3143

движение общей для этих двух звеньев точки С - центра средней вращательной пары.

Рассмотрим движение звена 2 относительно звена 1. Эти звенья образуют вращательную пару, поэтому на основании теоремы о сложении скоростей в сложном движении скорость точки С на звене 2 складывается из

где VCB 2 LВC

Теперь определим скорость точки С, отнеся ее к 3 звену. Звено 3 образует со звеном 4 поступательную пару, поэтому скорость точки С3 можно представить как сумму двух скоростей: скорости VC4 точки С4,

совпадающей с точкой С3 и принадлежащей среде переноса (в данном случае примыкающему звену 4), и скорости точки С3 относительно точки С4 в поступательном движении звена 3 относительно звена 4 - VC3 C4 , т.е. :

Точку С4 расположим на плоскости, жестко связанной со звеном 4. Зная закон движения этого звена, можно найти мгновенный цент? вращения (МЦВ) и при известном расстоянии его от точки С4 и угловой скорости 4 определить величину и направление скорости этой точки.

Систему уравнений (2.6) и (2.7) решим графически в выбранном

рv параллельно вектору скорости точки В отрезок pv в (мм) и через конец этого отрезка проводим прямую, являющуюся линией действия вектора VCB. Эта прямая перпендикулярна к линии ВС.

Далее из полюса pv плана скоростей параллельно вектору VC4 (рис. 2.3,

а) откладываем отрезок pvc4 = VC4 (мм). Через конец этого отрезка (точку С4)

v

проводим прямую, параллельную направляющей поступательной пары D, являющейся линией действия вектора относительной поступательной

определяются точкой пересечения линий действия относительных скоростей. Точку пересечения этих линий обозначим С, абсолютная скорость точки С определится из условия

Vc = (pvc) v .

Из плана скоростей получим также величины и направления векторов относительных скоростей: вращательной VCB - отрезок bc и поступательной VCC4 - отрезок C4C. Угловая скорость второго звена :

21

относительном движении направлено от точки С вдоль звена 2 к точке В; величину его, исходя из построенного плана скоростей (рис. 2.3, б), определим по формуле:

a

Направление указанного отрезка определяется путем поворота вектора относительной скорости С4С на 90° в сторону

вращения среды поворота - звена 4. Из точки К проводим линию

действия aCB и aCC4 r определит наложение точки C.

Из плана ускорения получим также величины и направления векторов относительных ускорений aCB bc a (м/с2) и aCC4 c4c a (м/с2). Угловое ускорение звена 2 определится по формуле:

Направление e2 устанавливается путем мысленного переноса вектора nc в точку С и определения направления вращения звена 2 вокруг точки В под влиянием этого вектора.

Пользуясь планом ускорений, можно найти ускорение любой точки на звене 2 и 3. Например, требуется определить ускорение точки S на звене 2. На основании известного положения о подобии фигур звена и плана относительных ускорений строим на отрезке bc плана ускорений треугольник csb, подобный треугольнику CSB на звене 2, соблюдая при этом одинаковую последовательность расположения букв при обходе контуров этих треугольников в одном направлении. Соединяя полученную в результате

23

построения точку S с полюсом ра, получаем отрезок pas, определяющий в масштабе ускорение точки S:as = (pas) а

Аналитический метод. Этот метод позволяет определять скорости и ускорения с более высокой точностью. Обычно применяют метод последовательного дифференцирования функции перемещения точки, скорость и ускорение которой необходимо определить. Функцию перемещения S=S(t) или S=S( ) можно получить из геометрических соображений, как, например, это сделано для кривошипно-ползунного механизма - формула (2.5), а ее скорость и ускорение - путем дифференцирования уравнений (2.3).

Дифференцируя уравнения (2.3) по обобщенной координате 1 (углу поворота ведущего звена), получают не истинную угловую скорость, а

скорости. Связь между аналогом скорости и действительной угловой скоростью i-го звена определится из соотношения:

уравнения (2.3) и подставив значение аналога скорости, получаем уравнения для определения угловой скорости, получаем уравнения для определения

дифференцировании уравнений (2.3) с использованием понятия аналога

ускорение i-го звена, умножив аналог углового ускорения на квадрат угловой

24

из уравнения (2.19) получим значение:

Получив значения угловых скоростей и ускорений, можно определить скорость и ускорение любой точки звеньев механизма. В тех случаях, когда 1/3, пользуются приближенными формулами при определении перемещения, скорости и ускорения ползуна. При этом перемещение ползуна Sc измеряем от мертвого положения Со (рис. 2.2):

Sc = 1 + 2 - Xc , или с учетом (2.5) получим:

25

Глава 3. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ

СВЫСШИМИ ПАРАМИ

3.1.Соотношение скоростей в высшей кинематической паре

Вращающееся ведомое звено

в)

Рис. 3.1. К теореме о соотношении скоростей в высшей кинематической паре

26

Предположим, что движение от ведущего звена 1 к ведомому 2, вращающихся вокруг параллельных осей О1 и О2, передается при помощи высшей кинематической пары (рис. 3.1). Рабочими профилями звеньев являются кривые ab и cd.

