2937

Получив значения угловых скоростей и ускорений, можно определить скорость и ускорение любой точки звеньев механизма. В тех случаях, когда 1/3, пользуются приближенными формулами при определении перемещения, скорости и ускорения ползуна. При этом перемещение ползуна Sc измеряем от мертвого положения Со (рис. 2.2):

Sc = 1 + 2 - Xc , или с учетом (2.5) получим:

21

Глава 3. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ

СВЫСШИМИ ПАРАМИ

3.1.Соотношение скоростей в высшей кинематической паре

Вращающееся ведомое звено

в)

Рис. 3.1. К теореме о соотношении скоростей в высшей кинематической паре

22

Предположим, что движение от ведущего звена 1 к ведомому 2, вращающихся вокруг параллельных осей О1 и О2, передается при помощи высшей кинематической пары (рис. 3.1). Рабочими профилями звеньев являются кривые ab и cd.

Если сообщить всей системе вращение с угловой скоростью (- 2), то первое звено будет совершать два вращательных движения: с угловой скоростью 1 вокруг оси О1 и с угловой скоростью (- 2) вокруг оси О2, а второе будет неподвижным. На основании теоремы о сложении угловых скоростей оба эти движения можно заменить одним - вокруг мгновенной оси вращения - с относительной угловой скоростью = 1+ (- 2).

Как известно, при этом положение мгновенного центра вращения (МВЦ) - точки Р, через который проходит мгновенная ось вращения (перпендикулярно к плоскости рисунка), в относительном движении определяется отношением:

При внешнем касании положение МВЦ (точки Р) находится между центрами О1 и О2 (рис. 3.1, а), отрезки РО1 и РО2 имеют разное направление, и звенья 1 и 2 вращаются в разные стороны; если же точка Р находится по одну сторону от центров О1 и О2 (внутреннее касание), то отрезки РО1 и РО2 имеют одинаковое направление (рис. 3.1, б) и звенья 1 и 2 вращаются в одну сторону.

относительная скорость к всегда направлена по общей касательной к профилям cd и ab в точке К, то отрезок РК является нормалью к соприкасающимся профилям в точке К. На основании указанного можно так сформулировать теорему о соотношении скоростей в высшей паре: нормаль в точке контакта профилей двух звеньев, совершающих вращательное движение, делит межосевое расстояние на отрезки, длины которых обратно пропорциональны угловым скоростям этих звеньев.

Поступательно движущееся звено.

Когда ведомое звено, образующее с ведущим высшую кинематическую пару, совершает поступательное движение с линейной скоростью 2 (рис. 3.1, в), положение МЦВ в относительном получают аналогичным путем. При этом нормаль к соприкасающимся профилям в точке их контакта отсекает на перпендикуляре, опущенном из центра вращения ведущего

звена на направление движения ведомого звена, отрезок О1Р = 2 .

1

Геометрические места положений МВЦ на ведущих и ведомых звеньях представляют собой центроиды в относительном движении. Форма центроид зависит от соотношения скоростей этих звеньев.

23

Аксоидные поверхности

Рис. 3.2. К определению аксоидных поверхностей

Геометрическое место мгновенных осей вращения образует в относительном движении аксоиды. При передаче вращения между звеньями, оси которых параллельны, аксоиды представляют собой цилиндры (рис. 3.2, а - при внешнем касании, рис. 3.2, б - при внутреннем касании).

При передаче вращения между звеньями, оси вращения которых пересекаются, аксоидами относительного движения являются конусы с общей вершиной в точке О пересечения осей (рис. 3.2, в), а линия ОР будет мгновенной осью вращения.

В случае передачи вращения между двумя звеньями, оси которых перекрещиваются в пространстве (рис. 3.2, г), аксоиды представляют собой два гиперболоида вращения. Мгновенная ось вращения в этом случае проходит через точку Р, делящую кратчайшее расстояние О1О2 между осями в отношении:

24

где 1 и 2 - углы, образованные осями звеньев с осью мгновенного вращения и скольжения, которая должна быть параллельной вектору относительной скорости 1 2 . Передача

движения от ведущего звена к ведомому при наличии высшей кинематической пары может происходить двояко:

1)за счет перекатывания без скольжения друг по другу звеньев, выполненных по форме аксоидов. В этом случае движение передается за счет сил трения, возникающих в зоне контакта этих звеньев при надавливании их друг на друга (фрикционные механизмы).

