2551

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Воронежский государственный технический университет

В.П. Литвиненко

ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Часть 1

ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2005

УДК 621.3.013

Литвиненко В.П.. Основы электротехники. Часть 1, Цепи постоянного тока. Линейные цепи при гармонических воздействиях: Учеб. пособие. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2005. 138 с.

Учебное пособие является первой частью курсов лекций по указанным дисциплинам, в которой рассматриваются модели электрических цепей и методы расчета токов и напряжений при постоянных и гармонических воздействиях. Излагаются основные теоретические положения теории электрических цепей, подробно рассматриваются методы решения задач, приводятся задания для самостоятельного решения. Обращается внимание на технику измерения амплитудных и фазовых соотношений, что необходимо при выполнении лабораторных работ. Даются рекомендации по применению пакета программ MathCAD для выполнения вычислений.

Издание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлениям 200400 «Биомедицинская техника», и 230100 «Информационная и вычислительная техника», специальностям 200401 «Биотехнические и медицинские аппараты и системы», 230104 «Системы автоматизированного проектирования».

Учебное пособие подготовлено на магнитном носителе в текстовом редакторе MS WORD 2003 и содержатся в файле ОЭ1.doc.

Табл. 6 Ил. 87. Библиогр.: 5 назв.

Научный редактор канд. техн. наук, проф. Г.В. Макаров.

Рецензенты: кафедра радиотехнических систем Воронежского института МВД России, начальник кафедры канд. техн. наук Н.С. Хохлов

канд. техн. наук Б.В. Матвеев

Литвиненко В.П. 2005 Оформление. Воронежский государственный тех-

нический университет, 2005

ВВЕДЕНИЕ

Курс общей электротехники является базовым для различных специальностей, на него опираются другие профилирующие дисциплины. Он охватывает материал основ теории линейных и нелинейных электрических цепей. В него включены элементы теории трехфазных и магнитных цепей, теории электрических измерений.

Помимо теоретических знаний при освоении материала необходимо приобрести навыки решения задач по соответствующим разделам (этому направлению в учебном пособии уделяется особое внимание), овладеть основами техники измерений.

Современная вычислительная техника предоставляет широкие возможности по моделированию электрических це-

пей (пакеты программ WorkBench, MicroCAP, OrCad и дру-

гие). Это направление подготовки специалистов имеет большое самостоятельное значение и является хорошим вспомогательным средством при изучении электрических цепей и сигналов в ходе аудиторных занятий и самостоятельной работы. К учебному пособию прилагаются примеры программ, которые можно получить у преподавателя.

Изучение общей электротехники базируется на курсах алгебры и высшей математики и раздела «Электричество и магнетизм» курса физики.

По курсу имеется учебная литература, например [1-3] с широким и глубоким охватом материала. В предлагаемом учебном пособии достаточно кратко излагаются основные разделы курса общей электротехники, отобран материал по узловым вопросам, обеспечивающим базовую подготовку с упором на практическое применение, и, прежде всего решение основных типов задач. Для углубленного изучения необходимо обратиться к учебникам [1-3] и задачникам [4,5].

3

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ.

1.1. Электрическая цепь

Описание работы и расчет (моделирование) электрических устройств можно проводить на базе теории электромагнитного поля. Этот подход приводит к сложным математическим моделям (системам дифференциальных уравнений в частных производных) и используется в основном при анализе сверхвысокочастотных устройств и антенн.

Значительно проще и удобнее моделировать электрические устройства на основе уравнений электрического равновесия токов и напряжений. На этой основе построена теория электрических цепей.

Электрическая цепь – это модель электрического устройства, свойства которого описываются в терминах тока и напряжения на базе уравнений электрического равновесия.

1.2. Заряд, ток, напряжение, мощность, энергия

Электрическим зарядом называют источник электрического поля, через которое заряды взаимодействуют друг с другом [3]. Электрические заряды могут быть положительными (ионы) и отрицательными (электроны и ионы). Разноименные заряды притягиваются, а одноименные – отталкиваются. Величина заряда измеряется в кулонах (К).

Электрический ток – это направленное движение носителей заряда в твердом теле (проводнике, полупроводнике), среде ионизированного газа (лампы дневного света, газоразрядные электронные приборы) и вакууме (электронно-лучевые трубки).

4

Величина (сила) тока равна отношению бесконечно малого заряда (количества электричества) q(t) , переносимого в

данный момент времени t через поперечное сечение провод-

Функцию времени i(t) называют мгновенным значением тока.

Ток измеряется в амперах (А), в технике широко используют значения в миллиамперах (1 мА=10-3 А), микроамперах (1 мкА=10-6 А) и наноамперах (1 нА=10-9 А), значения дольных приставок приведены в приложении 1.

Электрический потенциал u некоторой точки – это величина, равная отношению потенциальной энергии w , которой обладает заряд q в этой точке, к величине заряда,

перенос заряда из данной точки с потенциалом u в точку с нулевым потенциалом.