Если сообщить всей системе вращение с угловой скоростью (- 2), то первое звено будет совершать два вращательных движения: с угловой скоростью 1 вокруг оси О1 и с угловой скоростью (- 2) вокруг оси О2, а второе будет неподвижным. На основании теоремы о сложении угловых скоростей оба эти движения можно заменить одним - вокруг мгновенной оси

(перпендикулярно к плоскости рисунка), в относительном движении определяется отношением:

и звенья 1 и 2 вращаются в разные стороны; если же точка Р находится по одну сторону от центров О1 и О2 (внутреннее касание), то отрезки РО1 и РО2 имеют одинаковое направление (рис. 3.1, б) и звенья 1 и 2 вращаются в одну сторону.

Относительная скорость точки контакта К, принадлежащей звену 1, к направлена перпендикулярно к отрезку РК в сторону, определяемую направлением . Так как относительная скорость к всегда направлена по общей касательной к профилям cd и ab в точке К, то отрезок РК является нормалью к соприкасающимся профилям в точке К. На основании указанного можно так сформулировать теорему о соотношении скоростей в высшей паре: нормаль в точке контакта профилей двух звеньев, совершающих вращательное движение, делит межосевое расстояние на отрезки, длины которых обратно пропорциональны угловым скоростям этих

звеньев.

Поступательно движущееся звено. Когда ведомое звено, образующее с ведущим высшую кинематическую пару, совершает поступательное движение с линейной скоростью 2 (рис. 3.1, в), положение МЦВ в относительном получают аналогичным путем. При этом нормаль к соприкасающимся профилям в точке их контакта отсекает на перпендикуляре, опущенном из центра вращения ведущего звена на

направление движения ведомого звена, отрезок О1Р = 2 .

1

Геометрические места положений МВЦ на ведущих и ведомых звеньях представляют собой центроиды в относительном движении. Форма центроид зависит от соотношения скоростей этих звеньев.

27

Аксоидные поверхности

Рис. 3.2. К определению аксоидных поверхностей

Геометрическое место мгновенных осей вращения образует в относительном движении аксоиды. При передаче вращения между звеньями, оси которых параллельны, аксоиды представляют собой цилиндры (рис. 3.2, а - при внешнем касании, рис. 3.2, б - при внутреннем касании).

При передаче вращения между звеньями, оси вращения которых пересекаются, аксоидами относительного движения являются конусы с общей вершиной в точке О пересечения осей (рис. 3.2, в), а линия ОР будет мгновенной осью вращения.

В случае передачи вращения между двумя звеньями, оси которых перекрещиваются в пространстве (рис. 3.2, г), аксоиды представляют собой два гиперболоида вращения. Мгновенная ось вращения в этом случае проходит через точку Р, делящую кратчайшее расстояние О1О2 между осями в отношении:

28

где 1 и 2 - углы, образованные осями звеньев с осью мгновенного вращения и скольжения, которая должна быть параллельной вектору относительной скорости 1 2 . Передача движения от ведущего звена к ведомому при наличии высшей кинематической пары может происходить двояко:

1)за счет перекатывания без скольжения друг по другу звеньев, выполненных по форме аксоидов. В этом случае движение передается за счет сил трения, возникающих в зоне контакта этих звеньев при надавливании их друг на друга (фрикционные механизмы).

2)за счет давления звеньев (одного на другое), очерченных по определенным профилям (кулачковые и зубчатые механизмы). В этом случае между профилями, передающими движение, происходит не только перекатывание, но и относительное скольжение.

3)

Передаточное отношение.

Для двух звеньев 1 и 2, вращающихся с угловыми скоростями 1 и 2 под передаточным отношением понимают отношение их угловых скоростей:

Если движение осуществляется между параллельными осями, то передаточное отношение имеет знак "плюс", если угловые скорости звеньев имеют одно направление и знак "минус", если направления противоположны.

Независимо от принципа осуществления передачи вращения (трениям или давлением) на основании формулы (3.1) при внешнем контакте (рис. 3.2,

а) :

при внутреннем контакте (рис. 3.2, б) :

Для механизмов, в состав которых входят низшие пары, передаточное отношение представляет собой отношение линейных скоростей.

Передаточное отношение может быть выражено также через отношение угловых или линейных перемещений:

Механизмы можно разделить на две группы: с постоянным передаточным отношением и переменным. К первой относятся зубчатые и фрикционные механизмы, аксоидами которых являются цилиндры, конусы, гиперболоиды вращения, ко второй - кулачковые механизмы и механизмы с некруглыми зубчатыми колесами.

29

3.2 Механизмы с постоянным передаточным отношением

Простые механизмы. В механизме, состоящем из двух вращающихся звеньев (рис. 3.2, а, б), межосевое расстояние a = r2 r1 и с учетом формулы

(3.4) :

30