2087

б) если температура не меняется, то tK 0 и

lK NK lK . EK FK

5. Решают совместно уравнения равновесия и уравнения совместности перемещений и получают значения нормальных сил в стержнях.

40

2.4. Примеры решения МБП задач для плоских стержневых систем

Пример 1

Определение нормальных сил в поперечных сечениях стержня по известной силе Р

Определить нормальные силы в сечениях стержня (рис. 2.7) считая известной силу P . Жесткость участков стержня принять одинаковой.

Представляем стержень состоящим из трех соосно расположенных стержней, на которые стержень делят плоскости, в которых приложены силы. Нормальные силы в этих стержнях выражаются через реакции и силы, действующие на концах стержней, а также перемещения u1 , u2 точек приложения сил 2P и 3P и жесткость участков стержня c

N1 RB =c l1 cu1 ,

N2 RB 2P =c(u1 u2 ),

получаем

c(u1 u2 ) P.

Второе уравнение системы для определения u1 и u2 уже получено и имеет вид

N2 RB 2P=c(u1 u2 )= cu1 2P c(u1 u2 ),

или

c(2u1 u2 )=2P .

Решая полученную систему, находим

41

Нормальные силы на участках стержня определяются выражениями

N3 cu2 4P . 3

Как видно, последняя задача была решена без определения реакций опор и использования уравнения совместности деформаций.

Пример 2

Раскрытие статической неопределимости ступенчатого стержня (задача 1)

Стальной ступенчатый стержень закреплен с обоих концов при нормальной температуре и нагружен сосредоточенной силой P=14qa и равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 2.8, а).

Требуется:

а) построить эпюры нормальных сил N и нормальных напряжений ;

б) построить эпюру температурных напряжений при нагреве стержня на t С.

Исходные данные: E 2 105 Мпа; q=80 кН/м; a=0,5 м;

F 13см2 ; t 65 C; 125 10 7 / C.

Решение Система один раз статически неопределима, поскольку

для стержня можно составить только одно уравнение равновесия

42

Piz 14qa 4q2a RA RB 0,

Рис. 2.8

содержащее две неизвестные реакции RA и RB. Отсюда следует

RA + RB - 6qa =0.

43

Стержень имеет три участка непрерывного изменения нормальных сил, ограниченных концевыми сечениями стержня и точками скачкообразного изменения площади поперечного сечения стержня.

При отсутствии реакции RB перемещение точки В равно

3

p lip ,

i 1

где lip Ci Nip для участков с постоянной нормальной силой и li Ci Nip* для участков, в пределах которых нормальная сила постоянная величина и li Ci Nip* для участков, в пре-

делах которых нормальная сила переменная величина; Nip* -

средняя нормальная сила для участка i. Индекс p указывает, что сила Nip и удлинение lip вызваны действием только внешних нагрузок.

Для определения Nip используем метод сечений, для чего стержень рассекается в нужном месте поперечным сечением, отбрасывается какаялибо из его частей вместе с приложенными к ней нагрузками, ее действие на рассматриваемую часть стержня заменяется нормальной силой Nip, направленной в сторону отброшенной части. Силу Nip определяют из уравнения равновесия рассматриваемой части.

Участок 1. 0 z1 a. Рассматриваем левую часть стержня. Из рис. 1.2 2.8, е следует Piz 0, RA N1p 0.

Отсюда N1p RA 6qa.

Участок 2. 0 z2 2a. Рассматриваем правую часть стержня. Из рис. 1.2 2.8, ж следует

Piz 0, 14qa 4qz2 N2p 0,

откуда

N2p 14qa 4qZ2 ,

N2p(0) 14qa,

44

N2p(2a ) 14qa 8qa 6qa

Участок 3. 0 z3 2a. Рассматриваем правую часть стерж-

ня. Из рис. 1.2 2.8, з следует

При приложении реакции RA перемещения конца стержня становится равным нулю. Тогда

lp lR 0 ,

где lR - перемещение точки В, вызванное силой RB. Очевидно, что RB NR CB lR CB lp ,

где СВ- жесткость всего стержня; NR - нормальная сила, вызванная действием RB.

По определению

или

CB 5EF / 7a.

Тогда

30 80 0,5 /7 171,429кн,

RA 6qa RB 6 80 0,5 171,429 68,571кH .

В соответствии с принципом суперпозиции определяем нормальные силы в стержнях, вызванные внешними силами и реакцией RB по формуле Ni Nip NR , тогда

N1 6qa 30 qa 12 qa 68,571кН , 7 7

45

N3 RB 30 qa 171,429 кН . 7

По полученным значениям Ni строим эпюру нормальных сил в масштабе 20 кН/мм (рис. 2.8, б).

Для определения нормальных напряжений используем формулу i Ni / Fi ,

При изменении температуры стержней удлинение участка стержня определяется по формуле

где - коэффициент температурного расширения материала участка; t - изменение температуры в сравнении с проектной температурой.

Для определения нормальных сил и напряжений, вызванных воздействием температуры, стержень освобождается от внешних нагрузок и оказывается только под действием реак-

ций RtA и RBt (рис. 2.8, г). Из уравнения равновесия стержня следует, что RtA RBt

46

При отсутствии заделки конца В в сечениях стержня нормальные силы будут отсутствовать и его перемещение будет результатом температурного расширения

33

B li t t li 5a t .

i 1 i 1

Перемещение точки В, вызванное реакцией RBt , будет

равно - В, поскольку перемещение конца стержня в заделке равно нулю. Тогда

t2 RBt 25 E t 116,07 МПa, 5F 35

t3 t1 193,452 МПa

Как и следовало ожидать, напряжения оказались сжимающими.

По полученным значениям напряжений строим эпюру температурных напряжений (рис. 2.8, д).

Пример 3

Подбор сечений стержней и расчет температурных напряжений (задача 2)

Для заданной стержневой системы (рис. 2.9), состоящей из стальных стержней круглого поперечного сечения, требуется:

47

Решение Длины стержней определяются по формулам

li (x1i x2i )2 ( y1i y2i )2 ,

где x1i , x2i , y1i , y2i - координаты концов стержня с номером i.

Длины стержней

l1 l5 ( xB xA )2 ( yB yA )2

= ((-1,5-0)2-(-1,5-0)2)0,5 = 2,1213 м;

l2 ( xD xA )2 ( yD yA )2

= (( 0-0)2-( 2-0)2)0,5= 2 м;

l3 l4 ( xC xD )2 ( yC yD )2

Перемещения точек тел и стержней системы определяются двумя базовыми перемещениями u1 и u2. Удлинения стержней с одним подвижным узлом определяются по формулам

49