Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2551

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Можно провести вычисление проводимости путем преобразования комплексного сопротивления из алгебраической формы в показательную,

arctg

Z R j

2 fCR

2,227 104 e j 1,105Ом..

2 fC

Тогда для проводимости получим

4,491 10 5 e j 1,105Сим.

2,227 104

e 1,105

Сопротивление

параллельного

соединения

двух элементов с

сопротивлениями Z1 и Z 2 опре-

деляется выражением

Z1 Z 2

Z 2

Комплексное сопротивление цепи со смешанным соединением элементов определяется следующим образом:

-в цепи выделяется фрагмент с простым (последовательным или параллельным) соединением элементов и определяется его сопротивление или проводимость;

-фрагмент заменяется эквивалентным элементом, в полученной цепи вновь выделяется простой фрагмент и повторяется предыдущее действие;

-эти действия повторяются до тех пор, пока цепь не трансформируется в один элемент с соответствующим сопротивлением или проводимостью.

Рассмотрим цепь, схема которой показана на рис. 5.2

при

1кОм,

C 1нФ,

106 рад/с и определим ее ком-

плексное сопротивление Z . В це-

пи выделяется простой парал-

лельный фрагмент из

элементов

R2C и определяется его сопро-

Рис. 5.2.

тивление Z 2 , равное

C R2

R2C

Тогда параллельный

фрагмент

R2C

заменяется

эквивалент-

ным элементом с сопротивлением Z 2

и схема цепи принимает

вид, показанный на рис. 5.3.

Для полученной последовательной цепи ее сопротивле-

ние Z равно

Z 2

R2 C

Рис. 5.3.

Подставляя исходные данные, получим

Z 103

103

1500

j500Ом.

1 j 106

103 10 9

5.6.Характеристики комплексного сопротивления

ипроводимости

Полное комплексное сопротивление Z в показательной форме можно записать в виде

100

		Ue		j u		U
Z	U	Ue				U	e j ( u i ) .	(5.19)
Z	I			j			e j ( u i ) .	(5.19)
	I		Ie	j	i	I
					i

Модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуд (действующих значений) напряжения и тока,

Z	U	.	(5.20)


	I

Аргумент комплексного сопротивления равен сдвигу фаз ме-

жду напряжением и током,

					u		i ,	(5.21)
Комплексная проводимость в показательной форме
имеет вид
Y	I		Ie	j	i		I e j ( i u ) ,	(5.22)

		Ue		j	u	U
	U	Ue				U

ее модуль равен отношению амплитуд (действующих значений) тока и напряжения,

	Z		U	,	(5.23)
			U
			I
			I
а аргумент – сдвигу фаз между током и напряжением,
		i		u .	(5.24)

Таким образом, комплексное сопротивление и проводимость характеризуют взаимосвязь амплитуд и начальных фаз напряжения и тока.

101

Представим комплексное сопротивление в алгебраической форме,

Z R jX ,

(5.25)

где R - активная а, X - реактивная составляющие комплексного сопротивления. Все величины в (5.25) измеряются в Омах.

Рассмотрим в качестве примера сопротивление цепи, показанной на рис. 5.2.

R 2 C

. (5.26)

1 j R2 C

R2 C 2

Как видно, активная R составляющая сопротивления Z равна

(5.27)

R2C 2

а реактивная X -

R 2 C

(5.28)

R2 C 2

и обе зависят от частоты сигнала.

Зависимости от частоты

активной R и реактивной

составляющих сопротивления для цепи рис. 5.2 показаны

на рис. 5.4. На низких частотах

0 емкость является раз-

рывом цепи и сопротивление Z

2000Ом. На высо-

ких частотах

емкость представляет собой короткое за-

мыкание (ее сопротивление стремится к нулю) и сопротивление цепи равно Z R1 1000Ом. И в том и другом случаях

реактивное сопротивление стремится к нулю.

102

При 106 рад/с получается ранее вычисленное значе-

ние Z 1500 j500Ом.

Рис. 5.4.

Аналогичный анализ проводимости цепи, показанной на рис. 5.2, проведите самостоятельно.

5.7. Комплексная мощность

Полная комплексная мощность S					определя-

ется выражением
	1		*	,	(5.29)
S	2	U	I	,	(5.29)
где I * Ie j i - комплексно-сопряженная					амплитуда
тока.