2)за счет давления звеньев (одного на другое), очерченных по определенным профилям (кулачковые и зубчатые механизмы). В этом случае между профилями, передающими движение, происходит не только перекатывание, но и относительное скольжение.

Передаточное отношение.

Для двух звеньев 1 и 2, вращающихся с угловыми скоростями 1 и 2 под передаточным отношением понимают отношение их угловых скоростей:

Если движение осуществляется между параллельными осями, то передаточное отношение имеет знак "плюс", если угловые скорости звеньев имеют одно направление и знак "минус", если направления противоположны.

Независимо от принципа осуществления передачи вращения (трениям или давлением) на основании формулы (3.1) при внешнем контакте (рис. 3.2, а) :

при внутреннем контакте (рис. 3.2, б) :

Механизмы можно разделить на две группы: с постоянным передаточным отношением и переменным. К первой относятся зубчатые и фрикционные механизмы, аксоидами которых являются цилиндры, конусы, гиперболоиды вращения, ко второй - кулачковые механизмы и механизмы с некруглыми зубчатыми колесами.

3.2. Механизмы с постоянным передаточным отношением

Простые механизмы. В механизме, состоящем из двух вращающихся звеньев (рис. 3.2, а,

(знак "+" для внешнего контакта, знак " - " для внутреннего).

25

26

Если механизм состоит из зубчатых колес, то центроиды и аксоиды при параллельном расположении осей звеньев называются начальными окружностями и начальными цилиндрами.

Основное требование, предъявляемое к зубчатому механизму - постоянство передаточного отношения i12 в любой момент, несмотря на изменение положения точки соприкосновения контактирующих зубьев. Условие, обеспечивающее это требование, носит название основного закона зацепления; оно является следствием теоремы о соотношении скоростей в высшей кинематической паре и может быть сформулировано так: для сохранения постоянства передаточного отношения зубчатого механизма необходимо, чтобы нормаль к зацепляющимся профилям зубьев в точке контакта всегда проходила на линии центров через одну и ту же точку Р, называемую полюсом зацепления. Профили зубьев, удовлетворяющие этому условию, называются сопряженными.

В зубчатых механизмах величину передаточного отношения определяют через отношение чисел зубьев. Если умножить числитель и знаменатель отношения (3.4) на 2 , получат отношение длин начальных окружностей. Величина их может быть заменена произведением чисел зубьев на расстояние между одноименными профилями соседних зубьев (шаг по начальной окружности р), одинаковое для пары зацепляющихся колес:

Для зубчатых механизмов, составленных из конических колес, передаточное отношение определяется также по формуле (3.10).

В зубчатом зацеплении большее из двух колес называют колесом, а меньшее - шестерней. Отношение числа зубьев колеса (Zk) к числу зубьев шестерни (Zш) называют передаточным: U = Zk/Zш.

Рядовые механизмы. При необходимости получения большого передаточного отношения применяются механизмы, состоящие из нескольких пар колес, так называемые серии зубчатых колес. Серии зубчатых колес, у которых все валы колес вращаются в неподвижных подшипниках, называются рядовыми.

Определим передаточное отношение рядового механизма, состоящего из трех пар цилиндрических зубчатых колес (рис. 3.3, а). Колеса 2-3 и 4-5 жестко связаны между собой, т.е. вращаются с одинаковыми угловыми скоростями ( 2 = 3; 4 = 5). Общее передаточное отношение механизма:

i16 1 6

Запишем передаточное отношение для каждой зубчатой пары:

Перемножим правые и левые части этих уравнений:

Следовательно, передаточное отношение рядового зубчатого механизма равно произведению передаточных отношений отдельных зубчатых пар. Знак передаточного отношения рядового механизма при четном количестве внешних зацеплений положительный, при нечетном - отрицательный.

