Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3110

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

3.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Найдем по выборочным данным:

1) общую выборочную среднюю

			1
	x		1

			kn
			kn

k n

xij

i 1 j 1

2) групповую выборочную среднюю

	1	n
xiгр	1	xij i 1 k

	n
	n	j 1

3) общую сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей выборочной средней

	k	n
S	общ	(x	x)2
	общ	ij
	i 1	j 1

4) факторную сумму квадратов отклонений групповых средних от общей средней, которая характеризует рассеяние между выборками (группами),

Sфакт n (xiгр x)2

5)остаточную сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений выборки (группы) от своей групповой выборочной средней, которая характеризует рассеяние внутри выборки (группы),

k	n
Sост	(xij		iгр)2
		x
i 1	j 1

Замечание 17.1. Формулы 1-5,перечисленные выше, мы уже выписывали в п. 14.5 для проверки гипотезы о равенстве нескольких математических ожиданий случайных величин.

Выпишем общую, факторную и остаточную выборочные дисперсии, разделив полученные суммы квадратов на соответствующее число степеней свободы:

S	2	Sобщ	S	2	Sфакт	S	2	Sост
	общ	nk 1		факт	k 1		ост	k(n 1)

Для проверки влияния фактора F на изменение выборочных средних на

111

каждом уровне можно использовать критерий Фишера-Снедекора. Влияние фактора признается значимым, если

S 2

факт F Sост2 кр

где Fкр F k 1 k (n 1) находится по табл. П. 6 распределения Фишера-Снедекора

при уровне значимости .

Замечание 17.2. Если в результате испытаний получены выборки различных объемов, то дисперсионный анализ также можно применять, используя мо-

дифицированные формулы для отыскания Sобщ2 Sфакт2 Sост2 (см. [7, с.208]).

Замечание 17.3. Дисперсионный анализ нами уже применялся для проверки гипотезы о равенстве нескольких математических ожиданий случайных величин, распределенных по нормальному закону. Можно утверждать, что однофакторный дисперсионный анализ и сравнение нескольких математических ожиданий являются различными приемами решения одной и той же задачи.

Пример 17.1. Группа социологов исследовала влияние уровня образования на заработную плату жителей Воронежской области. Результаты приведены в табл. 17.2:

			Таблица 17.2

	Заработная плата (тыс.руб)
общее образование		среднее профессио-	высшее профессио-
		нальное образование	нальное образование
13,5		15,5	17,6
15,6		16	19,6
16,5		14,9	20,4
-		17,1	18
-		14	-

Предполагается, что заработная плата жителей подчиняется нормальному закону распределения, возможно разному для жителей, имеющих разный уровень образования, но одинаковый для имеющих один уровень образования:

X	i	N (a	) , i 1 2 3, причем	2	2	2	. Требуется проверить методом дис-
	i	i i		1	2	3

персионного анализа гипотезу: средняя заработная плата не зависит от уровня

образования. Уровень значимость				0,05 .
Вычислим по выборочным данным из табл. 17.2 величины из пунктов 1-5.
1) общую выборочную среднюю:
		13 5	15 6	18	198 7
	x	13 5	15 6	18	198 7	16 558

			12		12
			12		12
				112

2) групповую выборочную среднюю:

													13 5				15 6				16 5	15 2
													13 5				15 6				16 5
												x1гр
												x1гр					3
																	3
													15 5		16		14 9				17 1	14			15 5
						x2гр							15 5		16		14 9				17 1	14

																	5
																	5
													17 6			19 6				20 4		18	18 9
										x3гр			17 6			19 6				20 4		18

																	4
																	4
3) общую сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей
выборочной средней :
S	общ	(13 5	16 558)2										(15 6				16 558)2								(18 9		16 558)2					48 46
	общ
4) факторную сумму квадратов отклонений групповых средних от общей
средней:

		Sфакт			(				1гр					x)2 n1		(			2гр		x)2 n2		(			3гр		x)2 n3
		Sфакт			(		x		1гр					x)2 n1		(		x	2гр		x)2 n2		(		x	3гр		x)2 n3
		(15 2	16 558)2								3		(15 5			16 558)2					5	(18 9			16 558)2				4		33 06
5) остаточную сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений вы-
борки (группы) от своей групповой выборочной средней:
				Sост							Sобщ				Sфакт		48 46					33 06 15 4
Результаты внесем в табл. 17.3 дисперсионного анализа
																																Таблица 17.3

