2087

В результате получается приведенное кубическое уравнение

Можно показать, что в случае напряженного состояния

дискриминант уравнения (6.5) ( p )3 ( q )2 отрицателен и

3 2

все корни приведенного уравнения действительные. Корни уравнения (6.5) определяются по формулам

Полученные величины корней уравнения (6.5) следует переобозначить так, чтобы выполнялось условие u1 u2 u3 .

Величины экстремальных значений нормальных напряжений определяют по формулам

1

i ui 3 I1 , где i 1,2,3.

Для проверки правильности определения главных напряжений рекомендуется определить величины инвариантов тензора напряжений по главным напряжениям по формулам

I1 1 2 3 , I2 1 2 2 3 3 1, I3 1 2 3 .

Для определения направляющих косинусов l, m, n нормалей к главным площадкам решают систему уравнений

где - главное напряжение на соответствующей площадке,

равное одному из главных напряжений 1, 2 , 3 . Пусть li , mi , ni -направляющие косинусы нормали к

главной площадки, на которой действует главное напряжениеi . Поскольку главные площадки взаимно ортогональны, ска-

лярные произведения векторов единичных нормалей к главным площадкам должны быть равны нулю. Поэтому должны выполняться три условия ортогональности

Это условия рекомендуется использовать для проверки правильности полученных результатов.

6.2. Примеры решения задач по теме Пример 13

Определение главных напряжений и главных площадок при плоском (двумерном) напряженном состоянии

Стальной кубик (рис. 6.3) находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние (одно из трех главных напряжений равно нулю). Требуется найти:

1.главные напряжения и направления главных площадок;

2.максимальное касательное напряжение, равное наибольшей полуразности главных напряжений.

(знак минус означает, что направление x противоположно

121

положительному направлению); y = x =10 МПа согласно

закону парности касательных напряжений. Решение.

1. Совместим ось z с нормалью к главной площадке с нулевым главным напряжением, направив ее перпендикулярно плоскости чертежа. Величины двух других главных напряжений рассчитываем по формулам (6.2)

max 1 10 10 10 10 2 4 10 2 14,1 МПа.

min 2

Пронумеруем главные напряжения согласно (5.1)

max 1 14,1 МПа, 2 = 0, min 3 14,1 МПа.

y

x

x

y

Рис. 6.4

Проверяем правильность найденных значений главных напряжений, используя первый инвариант тензора напряжений

x y z 1 2 3 ; 10 10 + 0= 14.1 14.1+ 0; 0 = 0.

122

Определяем направление главных площадок. Угол наклона главной площадки рассчитываем по формуле (6.3)

Показываем положения главных площадок и главных напряжений (рис. 6.4)

2. Определяем максимальное касательное напряжение по формуле(6.4)

Пример 14

Определение главных напряжений и главных площадок при объемном (трехмерном) напряженном состоянии

Для напряженного состояния в точке упругого пространства, условно изображенного на рис. 6.1

x 39 МПа; y 36 МПа; z 44 МПа;xy 33 МПа; yz 24 МПа; zx 33 МПа.

Требуется определить:

1.Главные напряжения.

2.Положения главных площадок.

Решение Напряженное состояние в точке.

В соответствии с законном парности касательных напряжений

yx xy , zy yz , zx xz .

Тензор напряжений для указанного напряженного состояния имеет вид

123

В результате получается

u1 2 2770.333 0.9916 60.268 МПа;

3

u2 2 2770.333 ( 0.6077 ) -36.931 МПа;

3

u3 2 2770.333 ( 0.3840 ) -23.336 МПа. 3

Тогда u1 u1 60.268 МПа, u2 u3 -23.336 МПа,

3 u3 1 I1 -36.931 + 1 119= 2.735 МПа.

3 3

Для проверки правильности определения главных напряжений определим величины инвариантов тензора напряжений через главные напряжения

Как видно, эти результаты вычислений отличаются от ранее полученных результатов на не более чем 1%.

Положение первой главной площадки (l1 ,m1,n1 ), на ко-

торой действует главное напряжение 1 , определяем из сис темы уравнений

Тогда m1 0.8792l1,

126

n1 1 60.934 33*( 0.8792) l1 0.9672l1 . 33

Из третьего уравнения получаем l12(1 0.87922 0.96722 ) 1.

Тогда

l1 0.6076; m1 0.8792*0.6076= 0.5342; n1 0.9672*0.6076= 0.5877.

Положение второй главной площадки (l2 ,m2 ,n2 ), на ко-

торой действует главное напряжение 2 , определяем из системы уравнений

Исключаем из первых двух уравнений n2 и получаем

Из третьего уравнения получаем

127

l22(1 3.81332 4.50032 ) 1.

Тогда

l2 0.1671; m2 3.8133*0.1671= 0.6374; n2 -4.5003*0.1671= -0.7522.

Положение третьей главной площадки (l3 ,m3 ,n3 ), на ко-

торой действует главное напряжение 3 , определяем из си-

стемы уравнений

Из третьего уравнения получаем l32(1 0.71522 0.38382 ) 1.

Тогда

l3 0.7764; m3 -0.7152*0.7764= -0.5553;

128

n3 -0.3838*0.7764= -0.2980.

Подставляя в соотношения (6.7) результаты расчетов, можно убедиться, что (6.7) удовлетворяются с погрешностями,

не превышающими погрешности вычислений.

129