2418

y

Обход узлов производится против хода часовой стрелки. Шесть компонент перемещений элемента образуют вектор:

i

m

Перемещения точек внутри элемента однозначно определяются этими шестью величинами. Наиболее простым представлением являются линейные полиномы:

50

Значения шести постоянных i можно найти из двух систем, состоящих из трех уравнений, которые получаются при подстановке в последние уравнения узловых координат и при-

Остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой индексов i, j, m, а величина 2 определяется соотношением

1 xi yi

2 det 1 xj y j 2 (площадь треугольника ijm). (7)

1 xm ym

Аналогично выражается перемещение v по направлению оси y:

В стандартной форме

51

Полную деформацию в любой точке внутри элемента можно представить тремя составляющими:

Используя предыдущие равенства (8) и (9), получим,

(11)

что определяет матрицу [B], связывающую деформации с перемещениями. Так как матрица [B] не зависит от координат точки внутри элемента, то деформации в нем постоянны.

Напряжения связаны с деформациями зависимостью:

52

где матрица упругих постоянных для плоского напряженного состояния имеет вид

Матрица жесткости элемента ijm определяется с помощью соотношения:

где t — толщина элемента, а интегрирование ведется по площади треугольника. Если толщина элемента постоянна, то, поскольку ни одна из матриц не содержит x или y, получим простое выражение:

bi 0

ci bi

Матрица жесткости может быть записана в виде:

Составление матрицы жесткости ансамбля элементов производится суммированием матриц жесткости конечных элементов, имеющих общие узлы.

Для конечноэлементного ансамбля можно записать:

R— внешние силы; F p — силы, уравновешивающие действующие на элемент распределенные нагрузки; F 0 — силы в узлах, обусловленные начальной деформацией.

53

На рис. 37 представлена расчетная модель пластинки трапециевидной формы, защемленной вдоль одной из сторон и нагруженной силами в узлах другой стороны. Тонкими линиями показана сетка разбиения на конечные элементы треугольной формы. Толщина пластинки 0.1 см. Материал пластинки имеет следующие характеристики: модуль упругости 200000 МПа, коэффициент Пуассона 0.3. Узловые силы в Н, размеры в см. Число конечных элементов ne=5, число узлов np=7, число граничных узлов nb=3.

В файле исходных данных содержится следующая информация для рассматриваемого примера (вариант 6):

54

6

Иванов И.И.

7,5,3,1,2,1,0 1,2000000., 0.3 1,0.,0.

2,4.,0.

3,8.,0.

4,3.,5.

5,9.,5.

6,6.,10.

7,10.,10.

1,1,2,4,1

2,2,5,4,1

3,2,3,5,1

4,4,5,6,1

5,5,7,6,1

1,11

2,11

3,11

6,10.,0.

7,10.,0.

После проведения вычислений в файле 6 содержится следующая информация:

6

55

На основе полученных данных делается вывод о напря- женно-деформированном состоянии моделируемой конструкции и, при необходимости, вводятся коррективы для обеспечения безопасного уровня напряжений и деформаций. Так как напряжение в элементе постоянно, то для более детального выявления характера распределения напряжений в локальных зонах конструкции можно измельчить сетку конечных элементов и провести аналогичный расчет повторно после подготовки соответствующих исходных данных.

56

Моделирование оболочечных конструкций

При моделировании методом конечных элементов (МКЭ) [1] широкого класса оболочечных систем, состоящих из монолитно соединенных подконструкций, имеющих срединные поверхности вращения, а также тонкостенных пространственных конструкций, криволинейных в плане, возникает проблема выбора формы конечных элементов. Использование наиболее простого плоского треугольного элемента не обеспечивает требуемого совпадения сетки триангуляции с линиями главных кривизн срединной поверхности указанных объектов. Поэтому представляется рациональным использование пластинчатых конечных элементов в форме равнобочной трапеции с узлами в углах. Принципиальные преимущества такого элемента при аппроксимации оболочек со срединными поверхностями вращения определяются тем, что границы этого элемента совпадают с линиями главных кривизн срединных поверхностей, что повышает точность итоговых результатов как в статических, так и в динамических задачах. Такие элементы естественно вписываются в сетку меридианов и параллелей оболочек со срединными поверхностями вращения и, получающаяся при измельчении сетки, многогранная поверхность достаточно полно аппроксимирует срединную криволинейную поверхность оболочки. Рассматриваемые конечные элементы испытывают суперпозицию изгиба и мембранного напряженного состояния.

Построение матрицы инертности трапециевидного элемента предусматривает использование тех же функций формы, которые применялись при формировании матрицы жесткости, поэтому данный элемент является согласованным.

В принятой постановке задачи рассматривается элемент в виде тонкой изотропной пластины трапециевидной формы и по-

57

стоянной в пределах данного элемента толщины с узлами, имеющими линейные и угловые перемещения, необходимые для аппроксимации изгибного и мембранного состояний.

Мембранному состоянию соответствуют две степени свободы в срединной плоскости пластины; изгибное состояние описывается поступательным перемещением перпендикулярно плоскости элемента и вращательными перемещениями узла относительно взаимно ортогональных осей, лежащих в плоскости элемента. При переходе от локальных осей, связанных с элементом, к глобальной системе координат каждый узел рассматривается для общности шестимерным, для этого к пяти введенным узловым перемещениям условно добавляется угол поворота узла относительно оси, перпендикулярной плоскости элемента.

Порядок нумерации мембранных и изгибных степеней свободы представлен на рис. 38.

Рис. 38. Мембранные и изгибные степени свободы элемента

Функции формы трапециевидного элемента в мембранном состоянии:

58

Функции формы, соответствующие изгибным степеням свободы узла i:

Матрица инертности пластинчатого элемента строится на основе общего выражения [1] для ее компонентов

где: e – порядковый номер элемента в ансамбле; v – объем элемента;

– плотность материала.

Компоненты, вычисленные согласно последнему выражению, располагаются в соответствии с принятым порядком локальной нумерации узловых перемещений элемента и образуют его матрицу инертности.

Для повышения эффективности вычислительного процесса компоненты согласованной матрицы инертности определяются и записываются в аналитической форме, что обеспечивает минимизацию погрешности и быстродействие применяемого алгоритма.

Аналитические выражения для коэффициентов матрицы инертности в мембранном состоянии узла i имеют вид (здесь обозначено k = (b – a)/l):

59