Это комплексная величина с действительной и мнимой частями,

S	1	Ue j u Ie j i	1	UIe j ( u i )	1	UI cos( )	j	1	UI sin( ) . (5.30)

2			2		2			2

Комплексная мощность измеряется в ВА (вольт-амперах). 103

Как видно, действительная (активная) составляющая комплексной мощности представляет собой среднюю мощ-

ность P , потребляемую двухполюсником,
P	1	UI cos( ) .	(5.31)
	2

Как уже отмечалось, активная мощность измеряется в ваттах. Мнимая (реактивная) составляющая Q комплексной

мощности равна

Q	1	UI sin( )	(5.32)
	2

и характеризует процессы накопления и обмена энергией с источником в реактивных элементах цепи. Эта мощность не расходуется цепью и измеряется в ВАр (вольт-амперы реактивные), она численно равна максимальной скорости запасания энергии в цепи. Реактивная мощность может быть положительной (при 0 ), при этом энергия запасается в магнитном

поле индуктивностей, или отрицательной (при 0 ) при на-

коплении энергии в электрическом поле емкостных элементов. Модуль комплексной мощности равен

S		1	UI	(5.33)
	2

и измеряется в ВА. Величину	S называют полной мощно-

стью, она определяется активной и реактивной мощностями,

S P2 Q2 .

(5.34)

Можно записать

104

P S cos( ) ,

(5.35)

величину cos( ) называют коэффициентом мощности. При

0 потребляемая мощность P максимальна и равна полной мощности S , а реактивная мощность Q равна нулю.

Если для вычисления мощности используются действующие значения напряжения и тока, то в приведенных соотношениях удаляется множитель 1/ 2 .

5.8. Расчет мощности, потребляемой двухполюсником

Зная комплексные амплитуды напряжения и тока, согласно (5.29), можно определить комплексную мощность, на-

пример,

j100

10e

j 200

А получим, что сдвиг

при U

В и I

фаз

между

напряжением

током

равен

30 20

500 . Тогда комплексная мощность равна

j100

j 200

j500

ВА,

10e

25e

активная составляющая (потребляемая мощность) -

Re S

25cos( 500 ) 16,07 Вт,

реактивная мощность –

QIm S 25sin( 500 ) 19,151 ВАр,

аполная мощность -

S 12 UI 25 ВА.

105

Отрицательная реактивная мощность свидетельствует о том, что цепь накапливает энергию в емкостном элементе. Так как

коэффициент мощности равен cos( ) cos( 500 ) 0,643 , то

потребляемая мощность существенно меньше полной. Мощности можно определить, зная комплексную ам-

плитуду напряжения (или тока) и комплексное сопротивление

(проводимость) цепи.

Рассмотрим цепь на рис.

5.2 с подключенным к ней

идеальным

источником

гармо-

нического напряжения e(t) , по-

казанную

на

рис.

5.5.при

R2 1кОм,

1нФ,

Рис. 5.5.

e(t)

5 cos(106 t

300 ) В.

Ком-

плексная

амплитуда

ЭДС

j 300

В, а

источника равна E

комплексное сопротивление цепи было определено ранее,

1500

j500 Ом.

j R2 C

По закону Ома найдем комплексную амплитуду тока I ,

j300

3,162e j11,56

мА,

1500

j500

1,581 103 e j18,40

а полная комплексная мощность равна

j300 2

25e

j 600

1,6 10 2 e j 41,56

ВА,

1500

j500

1,581 103

e j18,40

или в алгебраической форме

106

	S 0,012 j0.01 ВА.
Таким образом, потребляемая цепью		мощность равна
P 0,012Вт,	реактивная мощность - Q	0,01 ВАр, а полная
мощность - S	0,016 ВА.

На практике наибольший интерес представляет определение мощности, которую потребляет цепь от одного или нескольких источников. Необходимо помнить, что в электрической цепи мощность потребляется только активными элементами – сопротивлениями.

Потребляемую мощность в цепи, содержащей несколько сопротивлений, можно определить, если известны амплитуды (действующие значения) токов или напряжений на этих элементах.

Мощность, потребляемая цепью, содержащей несколько сопротивлений, равна сумме мощностей, потребляемой каждым из этих элементах в отдельности.

