2087

0,308( 3,24 ta ) 105 .

Уравнение равновесия жесткого тела АВС (диска) имеет вид MA(Pi ) 0, или

N13a N2 ACsin(90 ) N3 AD sin( 90 ) 0 .

Отсюда

3N1 2,206N2 0,687N3 0 ,

3 3 105( ta ) 2,206 0,6 105( 3,33 t a)

0,687 0,308 105( 3,24 ta ) 0 ,

или

10,535 3,906 ta 0, ta 125 10 780 1000 1 мм ,

0,371 ta 0,371мм.

Нормальные силы

N1 3 105(0,371 1) 1,887 105’ 188,7 кH ,

N2 0,6(0,371 3,33 1)105 222 кH ,

N3 0,308(0,371 3,24)105 11,12 кH .

Напряжения в стержнях

70

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

3.1. Статические моменты сечения. Центр тяжести сечения

Статические моменты сечения (рис. 3.1)

Размерность статического момента – единица длины в кубе (например см3).

Оси, относительно которых статические моменты равны нулю, называют центральными.

Рис. 3.1

Ста

тические моменты относительно нецентральных осей х, у (см. рис. 3.1).

где Cx , Cy – координаты центра тяжести сечения.

Для сложного (составного) сечения координаты его центра тяжести определяют из выражений

где Fi , Cxi , Cyi – площадь и координаты центра тяжести про-

стой фигуры, входящей в сечение; m – число простых фигур.

3.2. Моменты инерции сечения

Осевые (экваториальные) моменты инерции сечения (см.

рис. 3.1)

71

Моменты инерции сечения зависят от расположения сечения относительно осей координат. Чем дальше расположена часть сечения относительно некоторой оси координат, тем больший

Рис. 3.2 вклад вносит эта часть в момент инерции сечения относительно этой оси. По расположению сече-

ния относительно осей координат можно в некоторых случаях визуально установить соотношение между моментами инерции. Например, для сечения, указанного на рис. 3.1 Ix1 Iy1 .

Все моменты инерции сечений имеют размерность длины

вчетвертой степени (например, см4).

3.3.Изменение моментов инерции При преобразовании координат

Если IxC IyC моменты инерции сечения относительно цен-

тральных осей xC и yC (проходящих через центр тяжести се-

чения С), то при параллельном переносе осей координат, (рис. 3.1) моменты инерции того же сечения относительно нецен-

72

тральных осей х и у, параллельных центральным осям, определяются по формулам

При повороте осей координат на угол α (см. рис. 3.2)

3.4. Главные оси и главные моменты инерции сечения

Две ортогональные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными. Их положение относительно произвольных осей x, y определяется углом 0 :

Положительному значению угла 0 соответствует пово-

рот осей против хода часовой стрелки.

Осевые моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инерции сечения и определяют по формулам

При знаке плюс перед радикалом получается Imax .

73

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют главными центральными осями инерции сечения. В дальнейшем эти оси будем обозначать через x и y. Ось симметрии является главной центральной осью инерции сечения. Плоскость, проходящую через ось стержня и одну из главных центральных осей инерции сечения, называют главной плоскостью.

Моменты инерции относительно главных центральных осей называют главными центральными моментами инерции сечения.

3.5. Моменты сопротивления сечения

Моменты сопротивления относительно главных центральных осей

где Ix , Iy – главные центральные моменты инерции сечения; xmax , ymax – наибольшие абсцисса и ордината сечения, взятые

где max – расстояние от полюса (центра тяжести поперечного

сечения) до наиболее удаленной точки поперечного сечения. Размерность моментов сопротивления – единица длины в

кубе (например см3).

3.6. Порядок определения главных центральных моментов инерции для сложного (составного) сечения

1.Вычерчиваем сечение в масштабе. Проводим исходные (вспомогательные) взаимноортогональные оси координат.

2.Разбиваем сложное сечение на m простых фигур. Для каждой простой фигуры определяем площадь, координаты

74

центра тяжести Cxi ,Cyi относительно вспомогательных осей и проводим центральные оси xC , yC , параллельные вспомога-

тельным осям.

3. По формулам (3.3) рассчитываем координаты центра тяжести Cx , Cy сложного сечения и проводим для него цен-

тральные оси, параллельные вспомогательным.

4. Определяем или берем из таблиц сортамента осевые и центробежные моменты инерции I(xcii ) , I(ycii ) , Ixciyci(i ) , для простых фигур, входящих в сечение, относительно собственных центральных осей.

