2937

Глава 2. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ С НИЗШИМИ ПАРАМИ

2.1.Определение положений и перемещений звеньев

Графический метод. Положение звеньев и траекторий точек определяется на кинематической схеме механизма.

Схема механизма, на которой зафиксировано определенное положение ведущего звена и в связи с ним положения всех остальных звеньев, называется планом положения механизма. При вычерчивании схемы механизма необходимо выбирать масштабы, соответствующие ГОСТу. Так как в дальнейшем при кинематических расчетах используются величины, производные от длины, то масштаб плана механизма должен иметь размерность (м/мм). Рекомендуемые масштабы: 0,0001; 0,0002; (0,00025); 0,0005; 0,001; 0,002; (0,0025); 0,005; 0,01; 0,02 и т.д.

При вычерчивании плана положений механизма прежде всего нужно нанести положения неподвижных центров вращательных пар и направляющих поступательных пар. Затем, для выбранного положения ведущего звена последовательно определяются положения кинематических пар и звеньев групп, присоединенных к ведущему звену.

Способ засечек. Определение положений перемещающихся кинематических пар осуществляется с помощью засечек. В этом случае строится геометрическое место возможных положений центров вращательных пар (рис. 2.1, а). Из центров крайних кинематических пар (B и D) ближайшей к ведущему звену группы с помощью циркуля проводят дуги радиусами, равными BC и DC, пересечение которых определит положение центра внутренней вращательной пары С. Соединив полученную точку С прямыми линиями с точками В и D, находят положения звеньев BC и CD. Таким же образом определяются положения центров остальных кинематических пар.

Если необходимо проследить движение определенной точки на каком-либо звене, следует отметить эту точку на каждом зафиксированном положении звена. Соединяя плавной кривой отмеченной точки, получают траекторию движения.

Метод графиков. Для представления о характере перемещений ведомого звена (рис. 2.1, а) пользуются графиками. На оси абсцисс графика (рис. 2.1, б) в масштабе t (с/мм) откладывают

время одного цикла (в период установившегося движения - это время, по истечении которого положение, скорость и ускорение звеньев механизма приобретают первоначальные значения). При выбранной длине отрезка на оси абсцисс соответствующего времени одного цикла, и скорости ведущего звена , масштаб

а)

13

Втех случаях, когда необходимо получить высокую точность, применяют аналитические методы. Решения задачи аналитическим методом в общем случае сложны, т.к. зачастую приводят к громоздким вычислениям. Наиболее удобный способ для аналитического метода - это составление условия замкнутости всех закрытых контуров механизма, рассматриваемых как векторные многоугольники.

Исходными данными для реализации этого метода служат кинематическая схема, представленная в прямоугольной системе координат, линейные размеры всех звеньев и аналитическая зависимость изменения обобщенной координаты, определяющей положение ведущего звена.

Вкачестве примера рассмотрим кривошипно-ползунный механизм. Кинематическая схема механизма (рис. 2.2) представляет собой замкнутый векторный треугольник, уравнение замкнутости которого:

Это условие можно также представить уравнениями проекций векторов на оси системы координат xAy (начало системы координат находится на оси вращения А) в виде:

где 1, 2 - углы, образованные звеньями 1 и 2 с осью Ах (рис. 2.2); 1, 2 - длины звеньев 1 и 2;1 = хс - отстояние звена 3.

Вэтих уравнениях знаки при слагаемых определяются знаками тригонометрических функций.

Вуравнениях (2.3) 1 и 2 и угол поворота ведущего звена 1 известны, подлежат

определению величины 2 и хс.

Используя геометрические соотношения замкнутой цепи АВС и записав значение:

2.2.Определение скоростей и ускорений звеньев

Скорости и ускорения ведомых звеньев механизма могут быть определены методами планов, кинематических диаграмм и аналитическими. Во всех случаях в качестве исходных данных должны быть известны: схема механизма при определенном положении ведущего звена, его скорость и ускорение.

15

Метод планов. Построение планов скоростей и ускорений проводится на основе последовательного составления векторных уравнений для всех групп, входящих в механизм, начиная с ведущего звена.

Для определения полной картины скоростей любого звена, входящего в группу, достаточно знать линейные скорости двух точек этого звена или линейную скорость одной точки и угловую скорость звена. Так как скорости конечных элементов звеньев групп известны, то необходимо выбрать общую для двух звеньев точку и записать два уравнения для определения скорости этой точки.

Для групп первого, второго и четвертого видов (рис. 2.3, а, б, г) это постоянная точка - центр средней вращательной пары группы, для других - мгновенная точка на одном звене, совпадающая в данный момент с центром конечной вращательной пары другого звена.

