2685

Рис. 4.3. Общая живучесть для d=6 в двух вариантах

Условием, что рассматриваемые числа реализуются в виде графа, является отношение (4.11). Следствие из него – формула (4.12).

Используя дисперсионные соотношения для случайной величины d(i):

Получают верхнюю границу вероятности связного графа:

Нет необходимости искать возможные значения Р, т.к. на практике можно ограничиться вполне приемлемым значением Р(р =1) ≥3/4. Для таких значений Р множитель в квадратных можно заменить значением 0,5. Тогда критерий живучести стохастического однородного графа с заданными n, d, q, d<<n:

71

Если задано Р( р= 1), то:

т.е. необходимое условие для степени вершин, чтобы граф был связным, т.е. из каждой вершины в среднем должно исходить d ребер при заданных qи n.

Исследуем изменения структуры СИС при внезапном воздействии ЧС.

Введем условия:

1.Каждая вершина имеет в среднем d исходящих

ребер;

2.Каждое ребро, инцидентное вершине Vi также инцидентноVjсвероятностью:

3.Всевершиныиребраидентичны;

4.Воздействие ЧС направлено в некоторую случайно выбраннуюобластьw,тогдавероятностьпораженияравна—w/D,где D-площадь,занимаемаяСИС;

5.Частота возникновения последствий воздействия ЧС составляетm(t)единицнаединицуплощади;

6.ВоздействиеЧСнаСИСодномоментное;

7.Вершина разрушается в том случае, если подвергается воздействиюЧС,мощностьюнеменееKb S ;

8.Ребро разрушается в том случае, если подвергается воздействиюЧС,мощностьюнеменееKPS ;

9.ВосстановительныеработынаСИСнепроводятся. Если m(t)велико, то ожидаемое число разрушенных вершин

(или ребер) будет соответствовать вероятности того, что любая даннаявершинаможетбытьразрушена.

72

Пусть gkb (m)и gkP(m)обозначают ожидаемые части вершин и ребер, которые подверглись воздействию ЧС с частотой

Вероятность того, что некоторое ребро ki не будет разрушено, равна:

Пусть πbи πP- вероятности того, что воздействиеЧСразрушает данные вершину и ребро, тогда, согласно распределению Пуассона длявероятностей:

Предположим, что после удара осталось в среднем а неповрежденных ребер, направленных из Vi, причем Vj считается не разрушенной. Для графов, удовлетворяющих условию (4.4) существуетсоотношение:

Таким образом, выражение (4.24) определяет среднее количество вершин, не разрушенных воздействием ЧС,

аb∑ g (m)–среднее число вершин первоначального графа, которые могут установить связь с другими после воздействия ЧС и выражение (4.24) можно использовать для определения коэффициентаживучести.

Компонентаa ,учитывая(4.18),(4.19),(4.20)будетиметьвид:

Принимаявовнимание,чтоks иkL—целые числа,ограничение некоторымпредельнымзначением,находимминимальноезначениеd

[20].

4.4.Булевы модели оценки живучести

4.4.1.Сущность булевых моделей

Предполагается, что исследуемую систему можно достаточно хорошо описать следующим образом. Система состоит из конечного числаэлементов(подсистем,элементарныхстандартныхблоков).Для каждого элемента допускаются лишь два возможных состояния — полной работоспособности и полного отказа. Точно так же предполагается, что и система может находиться лишь в двух состояниях — полной работоспособности и полного отказа. Всякая возможность частичного функционирования всей системы или ее

74

элементовисключается[52].

Работоспособность или отказ системы определяются состояниями ее элементов. В предельном случае одновременного отказа или одновременного функционирования всех элементов система должна соответственно отказывать или работать. Предполагается

рует),тосистемадолжнафункционировать

выполнение следующего свойства монотонности: если система функционирует, когда отказало некоторое подмножество М1, ее элементов (а дополнительное множество М элементов функционитакжеивтомслучае,если

1

отказалолишьподмножествоМ2 М1 элементов.

Названная модель функционирования системы явно приспособлена к применению аппарата булевой алгебры. Состояния системы и каждого элемента можно описать с помощью булевых переменных, которые принимают значение 1 (в случае работоспособности)и0(вслучаеотказа).

