2190

УДК 532.5+533.6

Перова А.В. Основы математического моделирования: курс лекций: учеб. пособие [Электронный ресурс]. - Электрон. текстовые и граф. данные (1,2 Мб) / А.В. Перова. - Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2016. – 1 электрон. опт. диск (СD-ROM): цв. – Систем. требова-

ния: ПК 500 и выше; 256 Мб ОЗУ; Windows XP; SVGA с разрешением 1024x768; Adobe Acrobat; CD-ROM дисковод; мышь.-

Загл. с экрана.

В учебном пособии рассматриваются вопросы теории систем, основ математического моделирования.

Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» (профили «Технология машиностроения», «Металлообрабатывающие станки и комплексы», «Конструкторско-технологическое обеспечение кузнечноштамповочного производства»), дисциплине «Основы математического моделирования».

Предназначено студентам инженерно-технических специальностей, может быть использовано магистрами, аспирантами и специалистами, занимающимися математическим моделированием.

Табл. 17. Ил. 59. Библиогр.: 19 назв.

Научный редактор д-р техн. наук, проф. А.И. Болдырев

Рецензенты: кафедра производства, ремонта и эксплуатации машин ВГЛТУ им. Г.Ф. Морозова (зав. кафедрой

канд. техн. наук, доц. В.А. Иванников); д-р техн. наук, проф. Е.В. Смоленцев

©Перова А.В., 2016

©Оформление. ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2016

2

ВВЕДЕНИЕ

Математическое моделирование - это дисциплина, занимающаяся исследованием систем путем построения и изучения их моделей.

В качестве учебной дисциплины, дисциплина «Основы математического моделирования» играет важную роль в подготовке бакалавров, магистров. Ее значение заключается в том, что на ней базируется любой метод научного исследования, она позволяет освоить методологические и математические средства исследования систем, в том числе, и машиностроительных. От того, насколько профессионально выполнено моделирование, зависит качество принимаемого решения.

Целью данного пособия является формирование у студентов теоретических знаний, практических умений и навыков в области математического моделирования, необходимых для принятия инженерных решений на высоком профессиональном уровне.

Достижению данной цели служат следующие задачи: 1) дать понятие системного подхода в моделировании; 2) изучить основы математического моделирования; 3) получить навыки формализации и алгоритмизации функционирования оборудования, процессов и систем; 4) освоить возможности компьютерной техники для создания и реализации моделей; 5) выработать навыки постановки и решения информационных задач, моделирования и анализа информации.

Материал учебного пособия соответствует программе подготовки направлений 15.03.05 «Конструкторскотехнологическое обеспечение машиностроительных производств». Оно ориентировано главным образом на изучение студентами дисциплины "Основы математического моделирования". Дисциплина предполагает изучение основных понятий системного подхода, как методологии исследования объектов, систем, процессов. Исследуются общие вопросы математического моделирования систем и численные схемы решения оптимизационных задач.

3

ЛЕКЦИЯ 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Внастоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Особенно это относится к сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации.

Моделирование представляет собой процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте.

Модель – это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта.

Теория замещения одних объектов (оригиналов) другими объектами (моделями) и исследования свойств объектов на их моделях называется теорией моделирования.

Впроцессе изучения модель выступает в роли относительного самостоятельного квазиобъекта, позволяющего получить при исследовании некоторые знания о самом объекте.

Если результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах, то говорят, что модель адекватна объекту. При этом адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев.

Моделирование базируется на некоторой аналогии реального и мысленного эксперимента. Для объяснения реальных процессов выдвигаются гипотезы, для подтверждения которых ставится эксперимент либо проводятся такие теоретические рассуждения, которые логически подтверждают их правильность.

Под экспериментом можно понимать некоторую про-

4

цедуру организации и наблюдения каких-то явлений, которые осуществляют в условиях, близких к естественным, либо имитируют их. Различают пассивный эксперимент, когда исследователь наблюдает протекающий провес, и активный, когда наблюдатель вмешивается и организует протекание процесса.

Воснове любого вида моделирования лежит некоторая модель, имеющая соответствие, базирующееся на некотором общем качестве, которое характеризует реальный объект. Объективно реальный объект обладает некоторой формальной структурой, поэтому для любой модели характерно наличие некоторой структуры, соответствующей формальной структуре реального объекта, либо изучаемой стороне этого объекта.

