2685

Через |A| обозначена мощность множества A (количество

элементов в нем),а 2A–это совокупность всех подмножеств множестваA.

Элемент сигма-алгебры Fn–это набор графов. Если нам хочется найти вероятность, с которой граф на n вершинах обладает данным свойством A, то мы просто берем множество A Fn, состоящее из всех графов, для которых выполнено свойство A, и вычисляем:

Таким образом, вероятность того, например, что случайный граф связен – это величина, равная сумме вероятностей всех связных графов (на фиксированном множестве вершин). Специфика вероятностных методов, которые эффективно работают в задачах о случайных графах, позволит нам пронаблюдать весьма нетривиальные и, главное, неожиданные явления, которые возникают даже в этой простой модели и которые влекут приятные следствия для приложений.

Сделаем еще ряд полезных замечаний. Во-первых, если p=

1/2, то, как видно из формулы (2.2), вероятность любого графа равна 2–Cn^2. Иными словами, в этом специальном случае все

графы равновероятны и всякое утверждение о вероятности какого-либо свойства–это, по сути, утверждение о доле графов, данным свойством обладающих.

В действительности, мы не только не обязаны предполагать, что p=1/2 (хотя и этот случай очень важен),мы даже можем считать, что с ростом величины n(числа вершин) вероятность p возникновения ребра изменяется. Иначе говоря, p=p(n)–любая функция, значения которой заключены между нулем и единицей. Как правило, в науке о случайных графах важны даже не сами вероятности событий, но их предельные значения.

Свойство выполнено почти всегда, если его вероятность стремится к единице при n→∞.

31

Представим некоторые обобщения модели Эрдеша – Реньи. Пусть Vn = {1, . . . , n}. Вероятность ребра между вершинами i и j мы обозначим через pij. В формате аксиоматики Колмогорова мы получаем вероятностное пространство

в котором Ωn = {G = (Vn, E)}, Fn = 2Ωn, P , , (G) =

∏( , ) p , ∏( , ) (1 −p , ).

Важный частный случай описанного пространства получается, коль скоро мы фиксируем некоторый граф Hn = (Vn, En) и полагаем

Иначе говоря, ребра графа Hn возникают в случайном графе независимо друг от друга с одной и той же вероятностью p = p(n) [0, 1], а ребра, которых в графе Hn нет, не возникают в случайном графе вовсе. Этот вариант модели принято обозначать G(Hn, p). В ней

Ясно, что модель G(Hn, p) и есть та самая модель, которая вполне адекватна вопросу о надежности транспортной сети.

2) Модель графа Барабаши – Альберт (граф БА)

представляет собой алгоритм генерации случайных безмасштабных сетей с использованием принципа предпочтительного присоединения[23].

Многие исследуемые сети попадают под класс безмасштабных сетей. Это значит, что они имеют степенное распределение по степени узла, тогда как модели случайных

32

графов (Уоттса — Строгатца и Эрдёша — Реньи) не имеют такого распределения. Модель Барабаши — Альберт — одна из нескольких предложенных моделей со степенным распределением, которые генерируют безмасштабные сети. Она включает в себя две важные общие концепции:

-рост сети -принцип предпочтительного присоединения (ПП).

Обе концепции широко представлены в сетях реального мира. Рост значит, что число узлов сети увеличивается со временем.

Принцип предпочтительного присоединения заключается в том, что чем больше связей имеет узел, тем более предпочтительно для него создание новых связей. Узлы с наибольшей степенью имеют больше возможностей забирать себе связи, добавляемые в сеть. Интуитивно, принцип предпочтительно присоединения может быть понят, если мы думаем в терминах социальных сетей, которые объединяют людей. Здесь связь от А к B значит, что человек A «знает» или «знаком» с человеком B. Сильно связанные узлы представлены известными людьми с большим числом связей. Когда новичок попадает в сообщество, для него/неё более предпочтительно связаться с одним из известных людей, чем с относительно неизвестным. Подобным образом во всемирной сети страницы связываются с хабами, к примеру, с хорошо известными сайтами, как Гугл или Википедия, чем со страницами, которые мало кому известны. Если выбирать для связи новую страницу случайным образом, то вероятность выбора определённой страницы будет пропорциональна её степени. Это объясняет принцип предпочтительного присоединения.

Принцип предпочтительно присоединения — пример положительной обратной связи, где изначально случайные вариации (один узел изначально имеет больше ссылок или начинает собирать ссылки раньше других) автоматически усиливаются, тем самым значительно увеличивая разрыв. Это также иногда называют эффектом Матфея, «богатые становятся богаче», или автокатализом в химии.