Пусть система состоит из n элементов, при этом v-муэлементу

работоспособности системы (булевой функцией) переменных х1,х2,...,хn

функционировании или отказе всех ее элементов и свойство монотонности могут быть записаны в виде следующих

Выражения (4.28)-(4.30) характеризуют модель полностью и однозначно. Однако может оказаться, что в действительности функция работоспособности системы вовсе не зависит от некоторых из n булевых переменных. Подобные элементы для поведения системы являются в таком случае несущественными. Точнее, определим их следующим образом: v-ый элемент системы называется несущественным, если

называется существенным.

Систему называют нередуцируемой, если она не содержит несущественных элементов. В противном случае система будет допускать редуцирование [52].

Для краткости будем использовать векторную форму

ТТ

Вчастности, 1=(1, ...,1) и 0=(0,...,0) . Используемые в дальнейшем неравенства между булевыми векторами

определяются следующим образом:

≥,

иразличаются по крайней мере одной компонентой

В качестве вычислительных операций над булевыми переменными ( ,…, ) применяют булево сложение (дизъюнкцию), обозначаемое знаком " ", и булево умножение (конъюнкцию), обозначаемое знаком " ". В таблице 6 приведены результаты сложения и умножения для всех 2n реализаций булева вектора.

Если обе возможные реализации каждой булевой переменной ограничиваются лишь числами 0 и 1, то булево сложение и умножение можно заменить эквивалентными

76

алгебраическими операциями.

Определение операции сложения и умножения в булевой алгебре

Часто оказывается целесообразным наряду с булевой переменной х рассматривают и ее отрицаниепеременную ̅, которая оказывается определенной в той же области значений, что и x; при этом в силу определения ̅реализации х и ̅ никогда не совпадают. В нашем случае ̅= 1− , поскольку реализация булевых переменных есть числа 0 и 1 [52].

4.4.2. Булевы функции работоспособности системы и схемы расчета надежности

Для некоторых классов систем структурную функцию работоспособности S(x)=S( , …, ) можно вычислить

77

достаточно просто. Мы будем наряду с функцией работоспособности системы рассматривать также и

работоспособны. Функция работоспособности имеет вид в

Рис. 4.4. Последовательное и параллельное соединение элементов

Буквы А и Е илиА и Е символически обозначают вход и выход системы [52].

Для второй системы имеем:

-система работоспособна, когда работоспособен хотя бы один из ее элементов. Для функции работоспособности отсюда

элементов соответственно

Рис. 4.5. Последовательное и параллельное соединение элементов

4.4.3. Свойства и представления булевых функций работоспособности систем.

Реализацию х' булева вектора х будем называть путем но работоспособности системы, если S (х') = 1. Реализацию х' булева вектора х будем называть сечением по работоспособности системы, если S(х')=0. Соответственно этому реализация х' булева вектора х называется сечением по

̅'

отказу системы, если (х) = 0. Реализация х' булева вектора х

̅'

называется путем по отказу системы, если (х) =1 [52]. Особое значение имеют так называемые минимальные

пути и минимальные сечения. Реализация х' булева вектора х называется минимальным путем по работоспособности системы, если S(х') =1, но для любой реализации х'', такой, что х'' < х', функция S(х") = 0. Реализация х' булева вектора х называется минимальным сечением по работоспособности системы, если S(х') =0, однако для любой реализации х", такой,

79

что х">х', функция (х') *= 1. Реализация х′ называется

минимальным сечением по отказу системы, если (х′) = 0,

однако для любой реализации х", такой, что х" > х′, функция

(х") = 1. Реализация х′ булева вектора х называется

минимальным путем по отказу системы, если (х′) =1, однако

для любой реализации х" такой, что х" < х" функция S(х") =0. Можно непосредственно проверить, что всякий

минимальный путь (минимальное сечение) по работоспособности оказывается дополнением минимального сечения (минимального пути) по отказу и наоборот. Обозначим общее число минимальных путей и сечений по работоспособности через m и s, а общее число минимальных путей и сечений по отказу — через и ̅. Тогда =s, ̅= m. Знание всех минимальных путей и минимальных сечений позволяет непосредственно получить аналитические выражения для функции работоспособности и отказа системы. Под эквивалентной схемой минимального пути

(эквивалентной схемой дополнения минимального сечения x ) будем понимать последовательное (параллельное) соединение тех компонентов вектора х, которые представлены

вединицами (в x нулями) [52].

Теорема 1а [52]. Эквивалентную схему работоспособности системы можно представить в виде параллельного соединения эквивалентных схем всех

80