2837
.pdf
15. СВОБОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Цель — освоить методику расчета свободных процессов в электрических цепях первого и второго порядков.
Задание 15.1. В схемах, изображенных на рис. 15.1, ключи K изначально были замкнуты, а в момент времени t = 0 их разомкнули. Определить независимые начальные условия свободных процессов, которые будут протекать в цепях после размыкания ключей, и энергию, запасенную реактивными элементами к моменту коммутации. Известно, что E = 30 В, r = 10 Ом, L = 1 мГн, C = 1000 пФ.
Ответ: а) iL(0 )=1A,wL(0 )=0,510 3Дж
б) uC(0 )=10B,iL(0 )=1A,
wC(0 )=510 8Дж,wL(0 )=0,510 3Дж.
а |
б |
Рис. 15.1
Задание 15.2. Определить сопротивление изоляции конденсатора, если его емкость равна 2 мкФ и через два часа после отключения конденсатора от источника электрической энергии напряжение на нем уменьшилось на 95 %.
Ответ: RИЗ = 1200 МОм.
Задание 15.3. Конденсатор емкостью C = 400 пФ, заряженный до напряжения 1000 В, разряжается через цепь, состоящую из последовательно включенных катушки индуктив-
70
ности с L = 16 мкГн и резистора сопротивлением r = 400 Ом. Определить, какой режим протекания свободных процессов будет иметь место в контуре. Найти пиковое значение тока разряда конденсатора и промежуток времени от начала разряда до момента фиксации пикового тока.
Ответ: imax=1,65 А, tmax 80 нс.
Задание 15.4. Конденсатор, заряженный до напряжения 80 В, разряжается через катушку индуктивности с потерями. После 25-ти периодов свободных колебаний амплитуда напряжения на конденсаторе уменьшается до 3 В. Рассчитать добротность такого контура.
Ответ: Q = 23,9
Задание 15.5. В последовательном соединении r,L и С — колебательный режим свободных процессов. На основе данных табл. 15.1, определить величины, отмеченные в таблице вопросительными знаками. В табл. 15.1 использованы обозначения: fC и TC — частота и период собственных колебаний в контуре, τЦ — постоянная времени контура, tу — время установления процессов, Θ — логарифмический декремент затухания.
Таблица 15.1
Исходные данные к задаче 15.5
Вари- |
L, |
C, |
r, |
ρ, |
Q |
fC, |
TC, |
τЦ, |
tу, |
Θ |
ант |
мГн |
нФ |
Ом |
Ом |
|
кГц |
мкс |
мкс |
мс |
|
1 |
0,5 |
10 |
4 |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
2 |
2,0 |
? |
5 |
500 |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
3 |
? |
5 |
8 |
? |
60 |
? |
? |
? |
? |
? |
4 |
? |
? |
4 |
? |
? |
? |
10 |
? |
? |
0,025 |
5 |
15 |
? |
45 |
? |
? |
50 |
? |
? |
2 |
? |
71
Задание 15.6. На рис. 15.2 приведена осциллограмма напряжения на конденсаторе емкостью 0,025 мкФ при его разряде через катушку индуктивности с потерями. Рассчитать параметры катушки такого колебательного контура.
Ответ: L = 25 мкГн, r = 2,2 Ом.
uC, В
100 |
|
|
80 |
t, |
|
0 |
||
мкс |
||
5 |
Рис. 15.2
Задание 15.7. Конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения UmC0, разряжается через катушку индуктивности L, обладающую потерями r. После k периодов свободных колебаний амплитуда напряжения на конденсаторе Umck уменьшается в m раз по сравнению с UmС0. Используя данные табл. 15.2, определить величины, отмеченные в ней вопросительными знаками. Считать, что использованные в табл. 15.2 обозначения совпадают по смыслу с введенными в задаче 15.5, а — декремент затухания.
Таблица 15.2
Исходные данные к задаче 15.7
Вари- |
L, |
C, |
r, |
Q |
Θ |
|
m |
k |
UmC0, |
Umck, |
ант |
мкГн |
нФ |
Ом |
|
|
|
|
|
В |
В |
1 |
— |
— |
— |
? |
? |
? |
? |
20 |
80 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
— |
— |
— |
40 |
? |
— |
20 |
? |
40 |
? |
3 |
— |
— |
— |
? |
? |
? |
— |
30 |
100 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
500 |
10 |
4 |
— |
— |
? |
? |
25 |
600 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
100 |
20 |
6 |
— |
? |
— |
? |
15 |
? |
20 |
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
|
16. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
Цель — освоить методику анализа переходных процессов в линейных цепях классическим методом.