33

Данный граф выращивается из небольшого графазатравки, у которого степень связности каждой вершины должны быть не меньше единицы.

Каждая новая вершина присоединяется к уже существующим вершинам с вероятностью пропорциональной степени связности этих вершин. Вероятность pi того, что вершина присоединится к i-ой вершине равна:

где ki–степень i-ой вершины.

3) Модель графа Уаттса – Строгатца[23].

Большинство моделей сложных сетей представляют собой численную реализацию графа и генерируются на компьютере. Данная же модель появилась задолго до свободного распространения вычислительной техники.

Д.Уаттс и С. Строгатц обнаружили феномен, характерный для многих реальных сетей, названный эффектом «малого мира».

Модель «малого мира» состоит в том, что перебирая круг своих ближайших знакомых, затем людей, знающих наших ближайших знакомых (но не знающих нас непосредственно), и т.д. легко убедиться в следующем: достаточно проследить за небольшим числом цепочек таких знакомств, чтобы понять, что любой из нас опосредовано знаком с любым членом общества. В этом смысле наш мир является малым, откуда и пошло название этой модели.

Сетевые структуры, соответствующие свойствам малых миров, обладают следующими типичными свойствами: малая средняя длина пути относительно диаметра сети (что характерно также для случайных сетей) и большой коэффициент кластеризации.

34

При исследовании этого феномена ими была предложена процедура построения наглядной модели сети, которой присущ этот феномен.

Чтобы построить сеть «малого мира», следует начать с регулярной циклической решётки с N вершинами, каждая из которых соединена с k ближайшими соседями в каждом направлении. Для каждой вершины задаётся 2k связей, где N >> log2(N) >>1. Затем каждое ребро присоединяется к случайной паре вершин с вероятностью p.

При условии p=0 получается упорядоченная решётка с большим количеством циклов и большими расстояниями, а при условии p→ 1 сеть становится случайным графом с короткими расстояниями, и малым количеством циклов.

Данная сеть может иметь три состояния:

−регулярная сеть, каждый узёл которой соединён с четырьмя соседними;

−та же сеть, у которой некоторые «ближние» связи случайным образом заменены более «дальними» (именно в этом случае возникает феномен «малого мира»);

−случайная сеть, в которой количество подобных замен превысило некоторый установленный порог.

На (рис. 2.8.) представлена иллюстрация данной модели.

Рис. 2.8. Модель графа Уаттса-Строгатса

35

Параметр p в данной модели отвечает за переброс рёбер в случайные положения. Так по рисунку 2.8 можно увидеть трансформацию из регулярной цепочки в модель «малого мира», а затем в случайный граф.

Компьютерная модель «малого мира» была разработана Уаттсом и Строгатсом несколькими годами позже.

Модель Уаттса-Строгатса представляет собой модель генерации случайного графа, имеющего высокий коэффициент кластеризации вершин и относительно небольшую среднюю длину пути.

4) Модель LCD[23].

Выделим в пространстве ось абсцисс и зафиксируем на ней 2n точек:1,2,3,…,2n. Разобьем эти точки на пары, и элементы каждой пары соединим дугой, лежащей в верхней полуплоскости. Полученный объект назовем линейной хордовой диаграммой(LCD). Дуги в LCD могут как пересекаться, так и лежать друг под другом, но не могут иметь общих вершин. Количество различных диаграмм равно

По каждой диаграмме построим граф с n вершинами и m ребрами. Процесс построения показан на рисунке 2.9

Рис. 2.9. Граф модели LCD

36

Алгоритм построения графа следующий:

1.Идем слева направо по оси абсцисс, пока не встретим конец дуги (i1);

2.Объявляем набор от 1 до i1, от 1 до i2 и т.д.;

3.Объявляем набор для второй вершины: {i1+1, …,

i2};

4.Продолжаем процедуру до прохода всех точек;

5.Ребра порождаем дугами.

Предположим, что вероятность каждой диаграммы 1/ln, тогда получаем случайные графы.

Все эти модели относятся к моделям социальных сетей. В теории сложных социальных сетей выделяют три основных направления: исследование статистических свойств, которые характеризуют поведение сетей; создание модели сетей; предсказание поведения сетей при изменении структурных свойств. В прикладных исследованиях обычно применяют такие типичные для сетевого анализа характеристики, как размер сети, сетевая плотность, степень центральности и т.п.

