2418

Полуширину ленты можно определить по формуле:

B=(R+1)Q,

где R – максимальная (по элементам) величина наибольшей разности между номерами узлов в отдельном элементе, Q – число степеней свободы узла. Так, при дискретизации области, протяженной в одном направлении, следует производить последовательную нумерацию узлов при движении вдоль наименьшего размера тела (рис. 5, а).

На рис. 5, б изображена зона с неэффективной нумерацией узлов (здесь наибольшая разность между номерами узлов равна R=13). Если в каждом узле рассматривается по две степени свободы, то при правильной нумерации машинная память для примера рис. 5, а сокращается более чем на 80%.

10

ТИПЫ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Наиболее очевидная классификация элементов предусматривает деление их на одномерные, двумерные и трехмерные. Эти группы могут разделяться в зависимости от того, включают ли узловые перемещения только значения функций (лагранжевы элементы) или также и значения производных (эрмитовы элементы).

Элементы, чаще всего используемые на практике, представлены ниже.

Ферменный элемент – прямолинейный стержень, который присоединяется к другим конструктивным элементам посредством идеальных шарниров (рис. 6). Если к нему не приложены поперечные нагрузки, то он будет испытывать лишь растяжение или сжатие. В каждом узле этого элемента рассматривается по три линейных степени свободы (на рис. 6 они показаны стрелками).

j

y

i z

Рис. 6. Ферменный конечный элемент

Прямолинейный брус воспринимает в общем случае все виды нагрузок (растяжение, изгиб в двух плоскостях и кручение). Каждый узел такого элемента (рис. 7) имеет три линейных и три угловых степеней свободы.

11

Рис. 7. Конечный элемент бруса

Эти элементы моделируют ферменные и пространственные рамные конструкции. В совокупности с пластинчатыми элементами стержневой элемент с шестимерными узлами позволяет моделировать подкрепленные элементы конструкций.

При исследовании плоского напряженного состояния могут быть использованы плоские конечные элементы треугольной и четырехугольной формы (рис. 8).

Рис. 8. Плоские конечные элементы

Узлы этих элементов расположены в углах и имеют по два линейных перемещения вдоль осей в своей плоскости.

Наиболее распространенными формами трехмерных элементов являются тетраэдр и параллелепипед (рис. 9).

Эти элементы играют важную роль при моделировании массивных пространственных конструкций и задач механики

12

грунтов, их узлы размещены в вершинах и обладают тремя линейными степенями свободы.

Рис. 9. Объемные конечные элементы

Пространственные тонкостенные конструкции наиболее просто аппроксимируются пластинчатыми элементами, испытывающими суперпозицию изгибного и мембранного напряженных состояний (рис. 10). Каждый узел таких элементов наделен шестью «инженерными» степенями свободы: тремя линейными перемещениями вдоль осей локальной системы отсчета и тремя углами поворотов вокруг этих осей.

Рис. 10. Пластинчатые элементы

Вследствие своей простоты эти элементы позволяют с достаточной для инженеров точностью аппроксимировать и оболочечные конструкции.

Одной из важных областей применения МКЭ является расчет осесимметричных тел (рис. 11). При моделировании ис-

пользуется осесимметричный конечный элемент.

13

Степени свободы отвечают глобальной системе отсчета. Если соотношения между силами и перемещениями в каждом элементе определены численно, то применение прямого метода жесткости заключается в объединении приведенных соотношений в алгебраическом виде, как требуют условия равновесия и совместности в узлах сопряженных элементов. Это приводит к системе уравнений, связывающих силы и перемещения в узловых точках для ансамбля конечных элементов.

Для иллюстрации этой методики, поясняющей процесс формирования глобальной матрицы жесткости конструкции, выведем уравнения связи между силами и перемещениями в точке q по направлению оси x для конечно-элементной модели рис. 12.

Величины, отвечающие направлению x в узле q обозначим нижним индексом i. Все элементы лежат в плоскости x0y.

7

x

Рис. 12. Типичный узел плоской модели

Согласно условиям равновесия в узле, приложенная нагрузка Pi равна сумме внутренних сил, действующих в соот-

ветствующих элементах, прилежащих к узлу. Для пояснения этого на рис. 13 показаны элементы, прилежащие к рассматриваемому узлу.

Из условия равновесия в направлении x:

15

Рис. 13. Анализ равновесия в направлении Pi i

16

Здесь прописными буквами Kii ,...,Ki11 обозначены гло-

бальные коэффициенты матрицы жесткости ансамбля конечных элементов.

Схема формирования глобальной матрицы жесткости и вектора узловой нагрузки исследуемой конструкции может быть рассмотрена на следующем примере. На рис. 14, а изображена модель, состоящая из четырех взаимосвязанных элементов.

= + + +

б)

[K]{F}

B

в)

Рис. 14

17

Для каждого элемента строится локальная матрица жесткости, размерность которой соответствует числу его узловых степеней свободы. Коэффициенты матрицы жесткости размещаются в соответствии с матрицей связи, которая указывает номера узлов элемента при глобальной нумерации. На рис. 14, б показана схема формирования коэффициентов матриц жесткости конструкции и вектора узловой нагрузки. Полуширина ленты B глобальной матрицы жесткости для данного примера равна 4, если в каждом узле рассматривается одна степень свободы (рис. 14, в).

УЧЕТ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

Систему линейных алгебраических уравнений, составленную для ансамбля конечных элементов, можно решить после задания некоторого числа перемещений, исключающих смещение конструкции как жесткого целого.

Задание соответствующих перемещений после формирования глобальной матрицы жесткости обеспечивает возможность получения единственного решения.

Некоторые способы закрепления граничных узлов для плоской модели представлены на рис. . Запрещенные степени узловых перемещений зачеркнуты.

Наиболее просто граничные условия могут быть заданы в виде комбинации 0 и 1, при этом 0 означает отсутствие ограничений для заданной степени свободы, а 1 – наличие ограничений. Для узла А (рис. 15) граничные условия должны быть заданы в виде 01, для узла С –11.

Рис. 15

18

При таком способе задания граничных условий на месте диагонального коэффициента глобальной матрицы жесткости, соответствующего запрещенной степени свободы, ставится единица, а остальные коэффициенты в данных строке и столбце обнуляются. На месте запрещенной степени свободы в векторе узловой нагрузки также помещается ноль.

При необходимости введения заданного узлового перемещения в систему уравнений МКЭ, можно воспользоваться приемом, предложенным Пейном и Айронсоном /1/. Прием предусматривает умножение соответствующего диагонального элемента глобальной матрицы жесткости на очень большое число, в векторе узловой нагрузки в строке заданного перемещения помещается то же самое большое число, умноженное на известное перемещение. Это устраняет необходимость исключения уравнения равновесия, в котором некоторое перемещение считается заданным, обеспечивается сохранение общего числа уравнений и избегается реорганизация машинной памяти.

АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ СЕТОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Задача построения сетки состоит в том, что в расчетной области необходимо расположить определенным образом заданное число узлов сетки так, чтобы на ней было возможно применение выбранного метода дискретизации. Построенная сетка должна быть в некотором смысле оптимальной, например, обеспечивать при заданном числе узлов наибольшую точность решения задач механики или описания формы объекта исследования. Метод построения сеток должен быть достаточно универсальным, алгоритмичным (с точки зрения реализации его на ЭВМ) и пригодным для синтеза сеток.

Далее, метод построения сетки должен требовать как можно меньше исходной информации, максимально исключить вмешательство расчетчика в алгоритм решения задачи на

19