Источник изменчи-					Суммы квадратов															Число степеней сво-											Дисперсия
вости								отклонений														боды

Между группами								Sфакт					33,06										2							S	2		33,06	16,53
																														S	факт	2		16,53
																															факт


Внутри группы											Sост		15,4										9								2	15,4
																															Sост			1,71
																															Sост	9		1,71
																																9

Полная изменчи-									Sобщ				48,46									11
вость

Тогда наблюдаемое значение статистики																								Fнабл			16 53				9 66 . Найдем зна-

																											1 71
																											1 71
чение критической точки, приняв уровень значимости																													0 05 , Fкр F0 05 2 9 4 26
. Так как Fнабл Fкр ,					то выборочные средние каждой группы отличаются значи-

мо, а значит, заработная плата зависит от уровня образования.

Следует отметить, что все вычисления можно проводить с помощью стандартных функций, встроенных в MS Excel.

Введем значения таблицы в ячейки А1-A3, B1-B5, C1-C4 электронной

113

таблицы Excel соответственно. Выбираем вкладку Сервис - Анализ данных - Однофакторный дисперсионный анализ. В поле Входн. интервал даем ссылку на ячейки А1-A3, B1-B5, C1-C4, выделив их левой кнопкой мыши. Группирование ведем по столбцам, так как данные вносились также по столбцам, задаем уровень значимости 0 5 . В поле Выходн. интервал указываем любую свободную ячейку, например A7. В результате получаем табл. 17.4 значений «Однофакторный дисперсионный анализ».

				Таблица 17.4

Группы	Счет	Сумма	Среднее	Дисперсия

Столбец 1	3	45,6	15,2	2,37

Столбец 2	5	77,5	15,5	1,355

Столбец 3	4	75,6	18,9	1,746

	«Дисперсионный анализ»					Таблица 17.5

Источник вариа-	SS	df	MS	F	P -		F критиче-
ции					значение		ское

Между группами	33,06	2	16,53	9,66	0,0057		4,256

Внутри группы	15,4	9	1,71

Итого	48,46	11

Задание 17.1. Проанализируйте полученные данные самостоятельно, сравнив с вычислениями, проведенными ранее.

17.3. Двухфакторный дисперсионный анализ

Рассмотрим случай, когда изучается влияние одновременно двух факто-

ров A и B на уровнях A1 A2	Ak и B1 B2	Bn соответственно, причем в ка-
ждой ячейке (i j) производится	m наблюдений. Результаты наблюдений пред-
ставлены в виде табл. 17.6.

114

			Таблица 17.6

Номер на-	A1	Ai		Ak
блюдения
B1	x111,	xi11,		xk11,
	x112,	xi12 ,		xk12 ,

	x11m	xi1m		xk1m

B j	x1 j1,	xij1,		xkj1,
	x1 j 2 ,	xij 2 ,		xkj 2 ,

	x1 jm	xijm		xkjm

Bn	x1n1,	xin1,		xkn1,
	x1n2 ,	xin 2 ,		xkn 2 ,

	x1nm	xinm		xknm

Найдем по выборочным данным:

1) общую выборочную среднюю:

			1
	x		1

			knm
			knm

k n m

xij

i 1 j 1

2) групповую выборочную среднюю по столбцам:

1 xiгр nm

n m

xij i 1 k

j 1

3) групповую выборочную среднюю по строкам:

	1	m	m
			xij j 1 n
x jгр

	km i 1
	km i 1		1

4) общую сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей выборочной средней:

	k	n	m
S	общ		(x	x)2
	общ		ij
	i 1	j 1	1

5) факторную сумму квадратов отклонений групповых средних по столб-

115

цам от общей средней, которая характеризует рассеяние между столбцами (группами, обусловленными фактором A ):


	k
SфактA	mn (		iгр x)2
SфактA	mn (	x	iгр x)2

6)факторную сумму квадратов отклонений по строкам от общей средней, которая характеризует рассеяние между строками (группами, обусловленными фактором B ):


	n
SфактB	mk (		jгр x)2
SфактB	mk (	x	jгр x)2

7)факторную сумму квадратов отклонений, которая характеризует рас-

сеяние, вызванное взаимодействием факторов A и B :


	k	k
SфактAB	m	(		ij		iгр		jгр x)2
SфактAB	m	(	x	ij	x	iгр	x	jгр x)2
	i 1	j 1

8) остаточную сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений выборки от выборочной средней ячейки:

Sост

(xij

ij)2

j 1

1 m

1 xij

где xij

– выборочная средняя ячейки (i j) .