5. Определяем осевые и центробежный моменты инерции каждой простой фигуры относительно центральных осей всего сечения:

6. Рассчитываем осевые и центробежные моменты инерции всего составного сечения относительно его центральных осей:

m Ixcyc I(xcyci ) .

i 1

7.Используя формулу (3.9) определяем положение главных центральных осей инерции сложного сечения и проводим эти оси.

8.По формулам (3.10) определяем значения главных центральных моментов инерции сечения.

75

4. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК И РАМ

4.1.Краткая теоретическая справка

4.1.1.Общие понятия и расчетные зависимости

Под изгибом понимают такой вид деформирования, при котором в поперечном сечении стержня действует изгибаю-

щий момент.

Стержень, работающий в основном на изгиб, называют балкой.

Если все внешние силы и пары сил, изгибающие балку, лежат в одной плоскости (силовая плоскость), проходящей через продольную ось балки z и одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения, то изгиб называется прямым или плоским. При прямом изгибе ось изогнутой балки располагается в си-

Рис. 4.1 ловой плоскости.

Если в поперечных сечениях балки действуют только изгибающие моменты, то изгиб называется чистым.

При поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникают поперечная сила Qy и изгибающий момент M x

(рис. 4.1).

При решении задач, связанных с расчетом на прочность при изгибе, важно правильно определять поперечную силу Qy

и изгибающий момент M x в поперечном сечении балки и

строить эпюры этих внутренних силовых факторов.

Обычно решение задачи начинается с определения опорных реакций (если в этом есть необходимость). Для этого

76

необходимо составить уравнения равновесия. Для балки, нагруженной системой сил, лежащих в одной плоскости, в общем случае можно записать три уравнения равновесия. Определив реакции опор, обязательно делают проверку правильности их определения, поскольку ошибка в определении реакций обязательно обнаружится после построения эпюр Qy

и M x . Для этого составляют дополнительное уравнение рав-

новесия. Если реакции определены верно, это уравнение удовлетворяется тождественно.

Далее разбивают балку на участки. Кроме концов балки границами участков являются: сечения, в которых

приложены сосредоточенные силы;

приложены сосредоточенные моменты;

реакции опор;

происходит резкое изменение интенсивности распределенной нагрузки.

Впределах каждого участка аналитические выражения

Qy и M x остаются неизменными.

Рассматривая произвольное поперечное сечение на каждом участке, используют метод сечений и записывают уравнения для поперечной силы и изгибающего момента. Согласно методу сечений поперечная сила Qy в сечении балки равна

алгебраической сумме проекций на вертикальную ось, направленную так же, как и положительная сила Qy , всех внешних

сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения:

Изгибающий момент M x в сечении балки численно равен алгебраической сумме изгибающих моментов, создаваемых всеми внешними силами и моментами, действующих на

77

отсеченную часть балки, относительно центра тяжести рассматриваемого сечения

При этом вводятся следующие правила знаков для M x .

Внешний момент m дает положительный изгибающий момент (положительное слагаемое в выражении для M x ), если этот

момент направлен противоположно положительному изгибающему моменту для рассматриваемой части балки (см. рис. 4.2).

В некоторых учебниках положительным считается изгибающий момент, при котором изогнутая ось балки имеет положительную кривизну, отрицательным – момент противоположного направления. На основании этого правила, однако, нельзя построить алгоритм и программу для ЭВМ для определения изгибающего момента.

Поперечная сила Qy , изгибающий момент M x и интен-

сивность распределенной нагрузки q связаны дифференциальными зависимостями Д.И.Журавского:

где z – координата, определяющая положение сечения балки.

При построении эпюр Qy , M x и их контроле следует

учитывать следствия, вытекающие из дифференциальных зависимостей (4.3) и непосредственно из метода сечений [1].

Построив эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, определяют положение опасного с точки зрения прочности сечения балки. Если балка имеет постоянное по ее длине сечение, то опасным будет сечение, в котором изгибающий момент достигает наибольшего по абсолютной величине значения. В общем случае опасное сечение нужно определять как

78

сечение с максимальным для всей балки нормальным напряжением.

Расчет на прочность балок обычно проводят, используя условие прочности по нормальным напряжениям

нии; Wx - осевой момент сопротивления сечения; - допу-

стимое напряжение для материала балки.

Исходя из условия (4.4) выполняются следующие виды расчета: проверочный, проектный и расчет грузоподъемности.

Проверочный расчет заключается в непосредственной проверке выполнения условия (4.4).

Для выполнения проектного расчета (определения требуемых размеров сечения) из (3.4) получаем

maxMx

Wx . (4.5)

Для определения грузоподъемности (определение допустимых значений сил или моментов, вызывающих изгиб балки формула (4.4) преобразуется к виду

79