2551

Подставляя в уравнения законов Кирхгофа компонентные уравнения, получим

Подставляя полученные токи во второе уравнение, можно записать соотношение

из которого определяется ток индуктивности

Остальные токи равны

В результате вычислений (проделайте их самостоятельно) получим

По закону Ома (из компонентных уравнений) нетрудно вычислить напряжения на элементах цепи,

Как видно напряжения на индуктивности L и сопротивлении R2 одинаковы, так как они соединены параллельно.

Кроме того, начальные фазы токов и напряжений в сопротивлениях совпадают, а разность фаз между напряжением и током

ние на индуктивности опережает ток через нее на 900. Подставьте полученные результаты в уравнения перво-

го и второго законов Кирхгофа и убедитесь, что они выполняются. Постройте векторную диаграмму токов и напряжений в цепи рис. 6.3.

120

6.4. Метод контурных токов

Как уже отмечалось в подразделе 3.4, метод контурных токов базируется на уравнениях второго закона Кирхгофа для p q 1 независимых контуров, где p - общее число ветвей цепи. Для выбранных независимых контуров вводятся обозначения и задаются положительные направления p q 1 ком-

плексных амплитуд кольцевых контурных токов I kk , k -

номер контура (используется двойная индексация, чтобы не путать контурные токи с токами ветвей).

Через контурные токи выражаются токи всех ветвей цепи и по закону Ома определяются напряжения ветвей, а затем записываются уравнения второго закона Кирхгофа для контуров, не содержащих идеальные источники тока. Для контуров с идеальными источниками тока записываются уравнения связи контурных токов и тока источника.

Система содержит p q 1 уравнений для комплекс-

ных амплитуд контурных токов. По найденным контурным токам определяются искомые токи или напряжения ветвей.

и противоположен I 22 ), аналогично ток I 2 создается разно-

тогда по второму закону Кирхгофа для первого и второго контуров получим

Для третьего контура с идеальным источником тока уравнение второго закона Кирхгофа не составляется.

В результате система уравнений метода контурных токов примет вид

R1 I11 j L(I11 I 22 ) E,

R2 (I 22 I 0 ) j L(I11 I 22 ) 0.

122

Выразим из первого уравнения ток I11 и подставим его во второе уравнение, из которого определим ток I 22 , в результате найдем контурные токи

Как видно, выражение для тока I11 совпадает с полученной ранее формулой для тока ветви I1 , для которого получаем

а для остальных токов ветвей можно записать

123

Полученные токи ветвей совпадают с токами, полученными ранее общим методом расчета по уравнениям Кирхгофа. Вычислив их, можно найти напряжения на элементах цепи. Проведите самостоятельно все необходимые вычисления.

Решить систему уравнений метода контурных токов численно можно с помощью пакета программ MathCAD. Листинг программы показан на рис. 6.5. Расчет проводится с помощью символических вычислений MathCAD, так как коэффициенты системы уравнений комплексные.

Результаты расчета – значения контурных токов - содержатся в векторе X , I11 X 0 , I 22 X1 . Далее проводится

вычисление комплексных амплитуд токов ветвей. Полученные значения совпадают с полученными ранее общим методом расчета по уравнениям Кирхгофа.

общего метода расчета цепи по уравнениям Кирхгофа.

6.5. Метод узловых напряжений (потенциалов)

Как уже отмечалось в подразделе 3.5 (повторите этот материал), метод узловых напряжений базируется на первом законе Кирхгофа. В цепи выделяются q 1 потенциальных

узлов, последний q -й узел объявляется базисным (ему при-

сваивается нулевой потенциал, он отмечается символом «земля»), а для остальных задаются узловые напряжения (потен124

циалы) с положительным направлением в базисный узел.

Рис. 6.5.

125

Через узловые напряжения с помощью закона Ома и второго закона Кирхгофа выражаются токи всех ветвей цепи, которые подставляются в q 1 уравнений первого закона

Кирхгофа, в результате получается система уравнений метода узловых напряжений.

Рассмотрим цепь, показанную на рис. 6.3 при тех же исходных данных и зададим в ней узловые напряжения, как показано на рис. 6.6. Из

Для расчета цепи методом узловых напряжений необходимо определить комплексные амплитуды источников и комплексные сопротивления элементов.

По закону Ома для комплексных амплитуд токов I L и I 2 можно записать

По первому закону Кирхгофа для узла 1 получим

I1 I L I 2 I0 .

Подставляя в это уравнения токи ветвей, выраженные через узловое напряжение, получим уравнение метода узловых на-

пряжений в виде

Подставляя численные значения параметров и частоты, получим численное значение узлового напряжения

С помощью найденной величины U11 нетрудно вычис-

лить токи ветвей и напряжения на элементах цепи. Проведите эти расчеты самостоятельно, сравните результаты с полученными ранее значениями.

Метод узловых напряжений требует составления и решения q 1 уравнений, тогда он будет эффективней метода контурных токов, если

p q 1 q 1, 127

и целесообразнее использовать метод узловых напряжений.

6.6. Метод (принцип) наложения

Метод (принцип) наложения можно сформулировать следующим образом.

Реакция цепи (ток или напряжение) на воздействие нескольких источников сигнала равна сумме реакций цепи на воздействие каждого источника в отдельности, при этом остальные источники должны быть выключены

– заменены своими внутренними сопротивлениями. Выключенный идеальный источник напряжения заменяется коротким замыканием, а идеальный источник тока – разрывом (холостым ходом) содержащей источник ветви.