Задание 16.1. Составить системы уравнений электрического равновесия для цепей, показанных на рис. 16.1-16.3.
Задание 16.2. На основе решения задачи 16.1 составить дифференциальное уравнение цепи (рис. 16.1) относительно напряжения uc(t) .
|
du |
c |
(t) |
|
r |
|
|
Ответ: Cr1 |
|
|
1 |
1 |
uc(t) e. |
||
dt |
r2 |
||||||
|
|
|
|||||
Рис. 16.1 Рис. 16.2
Рис. 16.3
Задание 16.3. Используя решение задачи 16.1, составить дифференциальное уравнение цепи на рис. 16.2 относительно: а) тока индуктивности i2 ; б) напряжения u1(t).
Ответ: а) |
L |
|
di2 (t) |
1 |
r2 |
|
i2 (t) j; |
|
|
|
||||||
|
|
r1 |
|
|
|
|||||||||||
|
r1 |
dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
L |
du1(t) |
|
|
r2 |
|
|
|
dj |
|
||||||
б) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
u1 |
(t) L |
|
|
jr2 . |
||
|
|
dt |
r1 |
|
dt |
|||||||||||
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73 |
|
|
|
|
|||
Задание 16.4. Используя решение задачи 16.1, составить дифференциальное уравнение цепи на рис. 16.3 относительно
напряжения на емкости uc(t) . |
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: C |
du |
c |
(t) |
|
1 |
|
1 |
|
e |
e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
uc(t) |
1 |
|
|
. |
|||
dt |
|
|
|
|
|
||||||||
|
r1 |
|
r2 |
r1 |
r2 |
||||||||
Задание 16.5. Используя решение задачи 16.3, определить вынужденную составляющую тока i2 (t) , протекающего в цепи на рис. 16.2, полагая, что
а) j kt ; б) |
j kt2 ; в) |
j J0e t , где |
r1 r2 |
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
L |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: а) |
i2пр(t) k |
|
1 |
|
t |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
r1 r2 |
|
|
r1 r2 |
|
|
2L2 |
|
|
|
||||||||||
б) |
|
|
|
|
r1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2L |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i2пр(t) |
kr r |
|
r r |
|
t |
(r r ) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
2 |
; |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
1 2 |
|
|
|
|||||||
в) |
i2пр(t) |
|
|
|
J0 |
|
|
|
|
|
e t . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
r1 r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задание 16.6. Из дифференциального уравнения цепи, полученного в задаче 16.3 (вариант а), сформировать характеристическое уравнение цепи и найти аналитическое выражение свободной составляющей тока i2(t) .
На основе решения задачи 16.5 (вариант а) определить постоянную интегрирования свободной составляющей тока i2(t) , если iL(0 ) 0 .
Ответ: |
L |
p+1+ |
r2 |
=0; |
|
|
|
|
|||
|
r1 |
|
|
||||||||
|
r1 |
|
r1+r2 t |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
r1L |
|
||||
|
i |
2св |
(t)=Ae |
L |
, A=k |
|
. |
||||
|
(r +r )2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|||
Задание 16.7. В цепи на рис. 16.1 действует источник, ЭДС которого изменяется по закону
74
0,приt 0, e(t)
E,приt 0.
Используя решение задачи 16.2, определить ток, протекающий через емкость ic(t) .
Ответ: i |
(t)= |
E |
exp |
|
r1+r2 |
t |
. |
|
|
||||||
c |
|
|
|
|
rr1 2C |
|
|
|
|
r1 |
|
|
|||
Задание 16.8. В схеме |
цепи на рис. 16.4 e1 100 В, |
e2 400 В, r1 100 Ом, r2 50 |
Ом, C 30 мкФ. Известно, что в |
момент t = 0 в цепи мгновенно замыкается ключ K. Используя решение задачи 16.4, определить закон изменения uc(t) .
Ответ: uc(t)=300 200e 103t В.
Рис. 16.4 Рис. 16.5
Задание 16.9. Идеальный источник напряжения описывается переменной ЭДС вида:
0 при t 0, e(t)
kt, при t 0.
Классическим методом определить закон изменения напряжения uc(t) в цепи, показанной на рис. 16.5.
Ответ: uc (t) k(t rC) krCe t , 1 . rC
Задание 16.10. Ко входу rL-цепи со схемой, представленной на рис. 16.6, в нулевой момент времени подключается идеальный источник напряжения с ЭДС, изменяющейся в соответствии с выражением e(t) Ee t. Полагая, что катушка
75
индуктивности была не заряжена, определить классическим методом закон изменения uL(t) .
