3110

Заполним таблицу дисперсионного анализа. Для этого вычислим:

1) общую выборочную среднюю

2) групповые выборочные средние

3) общую сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей выборочной средней

4) факторную сумму квадратов отклонений групповых средних от общей средней, которая характеризует рассеяние между выборками (группами) :

Sфакт 5 (8 722 11 32 9 622 ) 15 (9 88)2 17 148

5) остаточную сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений выборки (группы) от своей групповой выборочной средней, которая характеризует рассеяние внутри выборки (группы) :

Sост Sобщ Sфакт 28 584 17 148 11 436

Результаты запишем в табл. 14.3 дисперсионного анализа.

Таблица 14.3

борочные средние каждой группы отличаются значимо.

15. Статистическая проверка непараметрических гипотез. Критерий согласия 2 Пирсона

В предыдущих разделах мы занимались проверкой гипотез относительно параметров распределений, вид которых предполагался известным (в основном нормальным).

Если закон распределения неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет определенный вид, опираясь, например, на вид гистограммы или полигона частот, то такие предположения называют непараметрическими ги-

потезами.

Проверка гипотезы о предполагаемом законе распределения производится так же, как проверка гипотез о параметрах распределения, то есть при помощи специально подобранной случайной величины – критерия.

Непараметрические критерии можно подразделить на две группы. К первой группе относятся критерии согласия, с помощью которых проверяются нулевые гипотезы относительно общего вида функции распределения. Наиболее распространенными критериями согласия являются критерий согласия 2 Пир-

сона и критерий Колмогорова-Смирнова. Ко второй группе относятся крите-

рии, с помощью которых проверяется нулевая гипотеза о принадлежности двух выборок одной и той же генеральной совокупности (две генеральные совокупности имеют одну и ту же функцию распределения). К ним относятся критерий знаков, критерий Вилкоксона, критерий Манна-Уитни (подробнее см. [6,7]).

Критерий 2 Пирсона позволяет проверить, описываются ли экспериментальные данные нормальным (или любым другим) распределением. Для этого сравнивают эмпирические (наблюдаемые) и теоретические (вычисленные в

92

предположении, например, нормального распределения) частоты. Очевидно, что эмпирические и теоретические частоты различаются. Возникает вопрос: случайно это расхождение или обусловлено тем, что теоретические частоты вычислены исходя из неверной гипотезы о законе распределения генеральной совокупности? Критерий 2 Пирсона отвечает на этот вопрос. Отметим еще раз, что он не доказывает справедливость гипотезы, а только устанавливает на принятом уровне значимости ее согласие или несогласие с данными наблюдений.

Требуется на основе имеющейся информации проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости . Предположим, что теоретические частоты ni ' уже вычислены в предположении нормального распределения генеральной совокупности (более подробно о вычислении теоретических частот см. [9, с. 333]).

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы возьмем случайную величину:

Очевидно, что чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем величина критерия меньше, а, значит, он характеризует близость эмпирического и теоретического распределений. Можно показать, что если нулевая гипотеза верна, то при n закон распределения случайной величины 2 независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная

метров предполагаемого распределения, значения которых приняты равными их оценкам, полученным на основе той же выборки и той же системы интервалов. Например, если предполагаемое распределение – нормальное, имеющее

Критерий 2 сконструирован таким образом, что чем ближе к нулю наблюдаемое значение критерия, тем вероятнее, что нулевая гипотеза справедлива. Поэтому для проверки нулевой гипотезы применяется критерий 2 с правосторонней критической областью. Следовательно, для того чтобы проверить

ется.

Замечание 15.1. Объем выборки должен быть достаточно велик (не менее 50). Каждая группа должна содержать не менее 5-8 вариант, малочисленные группы следует объединять.

Замечание 15.2. Критерий 2 также применяется к задаче проверки независимости случайных величин (см. [8, с. 175], [6, с. 152]).

Пример 15.1. Результаты исследования прочности на сжатие 200 образцов бетона представлены в виде интервального распределения частот (табл.

15.2).

Требуется проверить гипотезу о нормальном распределении прочности на

Как следует из предыдущего раздела, необходимо воспользоваться критерием 2 Пирсона, который заключается в сравнении эмпирических и теоретических частот. Эмпирические частоты нам известны из опыта, а теоретические требуется найти.

Для этого, во-первых, найдем числовые характеристики выборки, перейдя

Затем вычислим выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение:

Вычисления, необходимые для отыскания теоретических частот, приведем в табл. 15.4.

Таблица 15.4

величинами X и Y называется зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой.

Функциональную зависимость можно рассматривать как частный случай статистической зависимости: каждому значению x случайной величины X соответствует одно значение y случайной величины Y . Если случайные величины X и Y связаны функционально, то по значениям x можно точно предсказать значения y . Например, зависимость между давлением и объемом газа данной массы при неизменной температуре является функциональной, так как давление и объем газа изменяются по закону Бойля-Мариотта.