Расчет токов и напряжений на элементах цепи будет

рассмотрен в дальнейшем.
В цепи с комплексным сопротивлением Z						R jX при
протекании через нее тока с		амплитудой			I	потребляемая
мощность равна
P	1	I	2	R .		(5.36)
P	2	I		R .		(5.36)
	2
Аналогично в цепи с		комплексной			проводимостью

Y G jB при наличии на ней напряжения с амплитудой U потребляемая мощность будет равна

P		1	U 2G .	(5.37)
	2

	107

5.9. Максимизация потребляемой мощности

Винженерной практике часто возникает необходимость обеспечить максимум активной мощности, передаваемой от источника сигнала в нагрузку.

Вкачестве примеров можно выделить задачу максимизации мощности на валу электродвигателя при питании его от силовой сети. Аналогичная проблема возникает при передаче высокочастотной мощности от выходного усилителя радиопередатчика в антенну для излучения электромагнитных волн (высокочастотная мощность стоит очень дорого как с экономической, так и с технической точки зрения).

Схема электрической цепи показана на рис. 5.6. В цепь

включен		реальный			источ-
ник напряжения с ком-
плексной амплитудой ЭДС
E	и	внутренним ком-

плексным			сопротивлением
Z R jX , к которому
подключена				нагрузка с
комплексным				сопротивле-
нием Z Н			RН	jX Н .
Рис. 5.6.	Необходимо				подоб-
рать	такое		сопротивление

нагрузки, при котором она потребляла бы от источника максимальную мощность.

Комплексная амплитуда тока в цепи I			равна
	E	E
I				,
I				,
	Z Z Н	R RН j( X X	Н )

тогда для амплитуды тока получим

108

		I			I					E					,		(5.38)
										E


							R	RН	2		X	X		2
									2					2
													Н
в выражение для потребляемой мощности примет вид
P	1	I	2	R		1			E 2 RН							,	(5.39)
P	2	I		R	Н	2 R		RН		2	X	X		2		,	(5.39)
					Н					2				2
														Н

так как мощность потребляется только в активном сопротив-

лении RН .

Необходимо определить максимум (5.39) по двум независимым переменным – активному RН и реактивному X Н со-

противлениям нагрузки. Как видно, величина	X Н	присутству-
ет только в знаменателе дроби и сумма X	X Н	возводится в

квадрат. Минимум знаменателя будет иметь место при условии

X X Н 0 или X Н X . (5.40)

Таким образом, реактивное сопротивление нагрузки должно быть по модулю равно реактивному сопротивлению источника и иметь противоположный характер (если у источника сопротивление индуктивно, то у нагрузки оно должно быть емкостным и наоборот). В результате получим

max P	1	E 2 RН			.	(5.41)
	2	R R		2
RН			Н

Максимум (5.41) по RН		можно найти, вычислив произ-

водную этой функции и приравняв ее нулю. В результате получим (проделайте это самостоятельно) условия, при которых

109

потребляемая нагрузкой мощность максимальна,

X Н	X ,	(5.42)
RН	R,

и соответствующую величину мощности

		E 2
P			.					(5.43)
P			.					(5.43)
max		8R
		8R
Зависимости мощности	в нагрузке				P	от	RН	при
		X		X Н	0 (сплошная ли-
	ния)			и	X	X Н		10 Ом
	(пунктирная линия) показа-
	ны на рис. 5.7 при R							10 Ом
	и E			1 В.
				Как видно, при от-
	клонении				от	оптимальных
	условий (5.42) потребляемая
	нагрузкой мощность замет-
Рис. 5.7.		но снижается.
				Рассмотрим			коэффи-

циент полезного действия (КПД) – отношение мощности в нагрузке к мощности, потребляемой от источника сигнала, равной

		1		E 2
PИСТ					.		(5.44)
PИСТ					.		(5.44)
			2 R	RН
тогда КПД равен
		P		RН		.	(5.45)
	PИСТ			R RН		.	(5.45)
	PИСТ			R RН
		110

Зависимость КПД от активной составляющей сопротивления нагрузки показана на рис. 5.8. Как видно, при условии передачи максимума мощности в нагрузку КПД равен 0,5 (50%), то есть половина мощности источника потребляется его же внутренним со-

Рис. 5.8. противлением (происходит нагрев источника). При повышении RН КПД увеличивается, однако при этом снижается мощ-

ность, передаваемая в нагрузку.

5.10. Задания для самостоятельного решения

Задание 5.1. Определите комплексные амплитуды гармонических сигналов

u(t)	3cos(100t	450 ) В, u(t)	10cos(103 t	/ 3) мВ
i(t)	5sin(3 105 t	300 ) мА, i(t)	0,4 sin(106 t	) А.

