2418

Выражения для первых трех коэффициентов матрицы инертности изгибного состояния

Рассматривается наиболее важный и широко распространенный случай динамического анализа – исследование собственных колебаний конструкций без диссипации энергии.

Исследование частот и форм собственных колебаний упругих систем осуществлено на основе матричного уравнения [A]{x} [B]{x}, соответствующего обобщенной проблеме соб-

ственных значений. Метод конечных элементов, примененный к задачам такого типа, приводит согласно [7] к уравнению

[K]{x} [M ]{x} ,

60

где: [K] – матрица жесткости системы; [M] – матрица инертности;

– собственные значения.

Определение частот и форм выполнено в рамках неполной проблемы собственных значений [7]. Для ее решения выбран наиболее простой метод обратной итерации.

Тестирование матрицы инертности трапециевидного конечного элемента проведено на ряде аналитических задач и численных примеров, выполненных другими авторами.

1. Собственные частоты колебаний прямоугольной упругой пластинки, защемленной по одной короткой стороне и свободной по трем другим (рис. 39).

Рис. 39. Сетка элементов защемленной прямоугольной пластинки:

(a=2.54 10-2 м, b=2a, t=0.25 10-2 м, E=2.02 1011 H/м2, = 0.3, = 7798 кг/м3)

В таблице 1 приведены значения первых трех частот, найденные различными способами. При исследованиях использованы результаты решения рассматриваемой проблемы в среде программного продукта Pro/MECHANICA [8].

61

2. Собственные частоты колебаний косоугольной упругой пластинки (рис. 40), защемленной вдоль двух смежных сторон.

y

Рис. 40. Конечноэлементная сетка косоугольной пластинки:

(a=6 10-2 м, t=0.25 10-2 м, =26 , E=2.02 1011 H/м2, = 0.3, = 7798 кг/м3)

С целью простейшего разбиения указанной пластинки использована конечноэлементная сетка, образованная границами шести трапециевидных элементов. Результаты представлены в таблице 2.

62

Таблица 2

Низшие частоты собственных колебаний косоугольной пластинки

3. Найдены собственные частоты и формы кольцевой пластинки (рис. 41), защемленной вдоль стороны большего радиуса.

t=0,25 .10-2

M

Рис. 41. Конечноэлементная сетка защемленной кольцевой пластинки

Низшие частоты собственных колебаний, вычисленные аналитически [9] и полученные при конечноэлементном моделировании представлены в таблице 3.

63

Собственные формы, соответствующие найденным частотам показаны на рис. 42–45.

64

4. Тестирование матрицы инертности трапециевидного элемента проведено также при определении собственных частот цилиндрической оболочки, защемленной с двух сторон (рис. 46). Пример взят из [10], размеры указаны на рисунке.

3,0

Рис. 46. Защемленная цилиндрическая оболочка

(размеры в м, =1 кг/м3, E = 104 Па, = 0.2)

Решение сравнивалось с результатами исследований при помощи комплекса Pro-MECHANICA, а также конечноэлементного моделирования пластинчатыми элементами треугольной формы и элементом CAU2W30 (Табл. 4).

Таблица 4

Минимальная частота собственных колебаний защемленной цилиндрической оболочки

Расхождение результатов при определении низшей собственной частоты не превышает 5%.

66

5. Поведение цилиндрической оболочки с вырезом при собственных колебаниях рассмотрено на примере, описанном в [11]. На рис. 47 изображена исследуемая оболочка и приведены ее параметры.

Рис. 47. Цилиндрическая оболочка с вырезом

(размеры в м, =7800 кг/м3, E = 2.1 1011 Па, = 0.3)

Собственные частоты, полученные при конечноэлементном моделировании с использованием тестируемого элемента отличаются от соответствующих значений представленных в [11] не более, чем на 5%. Некоторые формы собственных колебаний показаны на рис. 48–51.

6. В качестве примеров использования трапециевидного конечного элемента рассмотрены задачи определения собственных частот и форм конической оболочки и оболочки в виде сектора тора. Оболочка толщиной 0.1 10–2 м в виде прямого усеченного конуса длиной 15 10–2 м защемлена по стороне, имеющий радиус. 7 10–2 м; сторона конуса меньшего радиуса 4 10–2 м – свободна. В таблице 5 приведены собственные частоты, определенные численно разными авторами.

67