В практических приложениях при исследовании зависимости между СВ X и Y часто изучают зависимость между СВ X и условным математическим ожиданием M (Y X x) СВ Y . Статистические зависимости такого рода называют корреляционными (регрессионными). Такая зависимость отражает тенденцию возрастания или убывания значений одной случайной величины при возрастании другой. Например, пусть СВ X – рост отцов, СВ Y – рост детей. У отцов одинакового роста, очевидно, дети будут иметь различный рост. Но средний рост детей является функцией от роста отцов. Кроме того, прослежи-

бразить в виде точек в декартовой системе координат, то получим множество точек, которое называют корреляционным полем.

Требуется на основе данных выборки аппроксимировать функцию регрессии (x) функцией yX h(x, a,b,..., d ) из некоторого класса (обычно класса многочленов небольшой степени) зависящего от некоторого набора параметров a,b,..., d (например, коэффициентов многочленов), и которую будем назы-

97

вать выборочной функцией регрессии:

yX h(x, a,b,..., d )

где y x – условное выборочное среднее. Это есть оценка условного математического ожидания. Здесь (a,b,..., d ) – параметры выборочной функции регрессии, которые подбирают так, чтобы сумма квадратов отклонений

была минимальной. Здесь (xk , yk ), k 1, 2,..., n, ― значения, полученные в выборке.

График выборочной функции регрессии называют выборочной линией регрессии.

Вид функции подбирают по характеру расположения точек (xi yi ) на корреляционном поле так, чтобы она отображала характерные, типичные особенности расположения этих точек.

Таким образом, параметры (a,b,..., d ) выборочной функции регрессии h(x, a,b,..., d ) находят из условия

16.2. Линейная регрессия. Выборочный коэффициент корреляции

Рассмотрим методы построения выборочного уравнения прямой линии регрессии. В частности можно показать (см. теорему 8.4 из первой части этого пособия), что если двумерная случайная величина (X Y ) распределена по нор-

выборочного уравнения прямой линии регрессии Y на X находят как решения системы двух линейных уравнений, называемых нормальными уравнениями:

В п. 7.3 было показано, что основными характеристиками, показывающими степень связи, в том числе и тесноту линейной корреляционной зависимости, между СВ X и Y , являются:

корреляционный момент (ковариация)

(X Y ) M[(X M (X ))(Y M (Y ))]

и коэффициент корреляции

Точечными оценками корреляционного момента и коэффициента корреляции являются соответственно

выборочный корреляционный момент

B ( X Y )

B X Y

B B

выборочные средние квадратические отклонения.

Задание 16.1. Доказать самостоятельно применимость также следующей формулы:

Тогда выборочный коэффициент корреляции находится по формуле

99

Выборочный коэффициент корреляции B является оценкой коэффициента корреляции ( X Y ) . Поэтому он, также как и сам коэффициент корреляции, служит для измерения тесноты линейной корреляционной связи между случайными величинами X и Y (см. доказательство в разделе 7.3). Чем ближе выборочный коэффициент корреляции по модулю к единице, тем теснее линей-

ная связь. Чем ближе B к нулю, тем такая связь слабее.

Предположим, что найденный выборочный коэффициент корреляции отличен от нуля. Так как выборка отобрана случайно, то это не означает, что коэффициент корреляции генеральной совокупности также отличен от нуля. Хотя случайные величины могут быть независимыми и, стало быть, их коэффициент

корреляции (X Y ) 0 , значение выборочного коэффициента корреляции B может достигать значительной величины.

Поэтому необходимо проверять гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции, т.е. проверять, какую величину выборочного коэффициента корреляции следует считать достаточной для статистически обоснованного вывода о наличии корреляционной связи между СВ X и Y .

Проверку значимости выборочного коэффициента корреляции можно осуществить следующими способами:

1)проверить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности. Если гипотеза будет отвергнута, то выборочный коэффициент корреляции значим, а случайные величины X и Y коррелированы; если гипотеза принимается, то выборочный коэффициент корреляции незначим, а случайные величины X и Y не коррелированы;

2)проверить гипотезу о силе корреляционной зависимости между СВ X

иY , т.е. проверить гипотезу о том, что коэффициент корреляции генеральной

совокупности равен некоторому фиксированному числу ( X Y ) 0 (см. подробнее [8] ).

Пусть выборочный коэффициент корреляции оказался по модулю близок к единице и результаты эксперимента – точки корреляционного поля группируются вокруг прямой линии, тогда можно считать, что выборочные функции регрессии имеют линейный вид. Выразим коэффициенты выборочных уравнений прямых линий регрессии Y на X и X на Y через выборочный коэффициент корреляции. Тогда эти уравнения примут вид:

100