2394

Подставив эти выражения в (6.3), получим, КУ=6/5. Аналогично из (6.5) найдем КХ=6/5. Таким образом, в рассматриваемом случае КХ=КУ.

6.1.4. Потенциальная энергия кручения При закручивании прямого стержня парой сил совершает-

ся работа

где угол закручивания.

При круглом поперечном сечении

M K

GJ P

Если же поперечное сечение не круглое, то вместо JP подставляют геометрическую характеристику JK , зависящую от размеров и формы поперечного сечения. Эту характеристику обычно определяют методами теории упругости, формулы для ее определения приведены в справочниках. Таким образом, потенциальная энергия кручения

M 2 U K .

2GJ K

Энергия кручения, накапливаемая в рассматриваемом бесконечно малом элементе бруса,

6.1.5. Потенциальная энергия изгиба Рассмотрим чистый изгиб, показанного на рис. 6.4 элемен-

та балки. Если считать левое сечение неподвижным, то момент МХ в правом сечении совершает работу

Таким образом, потенциальную энергию упругого деформирования стержня в общем случае нагружения можно определить по формуле

M X2 dl .

l 2EJ X

6.2. Определение перемещений стержня 6.2.1. Теорема Кастилиано

Рассмотрим упругое тело, закрепленное в пространстве системой опор (рис. 6.5) и нагруженное некоторой системой сил.

Рис. 6.5

Пусть при нагружении тела этими силами совершается работа А. Определим изменение этой работы dA при изменении силы Qi на величину dQi . Согласно принципу независимости действия сил работа, совершаемая некоторой системой сил, прикладываемых к упругому телу, не зависит от порядка приложения этих сил. Примем следующий порядок приложения сил. Пусть вначале прикладывается сила dQi . При этом происходит перемещение d i в точке приложения этой силы в на-

правлении силы и совершается работа 12 dQi d i . Пусть далее к

телу прикладывается система сил Q1, Q2,…., Qi,….Qn, совершающая работу А. При этом точка приложения силы dQi перемещается в направлении этой силы на величину i . В силу

этой работы величину А и пренебрегая величиной второго порядка малости, получим

dA i dQi .

По закону сохранения энергии эта работа равна изменению потенциальной энергии dU, соответствующему изменению силы Qi на величину dQi . Поскольку U=U(Q1, Q2,…Qi, …, Qn )

Приравнивая правые части равенств, получим

U . Qi

Из вывода этого равенства ясно, что под Qi можно понимать обобщенную силу, т.е. любой внешний силовой фактор, а под i - обобщенное перемещение, на котором совершает ра-

боту обобщенная сила Qi . Например, если Qi – сила, то i - проекция полного перемещения точки приложения силы Qi на i - по-

ворот в точке приложения момента в направление момента. Таким образом, частная производная от потенциальной

энергии упругого деформирования тела (или системы тел) по обобщенной силе равна соответствующему этой силе обобщенному перемещению.

Это утверждение было доказано итальянским механиком Кастилиано и носит название теоремы Кастилиано.

Пример. Определим прогиб консоли прямоугольного поперечного сечения шириной b и высотой h, нагруженной на конце силой Р (рис.6.6).

Рис. 6.6

Потенциальная энергия упругого деформирования рассматриваемой балки

U U Q U M X

Будем отсчитывать координату z от точки приложения силы. Тогда Q=P, MX=-Pz . Следовательно,

6.2.2. Интеграл Мора Непосредственно по теореме Кастилиано можно опреде-

лить перемещение только в том случае, если тело нагружено соответствующей этому перемещению обобщенной силой. Однако, эта трудность легко преодолима. Если требуется определить перемещение в точке, где не приложено внешних сил, можно приложить в этой точке силу Ф, соответствующую

определяемому перемещению. Написав далее выражение потенциальной энергии тела в зависимости от всех действующих на тело нагрузок и силы Ф, возьмем частную производную от этой энергии по Ф. В полученном выражении для перемещения необходимо положить силу Ф равной нулю.

Вернемся к рассмотрению стержня. Для определения перемещения некоторой точки стержня приложим в этой точке соответствующую этому перемещению обобщенную силу Ф (если определяется линейное перемещение, то прикладывается сила, если угловое, – то момент). При этом внутренние силовые факторы в различных поперечных сечениях изменятся на величины, зависящие от Ф. Например, крутящий момент, возникающий в стержне под действием приложенных к нему нагрузок, окажется равным МКР + МКФ, где первое слагаемое определяет момент, возникающий в стержне под действием приложенных к нему нагрузок, а второе слагаемое – дополнительный момент, возникающий при приложении силы Ф. Очевидно, что момент МКФ пропорционален силе Ф. Поэтому можем записать

МКФ = МК1·Ф, где МК1- коэффициент пропорциональности.

Следовательно, крутящий момент

МК = МКР + МК1·Ф.

Если снять с бруса все нагрузки и положить Ф = 1, то МК = МК1, откуда следует, что МК1 – это крутящий момент, возникающий в брусе при его нагружении единичной (т.е. равной единице) силой, приложенной в точке и по направлению, соответствующим определяемому перемещению.

Аналогичное справедливо и относительно других внутренних силовых факторов. Это позволяет записать выражение потенциальной энергии стержня при действии на него нагру-

Здесь NP, QYP, … - внутренние силовые факторы, возникающие в стержне под действием приложенных к нему нагрузок (без силы Ф), а N1, QY1, … - внутренние силовые факторы, возникающие при нагружении стержня единичной силой.

Определим теперь искомое перемещение δ, взяв частную производную от потенциальной энергии по Ф и положив в полученном выражении Ф = 0

Полученную формулу называют интегралом Мора. Эта формула была получена Мором без использования теоремы Кастилиано из геометрических соображений.

Не все слагаемые формулы (6.9) равнозначны. Обычно слагаемые, связанные с силами N, QY, QХ малы по сравнению со слагаемыми, зависящими от моментов МК, МХ, МY. Свидетельством этому являет пример в п. 6.2.1. Поэтому, например, в случае изгиба обычно определяют перемещение, пренебрегая влиянием поперечной силы на эти перемещения. Правило знаков здесь аналогично правилу знаков при использовании теоремы Кастилиано: если перемещение получено со знаком «плюс», то это означает, что оно происходит в направлении единичной силы.

Для определения вертикального перемещения yA приложим в сечении А вертикальную единичную силу (рис. 6.7, в). Ее момент

M1 sin .

Искомое перемещение

И, наконец, для определения угла поворота ΘА сечения А необходимо приложить единичный момент (рис. 6.7, г). Очевидно, в этом случае М1 = 1. Поэтому

6.2.3. Способ Верещагина В случае прямого стержня внутренние силовые факторы

от единичных нагрузок изменяются по длине линейно. Если у такого стержня постоянное сечение, то каждое слагаемое формулы (6.9) сводится к интегралу вида

где α, β – постоянные; a, b – координаты начала и конца рассматриваемого участка стержня. Студентом Московского института инженеров железнодорожного транспорта Верещагиным в 1925 г. предложен простой способ определения таких интегралов. Тогда

эту площадь через ω. Второй интеграл равен статическому моменту этой площади относительно оси, перпендикулярной оси z и проведенной через начало этой оси. Этот момент, как известно, равен произведению площади ω на координату zc центра тяжести этой площади. Таким образом,

I zc zc .

Но выражение в скобках равно значению функции f2 при z = zc. Обозначив f2(zc) = f2c, получим, что I = ω·f2c.