Задание 5.2. По заданной комплексной амплитуде определите мгновенные значения сигналов, их амплитуды и начальные фазы

			2 j4		2e	i 400	В,			j / 3	мВ,
U 2 j4		В, U		мВ, U				U 8e
I	7 j4 мА, I		j4 А, I 2 je i 400 мА,					I	25мкА.

Задание 5.3. Вычислите сумму, разность, произведение и ча-

стное комплексных чисел S1

и S

2 , результаты запишите в ал-

гебраической и показательной формах.

4-j3

7-j4

-j

6e j 300

20+j3

j / 4

S 2

-8+j2

-j5

-1-j

5+j2

10e j / 2

j 600

111

Задание 5.4. Для чисел из задания 5.3 вычислите обратную величину 1/ S .

Задание 5.5. Для чисел из задания 5.3 вычислите их модуль и аргумент.

Задание 5.6. Найдите полное комплексное сопротивление Z и проводимость Y показанной на ри-

сунке цепи при R1	R2 10 кОм и
C 2 нФ на частоте	106 рад/c.

Задание 5.7. Вычислите полное комплексное сопротивление

Z	и проводимость Y	показанной на
рисунке цепи при R1		R2 2 кОм и
L	10мГн на частоте	105 рад/c.

Задание 5.8. Вычислите полное комплексное сопротивление

Z	и проводимость Y показанной на
рисунке		цепи	при	R1	1кОм,
L	1 мГн	и C	1нФ	на	частоте
	106 рад/c.

Задание 5.9. Определите полное комплексное сопротивление цепи из задания 5.8. Найдите формулы его активной и реактивной составляющих, постройте их графики в зависимости от частоты сигнала.

112

Задание 5.10. Вычислите мощность, потребляемую показанной на рисунке цепью при ЭДС ис-

точника	e(t) 5sin(106 t 300 ) В,
R1 R2	10 кОм и C 2 нФ

Задание 5.11. Определите мощность, потребляемую показанной на рисунке цепью от источника

тока i0 (t) 10cos(106 t	/ 3) мА при
R1 1кОм, L 1 мГн и C	1нФ.

113

6.РАСЧЕТ ГАРМОНИЧЕСКИХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ

6.1. Общие замечания

Втретьем разделе рассмотрены методы расчета цепей постоянного тока (повторите соответствующий материал). В этом случае цепи были резистивными, индуктивности и емкости отсутствовали.

Вцепях с гармоническими сигналами токи и напряжения определяются методом комплексных амплитуд, в рамках которого реализуются различные методы расчета. Все они ис-

пользуют комплексные амплитуды сигналов и комплексные сопротивления (проводимости) элементов цепи.

При расчетах не забывайте обозначать пропис-

ными буквами и отмечать точкой сверху комплексные амплитуды токов и напряжений, и записывать мнимую единицу перед реактивными сопротивлениями или проводимостями.

6.2. Расчет токов и напряжений на основе закона Ома

С помощью закона Ома можно определять токи и напряжения в сравнительно простых цепях с одним источником сигнала.

Расчет проводится следующим образом. Прежде всего, определяется комплексное входное сопротивление (или проводимость) цепи относительно точек ее подключения к источнику. Затем при известной ЭДС источника напряжения по закону Ома находится общий ток цепи, а при заданном источнике тока - общее напряжение на ее зажимах.

Далее цепь представляется как последовательное или параллельное соединение двухполюсников, и вычисляются ли-

114

бо напряжения на них, либо протекающие через них токи. Эти расчеты продолжаются до тех пор, пока не будут определены искомые токи или напряжения.

В качестве примера рассмотрим расчет токов и напряжений в цепи, показанной на рис. 6.1 при ЭДС источника

e(t) 5 cos(106 t

300 ) В,

1кОм и C

1нФ.

Определим общее

сопротивление цепи от-

носительно полюсов ис-

точника

(этот

расчет

проведен для цепи на

Рис. 6.1

рис. 5.5),

1500

j500

Ом

R2C

и комплексную амплитуду ЭДС источника напряжения

j 300

В,

тогда комплексная амплитуда общего тока цепи I1

равна

j300

3,162e

j11,56

мА.

Z 1500

j500

1,581 103 e j18,4

По закону Ома комплексная амплитуда U1

напряжения

на сопротивлении R1

запишется в виде

3,162e

j11,560

3,162e

j11,560

В.

