2685

Пять вышеназванных показателей (F, R, f, λ, r) являются функциями времени, каждая из которых полностью характеризует распределение вероятностей, описывающее характер отказов. Если дана лишь одна из этих пяти функций, то, зная её, можно вычислить все остальные. Составляющие выражения представлены в табл. 5.1. Другими важными показателями надёжности являются как называемые моменты и

квантили наработки T. Так , i-й момент ( i =1,2,3,… ) ( ) определяется как математическое ожидание случайной величины ( ):

∞

( ) = E(T ) = t f (t)

∞

101

Таблица 5.1

Здесь предполагается, что lim t(i) RT(t) = 0. Это условие всегда выполняется, если i-й момент существует. Действительно, из неравенства

следует, что последнее выражение стремится к нулю при и →∞ т. е. при существовании несобственного интеграла, представляющего собой i-й момент.

Среди моментов особое значение имеют математическое ожидание наработки (средняя наработка до отказа)

наработки, содержащаяся в математическом ожидании и/или дисперсии, конечно, существенно менее значительна, чем знание любой из пяти вышеназванных функций. В общем случае о распределении наработки можно сделать вывод лишь

по совокупности всех моментов ( ) где i = 1, 2, 3, . .[14] Наряду с моментами для определенных задач имеют

значение и другие числовые характеристики случайных величин, такие, как параметры положения (мода, кривизна,

эксцесс) [47 - 49].

Особенно хорошо подходят для исследования вопросов надежности квантили распределения. Дело в том, что довольно часто необходимо с большой вероятностью гарантировать то,

103

что изделие не откажет в течение некоторого минимального промежутка времени. Корень tр уравнения

Р (Т ≤tр) = р (5.13)

называется p-квантилью распределения случайной величины T(0 < p < 1). В нашем случае это означает, что с вероятностью 1 —p отказ изделия последует в некоторый момент t> . Из (рис. 5.2) следует, что все распределения FT с одинаковыми значениями функции FT (tр) имеют одинаковую р-квантиль. Следовательно, указанием квантилей для различных p фиксируется ход функции распределения FT (t).

Рис. 5.2. p-квантиль tp.

Практика чаще говорит не о квантилях, а о доли отказавших элементов или квоте отказов. Так, если максимальная доля отказавших элементов должна составлять не более 95% за 10 000 ч эксплуатации, то это означает, что квантиль t0.95 должен быть >10 000 ч.

Рассмотрим применение теории восстановления. Теория воcстановления исследует простой класс

регенерирующих стохастических процессов. Рассматривается непрерывно функционирующая однокомпонентная система Х, которая в любой момент времени t≥0 может находиться в двух состояниях: работоспособности(что обозначается как Х(t)=1)b отказа (Х(t)=0)Времена работоспособности отказа интерпретируются как случайные величины [47 - 49].

Теория восстановления накладывает на рассматриваемую систему следующие ограничения .Прежде всего принимается,

104

что восстановления производятся сразу же после отказа безо всякой временной задержки, или точнее,

Кроме того предполагается, что производятся настолько полные и глубокие восстановления, что восстановленную после отказа систему можно считать равноценной новой. С учетом этого формулируются два условия:

1.Положительные случайные величины ,где i = 1,2, … должны быть стохастически независимы. Последовательность

величин с распределениями вероятностей определяет процесс восстановления.

105

При изучении процесса восстановления основную роль играет случайная величина N(t) ,определяемая числом

Случайную длительность V(t) до момента наступления ближайшего восстановления, отсчитываемую от произвольно выбранного момента времени t ,назовем прямым рекуррентным временем

момента времени последнего восстановления, назовем обратным рекуррентным временем

Мы будем говорить о стационарном процессе восстановления, если вероятность того, что в интервале (t-dt ,t) находится одна точка восстановления для всех t ,т.е.

стационарным.(При этом предполагается, что существует математическое ожидание m=E( ).

Определение 4 [47 - 49].Общие вопросы восстановления ,которые не являются ни обыкновенными ,ни стационарными ,называются модифицированными.

Для дальнейших рассуждений рассмотрим несколько предельных теорем ,основополагающих теории восстановления.

Теорема Блекуэллы :математическое ожидание числа восстановлений ,имеющих место в интервале (t,t+h) для любого процесса восстановления с ростом t все меньше отличается от h\m.

