3175

30

Заменив Fw = mv на основании (*) и разделив последнее выражение на m, получим выражение для удельной работы вытеснения dlвыт :

Полный дифференциал d (pV) можно представить как сумму. Тогда d выт = pdv + vdp,

где первое слагаемое, как известно, есть элементарная работа расширения d . А

второе слагаемое – элементарная работа проталкивания d , т.е. работа по преодолению сил гидродинамического сопротивления – сил инерции и трения, связанная с перемещением ТРТ по каналу и обусловленная направленным движением потока. Эта работа идѐт на изменение кинетической энергии элемента и на преодоление сопротивления трения.

Интегральное выражение работы вытеснения для конечного процесса 1- 2 имеет

вид

С другой стороны, из (**)

выт = p2v2 + p1v1,

Таким образом, несмотря на то, что обе составляющие работы вытеснения являются функциями процесса, их сумма – работа вытеснения – не зависит от пути процесса, а зависит только от начального и конечного состояний, т.е. является функцией состояния, характеризуя как бы общую потенциальную работоспособность системы при переходе еѐ из состояния 1 в состояние 2.

32

Энтальпия

В термодинамике кроме внутренней энергии U широко используется ещѐ одна функция состояния ТРТ, впервые введѐнная в исследование термодинамических

процессов Гиббсом и названная в 1909 г. Г. Каммерлинг-Оннесом энтальпией (от греческого i - нагреваться).

Энтальпия I равна сумме внутренней энергии и внешней потенциальной энергии

Произведение PV численно равно работе, которую нужно совершить против сил давления среды p, чтобы освободить в ней место для размещения ТРТ с объѐмом V. Это работа, которую газ способен совершить при изменении своего объѐма от 0 до V при постоянном давлении p.

Поскольку энтальпия скомбинирована из величин, являющихся функциями состояния (U, P, V), то, следовательно, энтальпия также является функцией состояния.

Это величина аддитивная, т.е. для сложной системы равна сумме энтальпий еѐ независимых частей I = Ii , она определяется с точностью до постоянной слагающей,

которой в термодинамике часто придают произвольные значения (например, при расчѐте и построении тепловых диаграмм). Начало отсчѐта энтальпии связано с началом отсчѐта u: при u = 0 энтальпия i =pv.

Изменение энтальпии как функции состояния не зависит от характера процесса и определяется только начальным и конечным состояниями газа, т.е. значениями температуры газа в этих состояниях, и поэтому является полным дифференциалом

i = (p, T)

di = ( Ti ) p dT ( pi )T dp

Для идеального газа внутренняя энергия u, произведение pv, равное RT, зависят только от температуры, поэтому энтальпия идеального газа зависит только от температуры.

Дифференцируя выражение для энтальпии, получим di = du+pdv+vdp

Откуда

du = di-pdv-vdp

Подставляя это выражение в уравнение первого закона термодинамики в случае, когда единственным видом работы является работа расширения,

dq = du + pdv

После преобразований получим

dq = di-vdp

Для процесса при p = const ( vdp = 0 ) уравнение упрощается:

dqp=conct = di или qp=cpnst = i2 - i1

Таким образом, для идеальных газов изменение энтальпии равно теплоте процесса при p = const. Отсюда следует, что количество теплоты, которое передаѐтся в процессе с постоянным давлением, можно найти как разность энтальпий в конечном и начальном состояниях процесса p = const. При этом удобно использовать имеющиеся таблицы или диаграммы газов.

33

ТЕПЛОЁМКОСТЬ ГАЗОВ

Для того чтобы два различных вещества с одинаковой массой нагреть до одинаковых температур, нужно затратить различное количество теплоты. Например, на нагревание воды нужно затратить теплоты приблизительно в 9 раз больше, чем на нагревание до той же температуры такого же количества железа. Характеристикой тепловых свойств вещества является теплоемкость - свойство тел поглощать или отдавать тепло при совершении термодинамических процессов.

Удельной теплоемкостью или сокращенно теплоемкостью называется количество тепла, необходимое для изменения температуры на один градус.

Из этого определения следует, что теплоемкость вещества является экстенсивным свойством тела. В самом деле, величина теплоемкости данного тела тем больше, чем больше вещества содержит это тело: теплоемкость 10 кг воды в 5 раз больше теплоемкости 2 кг воды.

