2087
.pdfTP 225 150 мПа . n 1,5
Расчетная величина момента сопротивления балки определяется из условия прочности
Wxр Mx мах / 90*106/150= = 0,6*106 мм3= 600 см3.
Для круглого сечения
Wx D3 / 32.
Тогда
|
32Wxр |
|
|
32 600 |
|
|
D 3 |
|
3 |
|
|
18,282 см. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
Площадь круглого сечения |
|
|
|
|||
F D2 / 4 |
18,2822/4= 262,509 см3. |
Коэффициент экономичности круглого сечения
Kкр |
|
Wx |
|
|
D3 8 |
|
|
1 |
|
0,141. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
F F |
|
32 |
D3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
Для прямоугольного сечения Wx bh2 /6 . Поскольку
h 1,5b, |
получаем Wx b2,25b2 / 6 0,375b3 и |
||||||
b 3 |
|
Wx |
|
|
3 |
|
11,695см. |
|
|
600 / 0,375 |
|||||
|
|
0,375
Площадь сечения
F 1,5b2 1,5*11,6952= 205,177 см2.
Коэффициент экономичности прямоугольного сечения
Kпр |
|
W |
x |
|
|
0,375b |
3 |
|
0,375 |
0,2042. |
||
F |
|
|
|
|
|
|
1,725 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
F |
1,5 1,5b3 |
|
Для составного сечения, состоящего из двух поставленных вплотную друг к другу швеллеров Wx1 0,5Wxр
0,5*600= 300 см3. По сортаменту швеллеров (М.У. 145-90)
90
определяем швеллер № 27 с характеристиками Wx 308 см3 и
F 35,20 см2.
Коэффициент экономичности составного сечения
Kс |
|
2Wx |
|
|
2 |
308 |
|
1,043. |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
2F |
2F |
2 35,2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 35,2 |
Из рассмотренных сечений наиболее экономичным является составное сечение из двух швеллеров.
Рассмотрим рекуррентный способ построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил на примере той же балки (рис. 4.5).
1 участок 0 z1 a1 k1a 2a.
Рассматриваем левую отсеченную часть балки. Тогда
Qy ( z1 ) q1 z1 2qz1, Qy(0 ) 0,
Qy (a1 ) 2q 2a 4qa,
Mx ( z1 ) 0,5q1 z12 0.5 2q z12 ,
M x (0 ) 0 ,
M x(a1 ) q (2a)2 2qa2 .
2 участок 0 z2 a2 k2a a.
Рассматриваем левую отсеченную часть участка 2.
Qy ( z2 ) Qy ( 0 ) RA 4qa 2qa 2qa, Qy (0 ) 2qa ,
M x ( z2 ) M x ( 0 ) Qy ( 0 )z2 m2 RA z2 ,
4qa2 4qaz2 3qa2 2qaz2 ,
M x (0) -7qa2 ,
M x (a2 ) 9qa2 .
3 участок 0 z3 a3 k3a 3a.
Рассматриваем левую отсеченную часть участка 3. 91
Qy ( z3 ) Qy ( 0 ) RB , Qy(0) 2qa 5qa 3qa , Qy(a3 ) 3qa,
M x ( z3 ) M x ( 0 ) Qy ( 0 )z3 RB z3 ,
9qa2 2qaz3 5qaz3 M x (0) 9qa2 ,
M x (a3 ) 0 .
Как видно из рассмотренного примера рекуррентные соотношения позволяют получить выигрыш в объеме вычислений, особенно для балок с большим числом участков. Как видно из следующего примера рекуррентные соотношения наиболее удобны при построении эпюр внутренних силовых факторов для рам.
Пример 10
Построение эпюр поперечных сил, изгибающих моментов и нормальных сил, определение размеров сечения заданной формы для плоской рамы (задача № 5)
Построить эпюры поперечных сил для прямоугольной плоской
|
рамы (рис. 4.6). Вычис- |
||||
|
лить все характерные ор- |
||||
|
динаты для этих эпюр. |
||||
|
Принять |
|
|
|
|
|
a 1 м, q 10 кН/м. |
|
|||
|
2. Построить |
эпюры |
|||
|
изгибающих |
моментов |
и |
||
|
из условия прочности по- |
||||
|
добрать размеры указан- |
||||
|
ных ниже сечений приняв |
||||
|
в качестве |
материала |
- |
||
Рис. 4.6 |
сталь Ст. 3 с пределом |
||||
текучести |
T |
225 |
|||
|
|||||
|
92 |
|
|
|
МПа. Коэффициент запаса прочности n принять равным 1,5. 3. Подобрать размеры коробчатого сечения h, b, t, при-
няв h / b 2, b / t 5.
