 |
2 |
|
|
г) |
|
C 1 |
|
0 |
4 |
, |
|
|
|
5 |
|
0 |
2 |
|
Cx =(2x1+3x2-2x3,x1-4x3,5x1-2x3).
2 11 6
5. 1 7 4 .
2 1 0
88
|
|
1 |
0 |
2 |
1 |
|
|
2 |
0 |
1 |
0 |
6.а) |
A |
2 |
3 |
5 |
1 |
; |
б) A |
1 |
4 8 7 . |
||
|
|
3 |
1 |
0 |
2 |
|
|
1 |
4 |
6 |
4 |
|
|
1 |
1 |
2 |
3 |
|
|
1 |
3 |
4 |
7 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
2 |
2 |
44 |
44 |
|
0 |
2 |
0 |
. 8. A" |
3 |
1 |
2 . 9. |
||
7. |
29.5 |
25 . |
|||||||
|
0 |
0 |
3 |
|
2 |
3 |
1 |
|
|
10.109 93 .
34 29
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
0 |
11. |
|
|
0 |
3 |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 n 1 |
|
|
|
|
|
0 |
13. |
а) |
|
1 |
|
|
|
A |
|
A ; |
||
|
б) |
|
оператор не имеет обратного. |
4.6. Cобственные значения и собственные векторы линейного оператора
Пусть |
A |
- линейный |
оператор, действующий из |
|||
|
|
|
|
|
|
|
конечномерного линейного пространства L в это же |
||||||
пространство. |
|
|
|
|
||
Ненулевой |
вектор |
L называется |
собственным |
|||
x |
||||||
вектором |
линейного |
оператора A , если |
справедливо |
|||
|
|
|
|
|
|
равенство:
89
|
= |
|
(4.2) |
A x |
x . |
Скаляр называется собственным значением линейного
оператора A , соответствующим собственному вектору x .
Пусть x - некоторый собcтвенный вектор. Покажем, что
вектор k x , k 0 также является собственным вектором, отвечающим тому же собственному значению. Действительно,
A (k x )=k A
Выберем в n-мерном
базис, например e 1, e 2,..,
|
=k |
|
= |
|
x |
x |
(k x ). |
пространстве Ln какой-нибудь
e n. В этом базисе линейный
оператор |
A определяется матрицей n-го порядка, |
столбцами |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которой являются координаты векторов A e 1, |
A e |
2, , A e n в |
|||
|
|
|
|
|
|
базисе e |
1, e 2, |
, e n. |
|
|
|
Пусть вектор |
x имеет координаты x1,x2,..,xn |
в этом же |
базисе. Тогда соотношение (4.2) в матричной форме будет представлено в виде:
a11 |
a12 |
a1n |
x1 |
x1 |
|
||
a21 |
a22 |
a2n |
x2 |
x2 |
, |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|||||||
an1 |
an 2 |
ann |
xn |
xn |
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
a11 x1 |
a12 x2 |
a1n xn |
x1 |
|
|||
a21 x1 |
a22 x2 |
a2n xn |
x2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
an1x1 |
an 2 x2 |
ann xn |
xn |
|
Перенесѐм правые части влево и получим следующую однородную систему из n уравнений относительно неизвестных x1,x2, ,xn:
90