Калория и градус имеют размерность энергии. Отсюда можно прийти к выводу, что теплоемкость - величина безразмерная, т.е. величина, не зависящая от того, какая единица измерения выбрана для энергии: эрг, калория или еще что-нибудь. То, что теплоемкость измеряется в единицах калория/градус или джоуль/градус - дань привычке, не позволяющая нам отказаться от градусов.

Т.к. о количестве вещества судят по его массе, по его объему при нормальных условиях или по количеству киломолей, то в технической термодинамике различают три вида теплоемкостей - массовую, объемную, мольную.

киломоля газа при нормальных условиях.

Т.К. теплоѐмкость идеального газа зависит от температуры, а реального - и от давления, то в технической термодинамике различают истинную и среднюю теплоѐмкости, последнюю обычно применяют в практических расчетах при определении

подведенного r газу, к интервалу изменения его температуры T T2 T1 :

конечные точки рассматриваемого отрезка процесса.

35

Экспериментально установлено что величина теплоѐмкости реальных газов зависит и от давления, влияние которого при высоких температурах, свойственных продуктам сгорания в тепловых двигателях (1000-2000 градусов Цельсия), незначительно.

Истинные теплоемкости реальных газов можно выразить в виде суммы двух слагаемых:

c c0 cX

Первое слагаемое представляет собой теплоемкость данного газа в разрежѐнном (идеально газовом) состоянии (при p 0 или ) и зависит только от температуры.

Второе слагаемое определяет зависимость теплоѐмкости от давления или удельного объѐма и связано с изменением потенциальной составляющей внутренней энергии

внутренней энергии (рассматриваемой как функция и Т) по температуре Т при const . Откуда следует, что

du c dT

Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и не зависит от свойств процесса. Поэтому полученное уравнение является единственным для подсчѐта изменения внутренней энергии, в любом термодинамическом процессе.

Подставив du в dq du pd , получим уравнение первого начала для любого процесса через теплоемкость

dq c dT pd

Дифференцируя уравнение состояния p RT при p=сonst, получаем: pd dp RdT

Т.к. p=сonst, то dp=0 и dp 0 , тогда

pd RdT

Но изобарная теплоѐмкость

энтальпии (рассматриваемой как функция p или T) по температуре T при p=const. Понятия «теплоѐмкость при постоянной температуре» и «адиабатная теплоѐмкость» редко применяются, т.к. при Т=const :

После подстановки получим:

cp dT c dT RdT

Разделив на dT получим:

cp c R -уравнение Р. Майера (1842 г.).

Это выражение действительно и для средних теплоѐмкостей. Газовая постоянная R численно равна разности изобарной и изохорной теплоѐмкостей вещества и имеет размерность теплоемкости [это работа 1 кг газа в изобарном процессе, измеряемая в Дж, при изменении температуры на 1 градус Цельсия].

При нагревании одного и того же газа до одинаковой температуры в одинаковых условиях при изобарном процессе нужно затратить больше тепла, чем при изохорном.

Физический смысл этой зависимости легко уяснить. Если для нагревания одного моля (или 1 кг.) газа в цилиндре над поршнем на 1 градус при постоянном объеме, т.е. при закрепленном неподвижно поршне, надо затратить количество теплоты c , то при

постоянном давлении к этому количеству теплоты добавится работа R, которую будет совершать расширяющийся газ, толкая освобождѐнный поршень.

Следует отметить, что для реальных газов

cp c R

Это неравенство объясняется тем, что при расширении реальных газов (при p=const) совершается не только внешняя работа, но и внутренняя, связанная с изменением внутренней потенциальной энергии тела, что и вызывает большой расход теплоты.

Уравнение Майера можно переписать в следующем виде:

cp c 8314,3 [Дж/кмольК]

В термодинамике часто используется отношение изобарной теплоѐмкости к изохорной

cp k c

- показатель адиабаты (коэффициент Пуассона).

