3110

Пусть произошло событие Z C , но на самом деле справедлива гипотеза H1 . В этом случае говорят, что произошла ошибка 2-го рода. Тогда ее вероятность, рассчитанная в предположении верности гипотезы H1 , равна

H1 , когда она верна, то мощность критерия равна 1-β. Так как вероятности ошибок первого и второго рода желательно уменьшать, а мощность – увеличи-

позволяет найти объем выборки, при котором качество обсуждаемого критерия будет оптимальным.

Возвращаясь к нашему примеру, имеем

Подобные рассуждения лежат в основе проверок всех статистических гипотез. Статистической гипотезой будем называть любое утверждение о виде или свойствах закона распределения случайной величины, наблюдаемой в эксперименте. Гипотеза отклоняется, если вероятность того, что она верна, оказы-

Приведем примеры нулевых и конкурирующих статистических гипотез. Предположим, что извлечена выборка из нормальной генеральной совокупно-

Статистические гипотезы могут содержать одно или несколько предположений относительно параметров распределения случайной величины. Если гипотезе или альтернативе соответствует одно единственное распределение, то такая гипотеза (альтернатива) называется простой. Иначе гипотеза (альтернатива) называется сложной.

в зависимости от конкретной задачи исследования. Например, пусть требуется установить, будет ли новый способ производства электроламп увеличивать их срок службы по сравнению с существующим способом, при котором средний срок службы a0 4500 ч. Испытания небольшой партии ламп дали x 4800 ч. Можно ли на основании этих данных считать, что новый способ лучше старо-

aa0 – при новом способе производства срок службы увеличился.

Вдальнейшем речь будет идти о проверке гипотез относительно закона распределения случайной величины U , из которой извлечена выборка; о значении параметра известного закона распределения; о равенстве параметров распределений; о независимости выборок и т.п.

13.2. Статистический критерий. Критическая и допустимая области

Задача проверки статистической гипотезы заключается в выработке правила, позволяющего на основе значений выборки принять или отвергнуть основную гипотезу. Для этого используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Такую случайную величину называют статистическим критерием или тестовой статистикой. Эту случайную величину обозначают различными буквами в зависимости от закона ее распределения. Например, U – если она распределена

будем обозначать ее K

Множество всех значений статистики K разбивается на два непересекающихся подмножества. Одно – подмножество K1 , содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, его называют критической областью, и K0 ―множество значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают, его называют допустимой областью. Если значение статистики Kнабл , найденное по конкретной выборке, принадлежит K0 , то принимается основная гипотеза, если K1 , то следует отклонить нулевую гипотезу и при-

нять альтернативную.

Замечание 13.1. Тот факт, что основная гипотеза принята, не является доказательством справедливости нулевой гипотезы, а лишь показывает, что имеющиеся данные ей не противоречат. Поэтому на практике, как правило, стараются проверить, дают ли результаты эксперимента право отклонить нулевую гипотезу, с тем, чтобы принять вместо нее некоторую альтернативную гипотезу, которую исследователь отстаивает. Например, если статистический критерий отклонит нулевую гипотезу H0 : a a0 – при новом способе производства срок службы ламп остался прежним, то повышение срока службы электроламп, изготовленных по новой технологии, можно считать доказанным (с соответствующим малым риском, равным уровню значимости ).

73

Разбиение на критическую и допустимую области производится исходя из условия, что вероятность попадания значения статистики в критическую об-

мала, такое событие при справедливости нулевой гипотезы, в силу принципа невозможности маловероятных событий в единичном испытании, не должно наступить. Если оно произошло, то это означает, что нулевая гипотеза ложна и ее следует отвергнуть.

нуть основную гипотезу, если она в действительности справедлива. Рассмотрим подробнее процесс разбиения на критическую и допустимую

области. Так как статистика является скалярной величиной, то множество ее возможных значений – это числовая ось, полуось или отрезок числовой оси. Значит, критическая и допустимая области также участки на числовой оси. Точки, которые разделяют критическую и допустимую области, называют кри-

тическими точками.