К потере живучести информационной системы может привести разрыв связей между ее компонентами, например, при устранении из информационного пространства наиболее весомых компонент, т.е. таких, которые имеют, допустим, наибольший коэффициент посредничества (betweenness). Этот коэффициент для конкретного узла сети определяется как сумма по всем парам узлов сети соотношений количества кратчайших путей между ними, проходящими через заданный узел, к общему количеству кратчайших путей между ними.

37

3.ЖИВУЧЕСТЬ АТАКУЕМЫХ СИСТЕМ И СЕТЕЙ

3.1.Модель гомеостаза сетевой структуры

Для полноценной работы и сохранения минимального набора критически важных функций информирования система и сеть должны обладать вполне определенным запасом устойчивости к внешним дестабилизирующим воздействиям из внешней среды (информационного пространства), обусловленным, в свою очередь, влияниями со стороны общества, государства, коммерческих структур и т.д. Как на всю информационную систему(сеть), так и на ее отдельные элементы могут оказываться различные дестабилизирующие информационные воздействия, атаки, например, удаление отдельных материалов с вебсайтов сети Интернет, уничтожение или отключение информационных серверов, публикация документов, которые в определенном направлении искажают исходную информационную систему, или порождение новой информационной системы(сети), которая может снизить актуальность или попросту уничтожить исходную систему [20].

При этом нарушение целостности информационной системы(сети) на фоне снижения актуальности ее компонент влечет за собой дезорганизацию, одновременную потерю гибкости — понижение живучести и нарушение целостности, то есть потерю важнейших функций (рис.3.1).

Рис. 3.1. Модель гомеостаза информационной системы(сети)

38

В процессе проектирования и эксплуатации сетевой информационной системы (СИС) одной из наиболее существенных проблем является обеспечение способности СИС выполнять свои основные функции, несмотря на полученные повреждения. С точки зрения концепции безопасности, всякую сложную техническую систему следует изучать с трех основных позиций: надежности системы, живучести системы, и ее безопасности. Каждая из этих позиций по-разному описывает связь и взаимодействие системы с окружающей ее средой. С позиции классических моделей теории надежности система изучается изолированно от окружающей среды: ни система не подвергается воздействиям внешней среды, ни сама окружающая среда не испытывает на себе воздействий со стороны системы.

Живучесть - свойство системы, характеризующее ее способность функционировать под влиянием внешних воздействий, возбуждаемых в окружающей систему среде [20].

Под живучестью так же понимают способность информационной системы сохранять и восстанавливать выполнение требуемых функций в заданном объёме и на протяжении заданного времени в случае изменения структуры системы и/или алгоритмов и условий её функционирования вследствиенеблагоприятныхвоздействий(НВ).

Живучесть является комплексным свойством системы. В зависимости от назначения объекта и условий его эксплуатации понятие живучесть может включать несколько единичных свойств. Комплексный характер данного свойства определяется тем, что оно проявляется через возможность сохранять или восстанавливать выполнение требуемых функций при воздействии НВ. Если обратиться к определению живучестиданномувыше,можно заметить,чтовнемсодержатсядва ключевых слова: «сохранять» и «восстанавливать». Эти слова, очевидно, должны составить основу для формирования списка характеристикживучестисистем.

Рассмотрим структуру характеристик живучести сетевых информационных систем приведенную на (рис. 3.2.).

39

Рис. 3.2. Частные характеристики живучести

Непоражаемость — свойство системы, определяющее возможность предотвращать воздействия на неё НВ и изменения условий функционирования путём воздействия на

вероятностью предотвращения НВ и нерасчетных условий эксплуатации. Непоражаемость в значительной степени зависит от технических характеристик информационной системы. Для этого в информационную систему должны быть включены средства распознавания и противодействия НВ. Идеальный вариант — абсолютно непоражаемая система.

Неуязвимость — свойство системы, определяющее способность сохранять выполнение основных функций в заданном объеме и на протяжении заданного времени после получения повреждений от воздействия НВ и изменения условий функционирования. Количественно неуязвимость оценивается вероятностью выполнения основных функций системы после воздействия на неё НВ и нерасчетных условий эксплуатации. Идеальный вариант — абсолютно неуязвимая система. Неуязвимость можно увеличить путём проведения мероприятий по сохранению работоспособности после воздействия НВ. Частными характеристиками неуязвимости систем могут рассматриваться стойкость и отказоустойчивость.

40