При определении размеров всех сечений использовать условие прочности для нормальных напряжений. Касательные напряжения от поперечной силы не учитывать.
Исходные данные взять из строки 6 таблицы 6 [3].
Решение Величины распределенных нагрузок, сосредоточенных
моментов mi , сил Pi и длин участков определяются по фор-
мулам
qi kqiq , Pi kpiqa, mi kmiqa2 , ai kia.
Тогда
q1 kq1q q1 2q ; P3 kp3qa 3*qa; m2 km2qa2 3*qa2 ; a1 k1a 2*a= 2a; a2 k2a 1*a= a; a3 k3a 3*a= 3a.
Прочие нагрузки на раму отсутствуют.
Рама имеет шарнирно – неподвижную опору А и шарнирно – подвижную опору В. Поскольку опора В перемещается горизонтально, горизонтальная составляющая реакции в опоре В равны нулю.
Вертикальные составляющие реакций RA и RB и горизонтальную составляющую реакции в опоре А определим из уравнений равновесия моментов сил относительно точек А и В и уравнения равновесия сил в проекциях на горизонтальную ось Х:
MA 0 ,
RBa2 P3 a1 m2 0,5q1(a1 )2 0
RBa 3qa 2a 3qa2 0,5 2q(2a)2 0,
RB 13qa 0
93
X 0,
HA P3 q1a1 0,
HA 3qa 2q 2a 0,
Рис. 4.7
HA 7qa 0,
MB 0, 94
RAa P3 a3 m2 q1a1(a3 0.5a1 ) HA(a3 a1 ) 0
RA 3qa 3a 3qa2 2q 2a(3a
0.5 2a) HA(3a 2a) 0,
или
RA 20qa2 HA 3a 0,
или
Из второго уравнения следует H A 7kpqa 7qa . Знак « + » означает, что направление реакции HA совпадает с направлением, указанным на рис. 4.7.
Из первого уравнения следует RB 13qa2 .
Из второго уравнения следует RA 13qa2 .
Знак « - » означает, что направление реакции RA противоположно направлению, указанному на рисунке 4.7.
Для поверки правильности определения реакций составим уравнение равновесия сил в проекциях на вертикальную ось у
Y 0,
RA RB 0,
или RA RB 0 , 13qa 13qa 0.
Реакции определены правильно.
Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Рама имеет три участка для построения эпюр.
1 участок 0 z1 a1 k1a 2a. Рассматриваем левую отсеченную часть рамы.
Qy ( z1 ) HA q1 z1 7qa 2qz1 ,
Qy(0) H A 7qa,
Qy (a1 ) 3qa,
M x( z1 ) H Az1 0,5q1 z12 7qaz1 0,5 2q z12 ,
M x (0) 0 ,
95
Mx (a1 ) 10qa2 ,
N(z1 ) RA= 13qa ,
N(0) N(a1 ) 13qa .
2 участок 0 z2 a2 k2a a. Рассматриваем правую отсеченную часть рамы.
Qy ( z2 ) RB 13qa,
Qy(0) 13qa,
Qy (a2 ) 13qa,
M x ( z2 ) RB z2 13qaz2 , M x (0) 0 ,
Mx (a2 ) 13qa2 ,
N( z2 ) P3 = 3qa, N(0) N(a1 ) 3 qa.
3 участок 0 z3 a3 k3a 3 a. Рассматриваем правую отсеченную часть рамы.
Qy( z3 ) 0, Qy (0 ) 0 , Qy (a3 ) 0,
M x( z3 ) 0, M x (0 ) 0, M x(a3 ) 0,
N( z3 ) RB = -13qa,
N(0) N(a1 ) -13qa.