Справедлива формула

общ

S A

S B

S AB

ост

факт

которая

позволяет находить

SфактAB ,

упрощая

вычисления, а именно

S AB

общ

S A

S B

ост

факт

S 2

общ

S 2

SфактA

S 2

SфактB

общ

nkm 1

Aфакт

k 1

Bфакт

n 1

SфактAB

Sост

ABфакт

1)(n 1)

ост

nk(m 1)

116

Для проверки влияния фактора A (или B ) на изменение выборочных средних на каждом уровне можно использовать критерий Фишера-Снедекора. Влияние фактора признается значимым, если

S 2

Aфакт F A

Sост2 кр

		S 2
		Bфакт	F B
			F B
		S 2	кр
		S 2
		ост
где FкрA	F k 1 nk (m 1) ( FкрB F n 1 nk (m 1) ) находится по табл. П. 6 распределе-

ния Фишера-Снедекора при уровне значимости .

Аналогично, для проверки влияния факторов A и B одновременно можно использовать критерий Фишера-Снедекора. Влияние факторов признается значимым, если

		S 2
		ABфакт	F AB
			F AB
		S 2	кр
		S 2
		ост
где FкрAB	F (k 1)(n 1) nk (m 1) находится по табл. 17.6 распределения Фишера-

Снедекора при уровне значимости .

По полученным данным заполняется таблица дисперсионного анализа. Отметим, что при добавлении новых факторов принципиальная схема дис-

персионного анализа не меняется, но значительно усложняются формулы 1-8. Пример 17.2. Требуется выяснить, какой способ рекламы строительной

фирмы приносит больший объем заказов. Для этого выбраны два типа размещения рекламы – в Интернете и на телевидении; также использованы два вида рекламных сообщений – видеоролик и информационное сообщение. Клиентов фирмы попросили оценить по десятибалльной шкале, какой вид рекламы им показался наиболее эффективным. Результаты представлены в табл. 17.7.

		Таблица 17.7

	Интернет	Телевидение
Видеоролик	6,5; 5,8	7,6; 8,4
Сообщение	9,5; 9,8	5,9; 4,8

Вычислим по выборочным данным величины из пунктов 1-8. 1) общую выборочную среднюю:

117

	6 5	5 8	7 6	8 4	9 5	9 8	5 9	4 8	58 3
x	6 5	5 8	7 6	8 4	9 5	9 8	5 9	4 8	58 3	7 2875

					8				8
					8				8

2) групповую выборочную среднюю по столбцам:

			6 5	5 8	9 5	9 8	7 9

		x1гр
					4

	7 6			8 4	5 9	4 8	6 675

x2гр
				4

3) групповую выборочную среднюю по строкам:

	6 5			7 6	5 8	8 4	7 075
	6 5			7 6	5 8	8 4
x1гр
x1гр				4
				4
			9 5	5 9	9 8	4 8	7 5
			9 5	5 9	9 8	4 8
		x2гр
		x2гр			4
					4

4) общую сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей выборочной средней:

S	общ	(6 5	7 2875)2	(5 8	7 2875)2	(4 8	7 2875)2	23 48875
	общ

5) факторную сумму квадратов отклонений групповых средних по столбцам от общей средней, которая характеризует рассеяние между столбцами (группами, обусловленными фактором A ):

S A	4[(7 9 7 2875)2 (6 675 7 2875)2 ] 3 00125
факт

6) факторную сумму квадратов отклонений групповых средних по столбцам от общей средней, которая характеризует рассеяние между строками (группами, обусловленными фактором B ):

S B	4[(7 075 7 2875)2 (7 5 7 2875)2 ] 0 36125
факт

7) остаточную сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений выборки от выборочной средней ячейки:

S	ост	(6 5	6 15)2	(5 8	6 15)2	(9 5	9 65)2	(9 8	9 65)2	(7 6	8)2
	ост
			(8 4	8)2	(4 8	5 35)2	(5 9	5 35)2	1 215

118

8) факторную сумму квадратов отклонений, которая характеризует рассеяние, вызванное взаимодействием факторов A и B :

S AB	23 48875 0 36125			3 00125 1 215 18 91125
факт
Заполним таблицу дисперсионного анализа:
										Таблица 17.8.