Электрическим напряжением u между двумя точками называют разность потенциалов между ними.

Если v2 - потенциал точки 2, а v1 - точки 1, то напряже-

5

ние между точками 2 и 1 равно

Напряжение измеряется в вольтах (В), используются значения в киловольтах (кВ), милливольтах (мВ) и микровольтах (мкВ).

Ток и напряжение характеризуются направлением, которое указывается стрелкой, как показано на рис. 1.1. Они задаются произвольно до начала расчетов. Жела-

тельно, чтобы ток и напряжение для одного элемента цепи имели бы одинаковые полоРис. 1.1 жительные направления. Обозначения могут иметь индексы, например, напряжение

u12 (t) между точками 1 и 2 на рис. 1.1.

Численные значения тока и напряжения характеризуются знаком. Если знак положительный, то это означает, что истинное положительное направление совпадает с заданным, а иначе они противоположны.

Движение зарядов в электрической цепи характеризуются энергией и мощностью. Для перемещения бесконечно малого заряда dq между точками 1 и 2 с напряжением u u12 в цепи на рис. 1.1 необходимо затратить бесконечно малую энергию dw , равную

6

При постоянных токе i I и напряжении u U энергия равна w(t,t0) UI (t t0) и неограниченно растет с течени-

ем времени. Это относится и к общему выражению (1.5), что делает энергию цепи достаточно неудобной технической характеристикой.

Мгновенная мощность p(t) в электрической цепи в момент времени t равна

а для постоянного тока мощность не зависит от времени,

Мгновенная мощность p(t) зависит от времени и мо-

жет быть положительной (цепь потребляет энергию извне) и отрицательной (цепь отдает ранее накопленную энергию).

Средняя мощность для периодических тока и напряжения определяется выражением

а для постоянного тока соответственно

7

Средняя мощность всегда неотрицательна, если внутри цепи отсутствуют источники электрической энергии.

Энергия измеряется в джоулях (Дж), а мгновенная и средняя мощности – в ваттах (Вт).

1.3. Элементы электрической цепи

Элемент – это неделимая часть электрической цепи. В физической цепи (радиоприемнике) имеются физические элементы (резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности, диоды, транзисторы и т.д.). Они имеют сложные свойства и математический аппарат их точного описания на основе теории электромагнитного поля.

При расчете электрической цепи необходимо разработать достаточно точные, простые и удобные с инженерной точки зрения модели физических элементов, которые в дальнейшем будем называть элементами.

Инженерные модели в электротехнике строятся на основе физических представлений о взаимосвязи в них тока и напряжения. Свойства резистивных двухполюсных (с двумя выводами) элементов описываются вольтамперными характеристиками (ВАХ) – зависимостью тока через элемент i от приложенного к нему напряжения u . Эта зависимость может быть прямолинейной (для резистора на рис. 1.2а) или нелинейной (для полупроводникового диода на рис.1.2б).

Рис. 1.2.

8

Элементы с прямолинейной ВАХ называют линейными, а иначе – нелинейными. Аналогично рассматриваются емкостные элементы, для которых используют кулон – вольтную характеристику (зависимость накопленного заряда от приложенного напряжения), и индуктивные с использованием вебер - амперной характеристики (зависимости магнитного потока от протекающего через элемент тока).

1.4. Модели основных линейных элементов цепи

Основными линейными элементами электрической цепи являются резистор, конденсатор и катушка индуктивности. Их условно-графические обозначения показаны на рис. 1.3 (сверху указаны названия физических элементов, а внизу – их моделей).

Рис. 1.3.

Сопротивление (модель резистора) в соответствии с рис. 1.4 строится на основе закона Ома в классической формулировке,

где R - параметр модели, называемый со-

противлением, а G - проводимостью,

9

Как видно из (1.10), сопротивление – это линейный элемент (с прямолинейной ВАХ). Его параметр - сопротивление R - измеряется в Омах (Ом) или внесистемных единицах – килоомах (кОм), мегаомах (Мом) или гигаомах (ГОм). Проводимость G определяется выражением (1.11), обратна сопротивлению и измеряется в 1/Ом. Сопротивление и проводимость элемента не зависят от величин тока и напряжения.

В сопротивлении ток и напряжение пропорциональны друг другу, имеют одинаковую форму.

Мгновенная мощность электрического тока в сопротивлении равна

Как видно, мгновенная мощность в сопротивлении не может быть отрицательна, то есть сопротивление всегда потребляет мощность (энергию), преобразуя ее в тепло или другие виды, например, в электромагнитное излучение. Сопротивление – это модель диссипативного элемента, рассеивающего электрическую энергию.

Емкость (модель конденсатора) в соответствии с рис.1.5 формируется исходя из того, что накопленный в ней заряд пропорционален приложенному напряжению,

(1 мкФ = 10-6 Ф), нанофарадах (1 нФ = 10-9 Ф) и пикофарадах

(1 пФ = 10-12 Ф).