При составлении векторных уравнений следует четко установить точки, скорости которых используются как скорости в переносном движении. Если звенья группы образуют поступательные кинематические, то необходимо использовать точки, принадлежащие направляющим звеньям. В качестве примера рассмотрим построение планов скоростей и ускорений группы второго класса второго вида.

а)

16

Точку С4 расположим на плоскости, жестко связанной со звеном 4. Зная закон движения этого звена, можно найти мгновенный цент? вращения (МЦВ) и при известном расстоянии его от точки С4 и угловой скорости 4 определить величину и направление скорости этой точки.

м / с

Систему уравнений (2.6) и (2.7) решим графически в выбранном масштабе v ( мм ) на

плане скоростей (рис. 2.3, б). Откладываем от полюса рv параллельно вектору скорости точки В отрезок pv в (мм) и через конец этого отрезка проводим прямую, являющуюся линией действия вектора VCB. Эта прямая перпендикулярна к линии ВС.

Далее из полюса pv плана скоростей параллельно вектору VC4 (рис. 2.3, а) откладываем

отрезок pvc4 = VC4 (мм). Через конец этого отрезка (точку С4) проводим прямую, параллельную

v

направляющей поступательной пары D, являющейся линией действия вектора относительной

определяются точкой пересечения линий действия относительных скоростей. Точку пересечения этих линий обозначим С, абсолютная скорость точки С определится из условия

а направление ее определяется мысленным переносом вектора относительной скорости VСВ - отрезка bc плана скоростей в точку С на плане положения группы.

Пользуясь планом скоростей, можно найти скорость любой точки на звене. Скорость точки S на втором звене определяется из условия представления сложного движения звена 2 как поступательного со скоростью VB и вращательного вокруг точки В, а также как поступательного со скоростью Vc и вращательного вокруг точки С:

построения определяется одинаковым порядком букв при обходе контура звена и контура относительных скоростей на плане скоростей в одном и том же направлении.

План ускорений. Исходными данными для построения плана ускорений являются план положения группы, план скоростей (рис. 2.3, а, б) и ускорения звеньев, примыкающих к данной группе. При построении плана ускорений полностью применимы рассуждения, использованные при решении задачи об отыскании скоростей звеньев. Ускорение точки В2 известно, т.к. она

со звеном 4 поступательную пару, т.е. e3=e4.

Для нахождения ускорения любой точки звеньев 2 и 3 дополнительно надо знать ускорение хотя бы одной точки на каждом из этих звеньев. В качестве такой точки следует использовать центр шарнира С, являющийся общей точкой для звеньев 2 и 3. Рассматривая

18

вращательное движение звена 2 вокруг точки В и поступательное - звена 3 относительно звена 4, записываем следующие векторные уравнения:

a

точки С в относительном движении направлено от точки С вдоль звена 2 к точке В; величину его, исходя из построенного плана скоростей (рис. 2.3, б), определим по формуле:

a

Из точки n перпендикулярно к отрезку bn проводим линию действия тангенциального ускорения аCB. Далее из полюса ра проводим линию параллельно известному направлению ускорения аС4 (рис. 2.3, а) и откладываем отрезок:

a

отрезка определяется путем поворота вектора относительной скорости С4С на 90° в сторону вращения среды поворота - звена 4. Из точки К проводим линию действия ускорения aCC4 n , параллельную направляющей поступательной пары, т.е. перпендикулярно к вектору ускорений

19

положения о подобии фигур звена и плана относительных ускорений строим на отрезке bc плана ускорений треугольник csb, подобный треугольнику CSB на звене 2, соблюдая при этом одинаковую последовательность расположения букв при обходе контуров этих треугольников в одном направлении. Соединяя полученную в результате построения точку S с полюсом ра, получаем отрезок pas, определяющий в масштабе ускорение точки S:as = (pas) а

Аналитический метод. Этот метод позволяет определять скорости и ускорения с более высокой точностью. Обычно применяют метод последовательного дифференцирования функции перемещения точки, скорость и ускорение которой необходимо определить. Функцию перемещения S=S(t) или S=S( ) можно получить из геометрических соображений, как, например, это сделано для кривошипно-ползунного механизма - формула (2.5), а ее скорость и ускорение - путем дифференцирования уравнений (2.3).

Дифференцируя уравнения (2.3) по обобщенной координате 1 (углу поворота ведущего

звена), получают не истинную угловую скорость, а безразмерную величину d i , получившую d 1

название аналога угловой скорости. Связь между аналогом скорости и действительной угловой скоростью i-го звена определится из соотношения:

аналог скорости. Продифференцировав уравнения (2.3) и подставив значение аналога скорости, получаем уравнения для определения угловой скорости, получаем уравнения для определения

20