Для рядовых механизмов с коническими колесами знак передаточного отношения определяется по правилу стрелок (рис. 3.3, в): при одинаковом направлении стрелок,

28

определяющих направление вращения колес, знак положительный, при противоположном - отрицательный.

Для передачи вращения между валами, далеко расположенными друг от друга, или для изменения направления вращения валов применяются механизмы, у которых имеются колеса, являющиеся ведомыми (по отношению к предыдущему) и ведущими (по отношению к предыдущему). В технике такие колеса называют паразитными. Передаточное отношение механизма с паразитными колесами (рис. 3.3, б) согласно формуле (3.11) :

то есть равно отношению числа зубьев последнего ведомого колеса к числу зубьев первого ведущего. Значит, применение паразитных колес не влияет на величину передаточного отношения, но при изменении числа их от четного к нечетному меняется знак передаточного отношения.

29

Глава 4. ОСНОВЫ РАСЧЕТОВ НА ПРОЧНОСТЬ

4.1. Введение

Каждое звено механизма состоит из одной или нескольких деталей. Для обеспечения нормальной работоспособности звено, а значит, и детали, его составляющие, должны удовлетворять требованиям прочности, жесткости и устойчивости. Под прочностью понимается способность конструкции, ее частей и деталей выдерживать предельную нагрузку не разрушаясь.

При изучении прочности машин и приборов детали их нельзя рассматривать как абсолютно твердые тела и следует принимать во внимание их способность деформироваться, т.е. изменять форму и размеры под действием нагрузок. Деформации бывают упругие, исчезающие после прекращения действия вызывающих их сил, и пластические, или остаточные, не исчезающие.

Под жесткостью подразумевается способность конструкции и ее элементов противостоять внешним нагрузкам в отношении деформации: при заданных нагрузках деформация не должна превышать предельной величины. Устойчивостью называется способность конструкции и ее деталей сохранять начальную форму равновесия.

Усилия, действующие на детали механизма, делят на внешние нагрузки и внутренние силы упругости. Внешние нагрузки делят на объемные и поверхностные. К объемным относятся силы веса, инерции и электромагнитные силы. Поверхностные нагрузки делятся на распределенные и сосредоточенные. Сосредоточенной называется нагрузка, действующая на площадке весьма малой по сравнению с общими размерами детали и условно считающаяся приложенной в точке. Сосредоточенные нагрузки измеряются в единицах силы (ньютон, Н). Распределенная нагрузка может бать приложена на поверхности или по линии и соответственно измеряется в единицах давления (паскаль, Па) и единицах нагрузки (Н/м). Кроме этого, внешние нагрузки делят на заданные силы и реакции опор.

Внутренние силы упругости представляют собой силы межмолекулярного взаимодействия, возникающего при воздействии на упругое тело внешних нагрузок.

Учесть все многообразие силовых факторов (внешних сил, моментов, распределенных нагрузок), действующих на машину или прибор, а также все особенности самой конструкции при расчете на прочность невозможно. Поэтому при расчетах и проектировании учитываются лишь главные факторы и характерные особенности формы и вместо реальной конструкции рассматривают ее упрощенный прототип, называемый расчетной схемой.

При исследовании деформированного состояния упругих тел принимаются основные гипотезы и принципы:

1.однородность материала – независимость его свойств от величины выделенного из тела объема;

2.изотропность – свойства тела во всех направлениях одинаковы;

3.сплошность – вещество непрерывно заполняет объем детали;

4.принцип независимости действия сил – деформации и усилия, возникающие в упругом теле, считаются независящими от порядка приложения внешних сил;

5.принцип Сен-Венана – особенности приложения внешних сил к упругому телу проявляются на расстояниях, не превышающих размеров поверхности, к которой приложены эти силы;

6.принцип начальных размеров – при составлении уравнений равновесия тело рассматривают как недеформированное.

30