Метод наложения применим только к линейной цепи. Исходная цепь с несколькими источниками представляется несколькими более простыми цепями с одним источником, что упрощает расчеты.

Рассмотрим цепь, показанную на рис. 6.3. В ней два источника сигнала, тогда в соответствии с методом наложения, последовательно отключая источники, получим две цепи, по-

128

казанные на рис. 6.7а и рис. 6.7б соответственно.

Рис. 6.7.

Определим напряжение на индуктивности U L в исходной цепи. По принципу наложения можно записать

где U L - комплексная амплитуда напряжения на индуктивности в схеме на рис. 6.7а, а U L - в схеме на рис. 6.7б. Их можно определить с помощью закона Ома в виде

Складывая полученные реакции цепи на действие каждого источника в отдельности, получим

что соответствует результатам, полученным ранее по методам контурных токов и узловых напряжений (убедитесь в этом самостоятельно).

6.7. Теорема об эквивалентном источнике

Теорема об эквивалентном источнике (теорема Тевенена) формулируется в двух вариантах применительно к источникам напряжения и тока и применима только к линейному активному двухполюснику (двухполюсной цепи, содержащей пассивные элементы R, L,C и источники сигнала).

Любой линейный активный двухполюсник можно заменить эквивалентным реальным источником на-

пряжения с ЭДС, равной напряжению холостого хода (на разомкнутых выводах) активного двухполюсника, и с внутренним сопротивлением, равным сопротивлению пассивной части активного двухполюсника (его сопротивлению при выключенных источниках, когда идеальный источник напряжения заменяется коротким замыканием, а идеальный источник тока – разрывом цепи).

Любой линейный активный двухполюсник можно заменить эквивалентным реальным источником тока,

ток которого равен току короткого замыкания (при замкнутых выводах) активного двухполюсника, а внутреннее сопротивление равно сопротивлению пассивной части активного двухполюсника.

Теорема об эквивалентном источнике является мощным методом расчета линейных цепей. Методика ее применения заключается в следующем. В исходной цепи выделяется ветвь (элемент), в которой определяется ток или напряжение. Вся ос-

130

тальная часть цепи рассматривается как активный двухполюсник, который в соответствии с теоремой заменяется эквивалентным источником тока или напряжения. Для этого любым из рассмотренных методов определяются напряжение холостого хода (или ток короткого замыкания) двухполюсника и его внутреннее сопротивление, затем двухполюсник заменяется эквивалентным источником и проводится расчет упрощенной цепи.

Рассмотрим цепь, показанную на рис. 6.3, в которой требуется найти напряжение на индуктивности. Выделяя индуктивность, из оставшейся части образуем активный двухполюсник (АД), как показано на рис. 6.8 (как видно, полученная схема не отли-

чается от исходной). Рис. 6.8. Схема активного

двухполюсника АД показана на рис. 6.9а, а ее пассивная часть (пассивный двухполюсник ПД) – на рис. 6.9б.

Рис. 6.9.

Для цепи на рис. 6.9а нетрудно найти комплексную амплитуду напряжения холостого хода U ХХ , используя для этого

метод наложения (проделайте расчеты самостоятельно), тогда получим

131

Тогда в соответствии с теоремой комплексная амплитуда ЭДС

Внутренне сопротивление Z ВН пассивной части актив-

ного двухполюсника определяем в соответствии со схемой на рис. 6.9б, в результате получим

Заменяя активный двухполюсник в схеме на рис. 6.8 реальным эквивалентным источником напряжения, получим цепь, показанную на рис. 6.10. По закону Ома определим комплексную амплитуду напряжения на индуктивности,

Результат совпадает с полученным ранее другими методами. Приведенный пример свидетельствует о высокой эффективности рассмотренного метода.

132

6.8. Общие рекомендации по расчету цепей

При расчете токов и напряжений в электрической цепи необходимо прежде всего обратить внимание на тип источ-

ников сигнала:

-источники постоянных сигналов;

-источники гармонических сигналов;

-источники переменных негармонических сигналов. Для цепи постоянного тока составляется эквивалентная

схема (индуктивности заменяются коротким замыканием, а емкости – разрывом цепи), а затем производится расчет постоянных токов и напряжений с использованием различных методов.

В цепи с гармоническими сигналами расчет проводится

методом комплексных амплитуд, при этом определяются комплексные амплитуды источников тока и напряжения и комплексные сопротивления элементов и ветвей цепи, а затем используются различные методы расчета.

При негармонических сигналах используются уравнения законов Ома и Кирхгофа в интегро-дифференциальной форме (эти методы будут рассмотрены в дальнейшем).

Для постоянных и негармонических сигналов не при-

менимы комплексные амплитуды и комплексные сопро-

тивления элементов цепи, эти понятия можно использовать

только в цепях с гармоническими сигналами.

6.9. Задания для самостоятельного решения

Задание 6.1. Рассчитайте все гармонические токи и напряжения в показанных на рисунках цепях, используя

-общий метод расчета по уравнениям Кирхгофа; -метод контурных токов;

-метод узловых напряжений;

-метод наложения;

-теорему об эквивалентном источнике.

133

При вычислениях примите равными все сопротивления 1 кОм, индуктивности 1 мГн, емкости 1 нФ, ЭДС источника

различными методами, оцените их эффективность.

Рис. 6.11

134