Воснове моделирования лежат информационные процессы, поскольку само создание модели М базируется на информации о реальном объекте. В процессе реализации модели получается информация о данном объекте, одновременно в процессе эксперимента с моделью вводится управляющая информация, существенное место занимает обработка полученных результатов, т. е. информация лежит в основе всего процесса моделирования [12].

Виды и способы моделирования

Воснове моделирования лежит теория подобия, которая утверждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же. В соответствии с этим признаком, выделяют полные, неполные и приближенные модели.

Взависимости от характера изучаемых процессов в си-

стеме все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные

(рис. 1.1).

Детерминированное моделирование отображает де-

терминированные процессы, т.е. процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий.

Стохастическое моделирование отображает вероят-

5

ностные процессы и события. В этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характеристики, т. е. набор однородных реализаций [12].

Рис. 1

Статическое моделирование служит для описания по-

ведения объекта в какой-либо момент времени.

Динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени.

Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными.

Непрерывное моделирование позволяет отразить не-

прерывные процессы в системах.

Дискретно-непрерывное моделирование использует-

ся для случаев, когда требуется выделить наличие как дискретных, так ,и непрерывных процессов.

6

Взависимости от формы представления объекта (си-

стемы S) можно выделить мысленное и реальное моделирование.

Мысленное моделирование часто является единствен-

ным способом моделирования объектов, которые либо практически не реализуемы в заданном интервале времени, либо существуют вне условий, возможных для их физического создания.

Мысленное моделирование может быть реализовано в виде наглядного, символического и математического.

При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются различные наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте.

Воснову гипотетического моделирования исследова-

телем закладывается некоторая гипотеза о закономерностях протекания процесса в реальном объекте, которая отражает уровень знаний исследователя об объекте и базируется на при- чинно-следственных связях между входом и выходом изучаемого объекта. Гипотетическое моделирование используется, когда знаний об объекте недостаточно для построения формальных моделей.

Аналоговое моделирование основывается на приме-

нении аналогий различных уровней. Наивысшим уровнем является полная аналогия, имеющая место только для достаточно простых объектов. С усложнением объекта используют аналогии последующих уровней, когда аналоговая модель отображает несколько либо только одну сторону функционирования объекта.

Существенное место при мысленном наглядном моделировании занимает макетирование. Мысленный макет может применяться в случаях, когда протекающие в реальном объекте процессы не поддаются физическому моделированию, либо может предшествовать проведению других видов моделирования.

Воснове построения мысленных макетов также лежат

7

аналогии, однако обычно базирующиеся на причинноследственных связях между явлениями и процессами в объекте. Если ввести условное обозначение отдельных понятий, т.е. знаки, а также определенные операции между этими знаками,

то можно реализовать знаковое моделирование и с помо-

щью знаков отображать набор понятий – составлять отдельные цепочки из слов и предложений. Используя операции объединения, пересечения и дополнения теории множеств, можно в отдельных символах дать описание какого-то реального объекта.

В основе языкового моделирования лежит некоторый тезаурус, который образуется из набора входящих понятий, причем этот набор должен быть фиксированным. Тезаурус — словарь, который очищен от неоднозначности, т.е. в нем каждому слову может соответствовать лишь единственное понятие.

Символическое моделирование представляет собой искусственный процесс создания логического объекта, который замещает реальный и выражает основные свойства его отношений с помощью определенной системы знаков или символов.

Для исследования характеристик процесса функционирования любой системы S математическими методами, должна быть проведена формализация этого процесса, т. е. построена математическая модель.

Под математическим моделированием будем пони-

мать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности.

8

Математическое моделирование для исследования характеристик процесса функционирования систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное.

Для аналитического моделирования характерно то,

что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегро-дифференциальных, конечноразностных и т. п.) или логических условий.

Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

а) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик;

б) численным, когда, не умея решать уравнений в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных;

в) качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

Наиболее полное исследование процесса функционирования системы можно провести, если известны явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными системы S. Однако такие зависимости удается получить только для сравнительно простых систем.

При усложнении систем исследование их аналитическим методом наталкивается на значительные трудности, которые часто бывают непреодолимыми. Поэтому, желая использовать аналитический метод, в этом случае идут на существенное упрощение первоначальной модели, чтобы иметь возможность изучить хотя бы общие свойства системы. Такое исследование на упрощенной модели аналитическим методом помогает получить ориентировочные результаты для определения более точных оценок другими методами. Численный метод позволяет исследовать по сравнению с аналитическим методом более широкий класс систем, но при этом полученные решения носят частный характер. Численный метод особенно

9