величиной, большей единицы. Это свидетельствует о том, что с увеличением температуры теплоемкость c возрастает более интенсивно, чем теплоѐмкость c p . Обычно

зависимость k от температуры выражается эмпирической формулой вида:

37

k k0 t

где k0 -значение коэффициента k при нуле градусов Цельсия , а -некоторый

коэффициент, принимающий для каждого газа определенное значение. Из этого уже уравнения получим выражения:

Численные значения мольных теплоѐмкостей легко запоминаются, если выразить их в ккал/кмольК. В этом случае

Так как для молекулы состоящей из двух иди более атомов, число степеней свободы составляет 3 вр , где вр - число степеней свободы вращательного движения

многоатомных газов вр 3 . Причем для последних в приближѐнных расчетах необходимо

хотя бы грубо учитывать энергию внутримолекулярных колебаний атомов и принимать тогда вр 4 .

Для того чтобы выразить теплоѐмкость в единицах системы СИ, полученные значения следует умножить на переводной коэффициент 4,187 кДж/ккал.

При высоких температурах и давлениях:

Вообще, для трех - и многоатомных газов k 1.3.

Казалось бы, проще всего определить теплоемкость газа, заполнив испытуемым газом сосуд и погрузив этот сосуд в калориметр. Однако, мы не учитываем при таком измерении исключительной малости теплоемкости газа по сравнению с теплоѐмкостью сосуда, из какого бы твердого материала он ни был сделан. Поэтому измерения теплоѐмкости газа при постоянном объеме не производятся. Для этой цели через калориметр пропускается змеевик, в котором под постоянным давлением движется газ. Измеряется температура газа при входе в калориметр и при выходе. Газ, входящий в калориметр после предварительного нагревания, передает часть своего тепла воде. Зная количество газа, протекающего через сосуд за какое-то определенное время, и количество тепла, полученное водой калориметра за тот же самый срок, мы без труда найдем теплоемкость газа при постоянном давлении c p , деля это количество тепла на протекшую

массу газа и на разность температур газа при входе и выходе. Для определения c

пользуются коэффициентом Пуассона и уравнением Майера.

Для определения k предлагалось много способов, часть из них основана на измерении объемов и явлений газа в последовательных состояниях при адиабатном процессе.

Теплоемкости различных газов приведены в таблице.

39

Нетрудно подсчитать, что 1 кубический метр морской воды, охлаждаясь на 1 градус Цельсия, нагреет на 1градус Цельсия 3000 кубометров воздуха. Поэтому в приморских районах колебания в температуре и разница между температурой зимы и лета менее значительны, чем в континентальных.

В теплотехнических расчетах приходится определять теплоѐмкость газовой смеси. Т.к. теплота, затрачиваемая на нагревание 1 кг газовой смеси, расходуется

нагревание отдельных компонентов, находящихся в смеси, то теплоѐмкость смеси равна сумме произведений теплоѐмкостей компонентов, составляющих смесь, на их массовые или объѐмные доли.

При задании смеси массовыми долями массовая теплоѐмкость смеси определяется по формуле:

n

cсм ci gi , Дж/кгК

i 1

где gi ci - произведения массовой доли на массовую теплоѐмкость каждого из

состава смеси в данном процессе.

Объемная теплоѐмкость смеси, заданной в массовых долях, определяется по формуле:

Если смесь задана в объѐмных долях, то еѐ объѐмная теплоемкость

n

cсмl cil ri , Дж / м3 К i 1

где ri ci - произведение объемной доли на объемную теплоѐмкость каждого газа из состава смеси в данном процессе.

Массовая теплоѐмкость смеси, заданной в объѐмных долях, определяется выражением:

Мольная теплоѐмкость смеси газов равна произведению объѐмных долей на мольные теплоѐмкости составляющих смесь газов:

n

cсм ci ri

i 1

АНАЛИЗ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА

ОСНОВАНИИ 1 НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ

Понятие об энтропии

Существуют такие термодинамические процессы, при которых остаѐтся неизменной одна из трѐх величин, характеризующих состояние ТРТ, или некоторый комплекс величин. Таких процессов всего четыре: изохорный (V = const), изобарный (P = const), изотермический (T = const) и адиабатный (dq = 0). Эти процессы называются основными.

Для того, чтобы провести исследование основных термодинамических процессов, рабочим телом которых является идеальный газ, необходимо предварительно ввести