Подставляя (1.13) в (1.1), получим модель для мгно-

венных значений тока и напряжения

Из (1.14) можно записать обратное выражение для модели,

Мгновенная электрическая мощность в емкости равна

Если напряжение положительно и увеличивается с течением времени (его производная больше нуля), то мгновенная мощность положительна и емкость накапливает в себе энергию электрического поля. Аналогичный процесс имеет место, если напряжение отрицательно и продолжает уменьшаться.

Если же напряжение емкости положительно и падает (отрицательно и растет), то мгновенная мощность отрица-

тельна, а емкость отдает во внешнюю цепь ранее накоплен-

ную энергию.

Таким образом, емкость – это элемент, накапливающий электрическую энергию (подобно банке, в которой накапливается вода, и из которой она может выливаться), потери энер-

гии в емкости отсутствуют.

Накопленная в емкости энергия определяется выраже-

нием

11

Индуктивность (модель катушки индуктивности)

формируется исходя из того, что потокосцепление , равное произведению магнитного потока B (в веберах) на число витков катушки n , прямо пропорционально протекающему через нее току i (рис. 1.6),

(1 мкГн = 10-6 Гн) и наногенри (1 нГн = 10-9 Гн).

Изменение потокосцепления в индуктивности вызывает электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции e(t) , равную

и направленную противоположно току и напряжению, тогда u(t) e(t) и модель катушки индуктивности для мгновен-

ных значений тока и напряжения принимает вид

Можно записать обратное выражение модели,

12

Мгновенная электрическая мощность в индуктивности

равна

Если ток положителен и растет, или отрицателен и падает, то мгновенная мощность положительна и индуктивность накапливает в себе энергию магнитного поля. Если же ток индуктивности положителен и падает (отрицателен и растет), то мгновенная мощность отрицательна, и индуктивность отдает во внешнюю цепь ранее накопленную энергию.

Таким образом, индуктивность (как и емкость) – это элемент, только накапливающий энергию, потери энергии в индуктивности отсутствуют.

Накопленная в индуктивности энергия равна

1.5. Законы Ома для элементов цепи

Рассмотренные модели элементов электрической цепи, определяющие взаимосвязь между мгновенными значениями токов и напряжений, будем в дальнейшем называть законами Ома для элементов цепи, хотя собственно закон Ома относится лишь к сопротивлению.

Эти соотношения сведены в табл. 1.1. Они являются линейными математическими операциями и относятся только

клинейным элементам.

Внелинейных элементах связь между током и напряжением существенно сложнее и в целом может быть описана нелинейными интегро-дифференциальными уравнениями, для которых отсутствуют общие методы решения.

13

Таблица 1.1 Законы Ома в элементах цепи для мгновенных значений тока и напряжения.

1.6.Расчет тока и напряжения в элементах цепи

Вкачестве примера

14

Тогда в показанном на рис. 1.4. сопротивлении при R 1 кОм напряжение равно u(t) Ri(t) (рис. 1.8а) и мощ-

ность p(t) u(t)i(t) (рис. 1.8б). Формы временных диаграмм тока и напряжения в сопротивлении совпадают, а произведение двух прямолинейных зависимостей u(t) и i(t) дает параболические кривые изменения мощности p(t) .

Рис. 1.8.

В емкости (рис.1.5) C 1мкФ мгновенные значения тока и напряжения связаны между собой выражениями (1.14) или (1.15). Для тока (рис.1.7) вида (1.24) из

15

интеграл (1.25) записывается в виде

(1.17). Как видно, емкость только накапливает энергию, так как разряд не происходит (ток вида рис. 1.7 принимает только положительные значения).

Для получения формулы мощности p(t) необходимо перемножить выражения (1.24) и (1.26) на соответствующих временных интервалах (получим полином третьей степени t ).

16

Энергия w(t) определяется из (1.17) при подстановке (1.26), что приводит к полиномам четвертой степени t .

Рис. 1.10

Для индуктивности рис. 1.6 L 1 Гн при токе, показанном на рис. 1.7 напряжение u(t) определяется выражением

(1.20)

17

Мощность определяется выражением (1.22), тогда для p(t) в милливаттах получим

дуктивности энергия вычисляется по формуле (1.23), тогда график w(t) имеет вид, показанный на рис. 1.12б.

Рис. 1.12

Как видно, мгновенная мощность с ростом тока на интервале времени от 0 до 1мс прямо пропорционально увеличивается, а накопленная в индуктивности энергия растет по

ся отрицательными (рис. 1.11 и рис. 1.12а), а это означат, что индуктивность отдает ранее накопленную энергию, которая начинает снижаться по квадратичному закону (рис. 1.12б).

Расчет сигналов и энергетических характеристик в элементах цепи R, L и C можно провести с помощью программы MathCAD, программа содержится в файле RLC.mcd.

18