I1 R1

Напряжения на параллельно соединенных элементах R2

и C

115

одинаковы и их комплексные амплитуды равны

U 2

U C

j R2 C

3,162 10

j11,560

103

1,232

j1,866 2,236e

j56,560

В.

1 j

По найденным напряжениям найдем токи в элементах R2 и C ,

j56,560

I 2

U 2

2,236e

2,236 10 3 e j 56,560 мA,

103

2,236e

j 56,560

2,236 10

j 33,440

мA.

j CU C

j10 10

На рис. 6.2 показана векторная диаграмма токов и напряжений в цепи на рис. 6.1, построенная в пакете программ MathCAD (символические обозначения векторов и пунктирные линии их суммирования добавлены в с помощью программы Paint). Как видно из проведенных расчетов, численные значения напря-

жений U	1	и U	2	UC (в вольтах)

и токов I1 и I 2 (в миллиамперах)

соответственно одинаковы, поэтому отображающие их векторы на диаграмме совпадают.

Суммирование векторов (в соответствии с показанными на Рис.6.2. рис. 6.2 пунктирными линиями) подтверждает первый и второй

законы Кирхгофа.

116

6.3. Общий метод расчета по уравнениям Кирхгофа

В исследуемой цепи вводятся обозначения и задаются положительные направления всех токов и напряжений всех ветвей (элементов) цепи. Определяется число узлов q , число

ветвей p, не содержащих идеальные источники тока, и количество уравнений, которые необходимо составить по первому (q 1) и второму ( p q 1) законам Кирхгофа.

Затем для каждого элемента и ветви цепи по закону Ома записываются компонентные уравнения связи токов и напряжений, всего p уравнений. Для (q 1) узлов формируются

уравнения первого закона Кирхгофа, а для ( p q 1) независимых контуров – уравнения второго закона Кирхгофа, всего p топологических уравнений.

Выражая токи ветвей через напряжения из компонентных уравнений, и подставляя их в уравнения первого закона Кирхгофа, получим систему из p уравнений для напряжений

ветвей (метод напряжений ветвей). Если же выразить из компонентных уравнений напряжения ветвей через их токи и подставить их в уравнения второго закона Кирхгофа, то получим p уравнений для токов ветвей (метод токов ветвей).

Решение системы уравнений электрического равновесия цепи позволяет определить комплексные амплитуды всех токов и напряжений.

Рассмотрим пример цепи показанной на рис. 6.3 при

R1	R2 1кОм,	L 1 мГн,
e(t)	5 sin(106 t	200 ) В и

	i	0	(t) 10cos(106 t 100 ) мА.

	В ней введены обозначе-
	ния и заданы положитель-
Рис. 6.3.	ные направления всех то-
	ков и напряжений. Опре-

делим комплексные амплитуды сигналов источников, при этом

117

ЭДС источника напряжения необходимо преобразовать к виду

e(t)	5sin(106 t		200 )		5 cos(106 t			1100 ) мА,
тогда
				5e	j1100	В,
			E	5e		В,
			I0	10e j100 мА.
Запишем подсистему компонентных уравнений цепи,
U	1	R1 I1 ,	U 2	R2 I 2 ,			U L	j LI L .

В цепи на рис. 6.3 два узла ( q							2 ), поэтому по первому
закону Кирхгофа необходимо составить (q								1) 1 уравнение
		I1	I 2	I L	I0		0 .

Имеется три ветви p, не содержащих идеальные источники тока, тогда по второму закону Кирхгофа необходимо составить ( p q 1) 2 уравнений для контуров R1 , R2 , E и R2 L соответственно (обход контура по часовой стрелке),

U1		U L	E,

U	2	U L	0.

В результате получим систему уравнений цепи рис. 6.3,

U	1	R1 I1 ,	U	2	R2 I	2 ,	U L	j LI L ,

		I1	I 2		I L	I0	0 ,
			U1		U L	E,

			U	2	U L	0.

					118

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.81 Mб32539.pdf
#
15.11.20221.81 Mб12544.pdf
#
15.11.20221.81 Mб02545.pdf
#
15.11.20221.81 Mб02546.pdf
#
15.11.20221.82 Mб02550.pdf
#
15.11.20221.82 Mб02551.pdf
#
15.11.20221.83 Mб02553.pdf
#
15.11.20221.83 Mб02555.pdf
#
15.11.20221.83 Mб12556.pdf
#
15.11.20221.83 Mб22558.pdf
#
15.11.20221.84 Mб02561.pdf