Если при справедливости конкурирующей гипотезы большие (меньшие) значения статистики появляются с большей вероятностью, то критическая область находится справа (слева) от критического значения и называется право-

сторонней (левосторонней), то есть правосторонняя (левосторонняя) критиче-

Критическую область называют двусторонней, если нулевая гипотеза отвергается как при больших, так и при малых значениях статистики. Она определяется неравенствами: K k1 , K k2 ( k1 k2 , здесь k1 k2 – критические точки). Критические точки двусторонней критической области находятся из условия

P(K k1 | H0 ) P(K k2 | H0 )

распределение статистики симметрично относительно нуля, то критические точки также будут симметричны относительно нуля и их можно обозначить

74

Для ряда основных критериев существуют специальные таблицы, которые позволяют находить критическую точку kкр по заданному уровню значимости .

13.3. Ошибки первого и второго рода

При принятии или отбрасывании нулевой гипотезы мы можем совершить ошибки двух видов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута нулевая гипотеза в то время, когда она в действительности верна.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята нулевая гипотеза в то время, когда она неверна (или, что то же самое, будет отвергнута конкурирующая гипотеза, в то время, когда она верна).

Очевидно, что вероятность ошибки первого рода равна уровню значимости критерия . Вероятность ошибки второго рода будем обозначать .

Мощностью критерия называют вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, если конкурирующая гипотеза верна. То есть мощность критерия равна 1 , и ее можно рассматривать как вероятность того, что критерий распознает, когда верна конкурирующая гипотеза.

Понятно, что чем меньше для данной критической области числа и , тем удачнее выбран критерий. Однако при заданном объеме выборки n невозможно одновременно сделать как угодно малыми оба числа и . Очевидно, что при выборе критической области логично руководствоваться следующим принципом: при заданных значениях и n выбирать критическую область так, чтобы величина была минимальна (мощность критерия была максимальна).

Заранее нельзя сказать, какое нужно выбрать, чтобы метод проверки гипотезы был самым выгодным, так как основную роль при этом играет практическая сторона дела. Например, если совершение ошибки первого рода приведет к большим потерям по сравнению с потерями, совершаемыми при ошибке второго рода, следует принять по возможности меньшее значение .

75

Отметим, что единственный способ одновременно уменьшить вероятности ошибок первого и второго рода заключается в увеличении объема выборки n .

Рассмотрим основные этапы процедуры проверки статистических гипотез о симметричности (гипотеза H0 ) и несимметричности (гипотеза H1 ) монеты с

помощью опыта с ее подбрасыванием n раз. Выберем уровень значимости 0 05 . Опишем статистическую модель: число выпадения герба – это случайная величина X , распределенная по биномиальному закону с параметрами n 1000 (число испытаний) и p (вероятность выпадения герба). Сформулируем

нулевую и конкурирующую гипотезы. Пусть H0 : p 12 (монета симметрична),

H1 : p 12 соответственно.

Требуется установить, значимо или незначимо отличается наблюдаемое число выпадений герба и среднее число выпадений герба при таком эксперименте в случае справедливости нулевой гипотезы.

В качестве тестовой статистики возьмем случайную величину

U X p n np

npq

где p 1 q , распределение которой приближается к стандартному нормальному распределению, при справедливости нулевой гипотезы. Действительно, при

вычитая математическое ожидание и деля на среднее квадратическое отклоне-

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. В этом примере критическая область будет двусторонней, так как если число выпадений герба будет значимо больше или меньше 500, то это будет служить основанием отвергнуть нулевую гипотезу. Так как U – нормированная нормальная величина, то ее распределение симметрично относительно нуля,

Так как данное значение статистики не попадает в критическую область (|0,696|<1,96), то нулевая гипотеза принимается. Нет оснований считать монету несимметричной.

Задание 13.1. Самостоятельно проверить гипотезу о симметричности монеты, если число выпадений герба равно 897.

13.4. Отыскание мощности критерия

Как мы уже говорили, мощность критерия определяется как вероятность отклонить нулевую гипотезу, если она не верна. Эта вероятность зависит от реального значения рассматриваемого параметра закона распределения. Так как это значение не известно, то рассматривают кривую мощности, которая показывает соответствующее значение мощности критерия для каждого возможного значения параметра. Очевидно, что точки идеальной кривой мощности имеют ординату, равную единице для всех значений параметра, кроме тех, которые соответствуют нулевой гипотезе. На практике подобный результат получить невозможно, обычно удается повысить мощность критерия до желаемого уровня, соответственно увеличив объем выборки.