По полученным величинам Qy , Mx и N строим эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и нормальных сил (рис. 4.7). По эпюре Mx определяем максимальный по моду-
лю изгибающий момент в поперечных сечениях рамы
96
Mx мах = 13 qa2 = 130 кНм.
Подбор размеров и характеристик поперечных сечений рамы Допускаемое нормальное напряжение в раме определяется по
формуле TP 225 150 мПа . n 1,5
Расчетная величина момента сопротивления рамы определяется из условия прочности
Wxр Mx мах / 130*106/150= 0,866*106 мм3= 866 см3.
Для коробчатого сечения Wx Jx / ymax , где
Jx |
|
bh3 |
(b 2t )(h 2t )3 |
b8b |
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12 |
|
|
|
|
12 |
|
|||||||
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
(5t 2 t )(10t 2t )3 |
|
3 83 t4 |
128t4 - |
|||||||||
|
|
|
12 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
момент инерции коробчатого сечения относительно оси х; ymax h / 2 b 5t -максимальное расстояние до точек сече-
ния от нейтральной оси сечения. Тогда
Wx 128t4 / 5t 25,6t3
и
t 3Wx / 25,6 25,652мм.
Площадь сечения
Fbh (b 2t )(b 2t ) 5t 10t (5t 2 t)(10t 2t ) 26t2 .
Тогда
Wx 25,6t3 25,6*25,6523= 430756 мм3,
F 26t2 26*25,6252= 17072 мм2.
Коэффициент экономичности коробчатого сечения
K |
Wx |
|
|
128t |
3 |
0,965. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
F |
F |
|
|
26 26t3 |
При определении размеров сечения не учитывались нор97
мальные напряжения, вызванные нормальными силами. Максимальное по модулю нормальное напряжение в се-
чении
max |
|
M xmax |
|
N |
|
866 10 |
6 |
|
30 10 |
3 |
150,8231мПа |
|
|
|
|
|
|
||||||
Wx |
|
430756 |
17072 |
||||||||
|
|
|
F |
|
|
превышает допускаемое напряжение 150мПа и условие прочности рамы не выполняется. Однако перегрузка составляет
|
max |
100% |
150,8231 150 |
100% 0,55% |
|
150 |
|||
|
|
|
|
, |
что не превышает 5% и поэтому допустимо. Рассмотрим рекуррентный способ построения эпюр из-
гибающих моментов и поперечных сил на примере той же рамы
(рис. 4.7).
Для этого следует иметь в виду, что если предыдуший и рассматриваемый участки рамы расположены на одной прямой (имеют совпадающие продольные оси) то можно использо-
вать рис. 4.8. К ранее рассмотренным рекуррентным соотношениям для балки добавится соотношение между нормальными силами
N( z ) N( 0) R,
где R - сила, параллельная продольной оси рассматриваемого участка рамы, приложенная в крайнем левом сечении рассматриваемого участка; N( 0) - нормальная
Рис. 4.9
98
сила в крайнем правом сечении i-1 участка рамы.
Если же рассматриваемый i -тый и предыдущий i-1 участки рамы повернуты друг относительно друга на прямой угол, то для получения рекуррентных соотношений нужно использовать приведение внутренних силовых факторов, действующих в крайнем правом сечении i-1 участка к центру тяжести i того участка.
1 участок 0 z1 a1 k1a 2a.
Рассматриваем левую отсеченную часть балки. В этом случае рекуррентные соотношения использовать не возможно и внутренние силовые факторы нужно определять на основании правил знаков, так же как выше.
2 участок 0 z2 a2 k2a a.
Рассматриваем левую отсеченную часть участка 2.
Q( z2 ) N( 0) ( RA ) 13qa,
Q(0) 13qa,
Q(a) 13qa ,
M( z2 ) M( 0 ) N( 0)z2 m2 10qa2 13qaz2 3qa2 ,
M(0) 13qa2 ,
M(a2 ) 0 ,
N( z2 ) Q( 0 ) 3qa2 ,
N(0) 3qa2 ,
N(a1 ) 3qa2 .
3 участок 0 z3 a3 k3a 3a.
Рассматриваем левую отсеченную часть участка 3. Координата z3 отсчитывается от точки приложения силы P3
Q( z3 ) N( 0) P3 3qa P3 3qa 3qa 0, Q(0 ) 0 ,
Q(a3 ) 0,
99