Ответ: uL (t) |
|
E r |
|
|
r |
t |
|
t |
||
|
|
L |
|
|||||||
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
r |
L |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
L
Рис. 16.6
17. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЦЕПЕЙ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Цель — освоить метод расчета переходных процессов, основанный на использовании преобразования Лапласа.
Задание 17.1. Используя таблицу оригиналов и изображений по Лапласу, определить изображения сигналов, полагая, что их мгновенные значения при t < 0 равны нулю:
а) e(t) E; |
б) |
u(t) Um cos 0t ; |
в) i(t) I0e t ; |
г) |
i(t) kt2 . |
Задание 17.2. Напряжение на емкости С изменяется по закону uC(t) kt . Операторным методом определить ток iC(t), протекающий через емкость, если uC(0 ) 0 .
Ответ: iC(t) kC .
Задание 17.3. Построить операторную схему замещения цепи на рис. 17.1, если iL(0 ) 0 , а uC(0 ) U0 .
Используя законы Кирхгофа в операторной форме, составить систему уравнений электрического равновесия цепи.
76
Рис. 17.1 Рис. 17.2
Задание 17.4. Построить операторную схему замещения цепи на рис. 17.2, если uC1(0 ) uC2(0 ) U0 , а iL(0 ) I0 .
Составить систему уравнений равновесия цепи.
Задание 17.5. Операторным методом определить выходное напряжение цепи на рис. 17.3 при подключении к ее входу источника постоянного напряжения с u1 100 В. Известно, что
r1 r2 250 Ом, C1 20 мкФ, C2 4 мкФ, uC1(0 ) uC2(0 ) 0.
Ответ: u2(t) 83,3 33,3e 600t В.
Рис. 17.3 |
Рис. |
17.4 |
Задание 17.6. Ко входу цепи на рис. 17.4 |
подключается |
|
постоянное напряжение U1 = 120 |
В. Операторным методом |
|
найти аналитические выражения токов i1,i2 и i3 . Известно,
что r1 20 Ом, r2 30 Ом, L 0,3 Гн, iL(0 ) 0 . Ответ: i1(t) 6 3,6e 40t А,
i2 (t) 2,4e 40t А, i3(t) 6 6e 40t А.
77
Задание 17.7. В цепи на рис. 17.5 источник генерирует ток, временная диаграмма которого показана там же на рисунке. Операторным методом найти токи i1(t) и i2(t). Известно, что L 10мГн, r 10 кОм.
Ответ: i1(t) 20e 106 t мА, i2 (t) 20e 106 t мА.
Рис. 17.5
Задание 17.7. Операторным методом найти ток в индуктивности iL(t) (рис. 17.6), если в момент времени t = 0 ключом K к ней подключают емкость, заряженную до напряжения U0. Известно, что e(t)=E .
Ответ: i(t)= |
E |
U0 |
|
r |
|
δt |
|
|
1 |
. |
|
|
1 |
|
|
|
e |
|
sin(ωCt) , |
|
|||
|
E |
L |
|
2rC |
|||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
||||
Задание 17.8. Конденсатор емкостью C после замыкания ключа K1 начинает разряжаться через резистор сопротивлением R и катушку с индуктивностью L и сопротивлением потерь r (рис. 17.7). В момент, когда ток в катушке достигает максимального значения, замыкают ключ K2. Операторным методом найти ток в цепи i(t) при последующих колебаниях.
i R
UС0 |
+ |
K1 |
С |
||
|
– |
|
K2 L
r 
Рис. 17.6 Рис. 17.7
78
Контрольная работа
Задание 17.К-1. В цепи на рис. 17.8 постоянно действует источник постоянного напряжения — e(t) = E. В нулевой момент времени ключ K замыкается. Используя данные табл. 17.1, операторным методом определить временную зависимость, указанную в последнем столбце таблицы.
Рис. 17.8
Таблица 17.1 Исходные данные к контрольной задаче 17.К-1
Вариант |
Е, |
r1, |
r2, |
C, |
Искомая |
|
В |
Ом |
Ом |
мкФ |
величина |
1 |
24 |
100 |
20 |
3 |
uC(t) |
2 |
120 |
160 |
100 |
18 |
u(t) |
|
|
|
|
|
|
3 |
32 |
80 |
60 |
9 |
i1(t) |
4 |
20 |
100 |
50 |
18 |
i2(t) |
5 |
16 |
40 |
120 |
36 |
i3(t) |
6 |
100 |
150 |
50 |
4 |
ur2(t) |
Задание 17.К-2. В цепи на рис. 17.9 постоянно действует источник постоянного напряжения — e(t) = E. В нулевой момент времени ключ К мгновенно замыкается. Используя данные, представленные в табл. 17.2, операторным методом определить временную зависимость, указанную в последнем столбце таблицы.
79