Рассмотрим вопрос об отыскании мощности критерия на примере с подбрасыванием монеты. Нулевая гипотеза отклонялась при U 1 96 :

то есть когда X 470 или X 530. Это означает, что мы отклоняем гипотезу тогда, когда число выпадений герба меньше чем 470 или больше чем 530.

Предположим, что монета на самом деле немного несимметрична и что неизвестное нам значение вероятности p в действительности равно 0,52. Тогда вероятность отклонить нулевую гипотезу можно найти по формуле МуавраЛапласа:

P(X 470 или X 530) 1 P(470 X 530)

77

совершить ошибку второго рода равна 0,74.

Если увеличить объем выборки, то мощность критерия увеличится. Задание 13.2. Самостоятельно найдите мощность критерия при n 10000 . Перейдем к изложению конкретных статистических критериев.

14. Проверка гипотез о параметрах нормального распределения

14.1. Проверка гипотезы о математическом ожидании случайной величины, имеющей нормальное распределение

14.1.1. Среднее квадратическое отклонение случайной величины известно

Пусть генеральная совокупность имеет нормальное распределение с па-

но по выборке большого объема). Хотя математическое ожидание случайной величины X неизвестно, есть основание предположить, что оно равно некоторому значению a0 . На основании случайной выборки (x1 x2 xn ) , взятой из этой генеральной совокупности, требуется проверить гипотезу о равенстве математического ожидания значению a0 , т.е. H0 a a0 против альтернативной гипотезы H1 a a0 . Для этого необходимо установить, значимо или незначимо отличается значение выборочного среднего x от a0 .

Для проверки основной гипотезы можно использовать статистику:

то случайная величина U распределена по нормальному закону U N (0 1) . Зададим уровень значимости данного критерия равным . Критическую

точку kкр найдем из условия

P(U kкр H0 )

Так как U стандартная нормальная случайная величина, то

78

чений функции распределения Гаусса-Лапласа.

Множество значений U , определяемых неравенством U kкр , является

правосторонней критической областью. Следовательно, если вычисленное по результатам выборки объема n наблюдаемое значение критерия

восторонней критической областью. Если альтернативная гипотеза имеет вид H1 a a0 , то используют статистику U с двусторонней критической областью.

Пример 14.1. На станке-автомате изготавливается деталь с номинальным контролируемым размером a 12 мм. Известно, что распределение контролируемого размера является нормальным X N(a 0 5) . Отдел контроля в течение смены произвел измерение 36 случайно отобранных деталей и подсчитал сред-

ний размер контролируемого параметра x 11 7 мм. Можно ли утверждать, что станок-автомат изготавливает детали уменьшенного размера и поэтому требуется произвести подналадку станка?

79

альтернативы. Это означает, что с вероятностью ошибки, меньшей чем 0,05 можно утверждать, что контролируемый размер деталей, изготавливаемых на станке, является заниженным по сравнению с номинальным и поэтому необходимо произвести подналадку станка.

14.1.2. Среднее квадратическое отклонение случайной величины неизвестно

Если неизвестно, тогда в качестве тестовой статистики проверки нулевой гипотезы можно взять случайную величину:

где s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. Случайная величина T имеет распределение Стьюдента с k n 1 степенями свободы. Напомним, что критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Пусть альтернативная гипотеза имеет вид H1 a a0 . Тогда критическая область будет двусторонней и, в силу симметричности распределения Стьюдента, критическую область можно считать симметричной относительно нуля:

T tкр , кроме того, наибольшая мощность критерия достигается, когда левая t1

деления Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

Если Tнабл tкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если tкр – нулевую гипотезу отклоняют.

Пример 14.2. Статистическому анализу были подвергнуты одиннадцать экземпляров ручной гранаты. Требуется проверить утверждение, что среднее время срабатывания взрывателя равно 4,01 с. При проверке получена следую-

щая выборка: 4,21; 4,03; 3,99; 4,05; 3,89; 3,98; 4,01; 3,92; 4,23; 3,85; 4,20.

Решение. Очевидно, что граната будет непригодна, если среднее время срабатывания взрывателя слишком мало или, наоборот, слишком велико (противник может бросить гранату обратно). Генеральная совокупность имеет нор-