2837

7. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ МЕТОДОМ КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

Цель — освоить методику применения комплексных чисел для расчета линейных электрических цепей при гармонических воздействиях.

Задание 7.1. Гармоническое напряжение изменяется по закону u(t) 50 sin(106 t /6) B. Найти комплексную амплитуду указанного напряжения.

Ответ: Um 50 ej120 B.

Задание 7.2. Комплексная амплитуда гармонического напряжения равна:

а) Um 20 j10 B; б) Um 10 j20 B.

Частота указанного колебания равна =105 1c. Определить гармоническое напряжение u(t) как функцию времени.

Ответ: а) u(t) 22,4cos(105 t 26,6 ) В;

б) u(t) 22,4cos(105 t 116,6 ) В.

Задание 7.3. Гармоническое напряжение на зажимах цепи изменяется в соответствии с выражением: u(t) 10 sin( t) В.

Комплексное сопротивление цепи на частоте составляет величину Z 1,2 j2 кОм. Определить ток в цепи как функцию времени, полагая, что условно положительные направления тока и напряжения в цепи совпадают.

Ответ: i(t) 4,29 cos( t 31 ) мА.

Задание 7.4. Цепь представляет собой последовательное соединение двух элементов: сопротивления R=1,5 кОм и емкости С = 76 пФ (рис. 7.1). Определить комплексную проводи-

40

мость цепи Y на частоте 1 МГц, а также напряжение u(t) на зажимах цепи, если ток в цепи изменяется по гармоническому закону: i(t) 10 cos(2 106 t 180 ) мА.

Ответ: Y 0,388 ej54.4 мСм;

u(t) 25,8 cos(2 106 t 125,6 ) В.

Задание 7.5. Цепь представляет собой параллельное соединение двух элементов — сопротивления R=667 Ом и индуктивности L = 76 мкГн (рис. 7.2). Определить комплексное сопротивление цепи Z на частоте 1 МГц, а также ток i(t) в цепи, если напряжение на зажимах цепи изменяется по гармони-

ческому закону: u(t) 2 cos(2 106 t 125,6 ) В.

Ответ: Z 388 ej54.4 кОм;

i(t) 5,16 cos(2 106 t) мА.

Задание 7.6. В цепи (рис. 7.3) токи источников равны i1 15 cos t 3 мА и i2 15sin t 3 мА. Определить ток i(t) в нагрузке Z .

Ответ: i(t) 21,2 cos t 15 мА.

Рис. 7.3 Рис. 7.4

41

Задание 7.7. В цепи (рис. 7.4) e1 10cos(106 t 150 ) B, e2 10sin(106 t) В. Определить u(t).

Ответ: u(t) 17,3cos(106 t 60 ) В.

Задание 7.8. В цепи, показанной на рис. 7.5, ЭДС источника равна e(t) 10 cos(103t 4) В, параметры элементов — r1 =3 Ом, r2 =2 Ом, L=6 мГн, С=200 мкФ. Определить i(t).

Ответ: i(t) 1,41cos(103 t 51,5 ) А.

Задание 7.9. Известен ток i3(t), протекающий через эле-

мент Э4 цепи (рис. 7.6) — i3(t)=10 cos(106 t + i) мА. Распола-

гая приведенными в табл. 7.1 параметрами элементов цепи Э1, Э2,Э3,Э4, определить ЭДС e(t) источника.

Таблица 7.1 Исходные данные для решения задачи 7.9

42

8. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА "МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД"

Цель – закрепить навыки, приобретенные в теме № 7.

Задание 8.К-1.

Предлагаемое контрольное задание аналогично по структуре и подобно по содержанию заданиям, приведенным в качестве демо-версии ниже. В нем содержится два варианта задач №1 и 2. Требуется решить один из указанных преподавателем вариантов обеих задач.

Взадаче №1 проверяется качество усвоения: закона Ома для комплексных амплитуд, действий над комплексными числами, перехода от временной зависимости гармонического колебания к его комплексной амплитуде и наоборот, связи характера сопротивления цепи со сдвигом фаз, комплексным сопротивлением (проводимостью) цепи и расходуемой мощностью.

Взадаче №2 предлагается рассчитать методом комплексных амплитуд простую электрическую цепь в виде последовательного или параллельного соединения двух-трех элементов. Вид модели источника электрической энергии задан в первом столбце таблицы данных.

Входе решения задач следует определить величины, отмеченные вопросительными знаками.

Ответы, полученные при решении задач, необходимо указывать в требуемых единицах измерения. Так, например, ток должен быть представлен в мА, проводимость — в 1/кОм, емкость — в пФ и т. д. Форма представления результатов также должна быть стандартной. Ее вид указан в последней строке таблицы данных. Так, например, комплексные амплитуды колебаний следует представлять в показательной форме комплексного числа, комплексное сопротивление или проводимость — в алгебраической форме.

Взадачах приняты следующие обозначения: u(t) и i(t) — временные зависимости напряжения и тока, Um и Im — ком-

43

плексные амплитуды напряжения и тока, Z и Y — комплексные сопротивление и проводимость цепи, z и y — полные сопротивление и проводимость цепи, = u i — сдвиг фаз ме-

жду напряжением и током, Р — средняя мощность, расходуемая в цепи, — угловая частота колебаний в цепи.

После решения задач на черновике полученные результаты заносятся в чистовую таблицу ответов. В ней указывается номер ответа, соответствующий номеру вопроса таблицы задания, а под ним — собственно результат в указанных единицах измерения. Помимо задания и таблицы ответов сдается на проверку и черновик решений.

Анализ типовых ошибок, допускаемых при выполнении контрольного задания, показывает, что студенты зачастую:

не учитывают направлений тока и напряжения при записи закона Ома для комплексных амплитуд;

переходят к комплексным амплитудам от временных зависимостей, отличающихся по виду от вида канонического

выражения — a(t) Amcos( t+ );

забывают такие основные свойства комплексных чисел, как

jA=Aej90 , jA=Ae j90 , A=Aej180 Ae j180 ;

не увязывают характер сопротивления цепи с величиной комплексного сопротивления, хотя известно, что ZL jxL,

а ZC jxC, т. е. при отрицательной мнимой части комплексно-

го сопротивления характер сопротивления цепи является емкостным, а при положительной — индуктивным;

не соблюдают требуемой формы представления результатов решения задач, указанной в таблице данных;

приводят ответы в произвольных единицах измерения, не совпадающих с указанными в таблице данных.

44

45

46

47

48

49