Источник измен-	Суммы квадратов			Число степеней					Дисперсия
чивости	отклонений				свободы

Влияние фактора	A	3,00125			1	2			3,00125
	Sфакт	3,00125				2			3,00125
A						Sфакт	1					3,00125
A							1

Влияние фактора	B				1				0,36125
	Sфакт	0,36125				Sфакт2			0,36125			0,36125
B	Sфакт	0,36125				Sфакт2	1					0,36125
B


Влияние факторов	AB	18,91125			1	2	18,91125
	Sфакт	18,91125				2	18,91125
A и B						Sфакт		1				18,91125
A и B


Внутри группы	Sост	1,215			4	2	1,215
						2	1,215
						Sост				4	0,30375
						Sост					0,30375


Полная изменчи-	Sобщ	23,48875			7
вость

Найдем значение критической точки, приняв уровень значимости												0 05
для всех трех случаев:
		F A	F		7 71
		кр	0 05 1 4
		F B	F		7 71
		кр	0 05 1 4
		F AB	F		7 71
		кр	0 05 1 4

Вычислим наблюдаемое значение статистики также во всех трех случаем и сравним со значением критической точки:

F A	3 00125	9 88	F A


набл	0 30375		кр
	0 30375
F B	0 36125	1 189	F B


набл	0 30375		кр
	0 30375

119

F AB	18 91125	62 259	F AB


набл	0 30375		кр

Итак, влияние фактора A и факторов A и			B можно считать значимым, а

влияние фактора B не является значимым. Таким образом, сочетание вида рекламы и места ее размещения оказывает существенное влияние на эффективность рекламы, важным также является место размещения рекламы, а вот в каком виде представлено рекламная информация не имеет значения.

Следует отметить, что все вычисления можно проводить с помощью стандартных функций, встроенных в MS Excel (Самостоятельно разобрать приведенный пример, проведя вычисления MS Excel).

ПРОВЕРОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вариант проверочного задания по теории вероятностей

1.В урне 4 черных, 6 белых и 5 красных шаров, Наудачу извлечены 7 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажутся 2 черных, 3 белых и 2 красных шара.

2.Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует его вниманий, равна 0,2; второй – 0,25, третий – 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены внимания рабочего потребуют ка- кие-либо два станка; все три станка.

3.Три станка подают детали в общий бункер. Вероятность выпуска бракованной продукции для первого, станка 0,03, для второго – 0,02 и для третьего – 0,01. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а производительность третьего в два раза больше, чем у второго. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь из бункера окажется годной?

4.Вероятность надежной работы конструкции при приложении расчетной нагрузки равна 0,96. Найти вероятность того, что из 10 конструкций, испытанных независимо друг от друга, больше двух выйдут из строя.

5.Вероятность выхода из строя каждого из 900 независимо работающих элементов некоторого узла в течение заданного времени равна 0,1. Найти вероятность того, что по истечений заданного времени будут работать 800 элементов; будут работать от 800 до 850 элементов.

6.Завод отправил на базу 2000 изделий; Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,0015. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено:

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.99 Mб93048.pdf
#
15.11.20222.99 Mб43050.pdf
#
15.11.20223 Mб03053.pdf
#
15.11.20223 Mб33054.pdf
#
15.11.20223.01 Mб33109.pdf
#
15.11.20223.01 Mб23110.pdf
#
15.11.20223.04 Mб13115.pdf
#
15.11.20223.04 Mб03118.pdf
#
15.11.20223.05 Mб03119.pdf
#
15.11.20223.05 Mб03123.pdf
#
15.11.20223.06 Mб93125.pdf