Равнозначна данной теореме так называемая узловая теорема теории восстановления: для определенной на

из n> 1 компонентов. В случае многокомпонентной системы каждому отдельному компоненту соответствует свой собственный процесс восстановления. Поведение системы в этом случае описывается совокупностью всех процессов восстановления. Если эти процессы независимы друг от друга ,то общее число восстановлений в системе получается наложением всех процессов восстановления компонент.[16]

Теорема. Пусть налагается n пуассоновских процессов восстановления с параметрами = 1/mv =1,2…n.Тогда восстановления процесса наложения образуют пуассоновский процесс восстановления с параметром:

107

5.2. Оценка жизнестойкости и эффективности защиты элементов информационно-телекоммуникационных сетей

Точный расчет общей живучести СИС представляет собой NP-сложную задачу, затраты на решение которой возрастают экспоненциально с ростом числа узлов и связей СИС. Из-за громоздкости расчета общей живучести для СИС больших и средних размеров в качестве альтернативного используется метод моделирования Монте-Карло для оценки живучести СИС в верхних и нижних пределах. Предлагается другая альтернатива для оценки живучести СИС – прогностическая модель искусственной нейросети. Нейронные СИС конструируются, тренируются и обосновываются с использованием альтернативной топологии, цель которой – общая надежность верхних связей и живучесть конкретной цепи. Используется иерархический подход, т.е. за общей нейронной сетью, закрывающей конструкцию всех СИС из соображений живучести, следует специальная нейронная СИС, придающая особую живучесть конструкции СИС. Представлены результаты решения для задачи из десяти узлов с использованием подхода перекрестной оценки групп. [47 - 49] Живучесть и цена – это два главных соображения при расчете коммуникационных СИС, особенно при расчете опорных телекоммуникационных СИС, глобальных и местных СИС, а также СИС передачи данных на промышленных объектах. Если узлы (станции, терминалы или компьютерные центры) СИС фиксированные, тогда главными конструкционными решениями должны стать выбор типа и маршрутизация связей (кабелей и линий) СИС с целью обеспечения должной надежности при ограниченных расходах. Задача предполагает следующие допущения:

1) задается размещение каждого узла СИС;

108

2)узлы достаточно надежны;

3)стоимость узла и живучесть фиксированы и известны;

4)каждое звено двунаправлено;

5)СИС не содержит избыточных звеньев;

6)звенья либо рабочие, либо поврежденные;

7)повреждения звеньев независимы;

8)ремонт не рассматривается [47 - 49].

Математически проблема может быть описана следующим образом:

N – количество узлов; (i, j) – связь между узлом i и j; xij – переменная принятия решения, xij { 0, 1} ; x – топология связей вида { x11, x12, x13, x ij..., xN,N-1 ..., } ; R(x) – живучесть СИС; R0 – требование к живучести СИС (минимальное значение живучести); Z – целевая функция; cij – стоимость связи (i, j); cmax – максимальное значение cij. Термин R(x) – R0 исключает те СИС, которые не удовлетворяют требованиям минимальной живучести, и направляет поиски на ряд пригодных СИС. Проблема конструирования СИС изучалась в литературе как численными методами (обычно сочетанием методов вершин и ребер) [58], так и эвристическими [3, 59 – 64]. Одной из особенностей этих методов является то, что живучесть должна рассчитываться для каждой из выбранных конструкций СИС, а часто это бывают тысячи и миллионы конструкций. Таким образом, предстоит найти альтернативу расчету общей живучести СИС для СИС реальных размеров. Проблема конструирования СИС особенно осложняется, когда речь идет о расчете общей живучести СИС, основанном на предположении, что все узлы могут связываться друг с другом.

109

Это равно постоянной доступности, когда время миссии не берется в расчет. Сложность возникает потому, что расчет живучести СИС представляет собой NP-сложную задачу, т.е. сложность расчета возрастает с ростом самой СИС [64]. Именно поэтому для реальных СИС точный расчет живучести не всегда практичен. Стохастический метод моделирования Монте-Карло может дать достаточно точное представление о живучести СИС [65, 66], однако моделирование должно выполняться несколько раз, чтобы обеспечить надежность оценки. Отсюда следует, что моделирование при расчете живучести СИС (т.е. коммуникационных систем) тоже требует значительных усилий. Нейронные СИС возникли благодаря силе, гибкости и надежности человеческого мозга. Это компьютерные математические аналоги основных биологических компонентов человеческого мозга – нейронов, синапсов и дендритов. Искусственные нейронные СИС (далее ИНС) состоят из многих простейших вычислительных элементов (суммирующих блоков – нейронов и весовых соединений – весов), которые могут работать параллельно или последовательно (рис. 5.3). Нейронная СИС начинается с произвольного состояния и «обучается» с использованием повторяющейся обработки тренируемого действия, т.е. ряда вводов с целевым выводом. Обучение происходит потому, что вычисляемая погрешность между вводом и целевым выводом используется для настройки весовых синапсов ИНС. Это повторяется до полной минимизации погрешности или до тех пор, пока веса уже больше не изменяются. В этом случае ИНС натренирована и веса фиксируются. Натренированная ИНС может быть использована для новых вводов с целью решения задач оценки или классификации [47 - 49].

110