2087

где l ij, N ij - удлинение и нормальная сила для стержня i, вызванные БП с номером j.

Если некоторая точка А участвует одновременно в двух перемещениях вдоль осей системы координат, то полное перемещение этой точки определяется по формуле

где АХ, АY - перемещение вдоль осей X и Y.

При использовании МБП следует помнить, что принцип суперпозиции перемещений, на котором основан МБП, применим при достаточно малых перемещениях, когда напряжения в стержнях не превышают пределы пропорциональности материалов стержней. Поэтому при составлении уравнений равновесия и схем перемещений можно считать размеры деформированной системы равными размерам этой системы до деформации (принцип начальных размеров).

Метод базовых перемещений имеет ряд весьма ценных достоинств.

Следует отметить, что метод базовых перемещений применим и к стержневым шарнирным системам, содержащим произвольное количество стержней и твердых тел.

В некоторых случаях МБП позволяет раскрыть статическую неопределимость системы без определения реакций опор (см. пример 1).

Методы, использующие уравнения совместности перемещений, не удобны потому, что требуют построения картины перемещений и учета специфики деформирования систем.

Метод базовых перемещений позволяет формализовать составление уравнений совместности перемещений. При большом количестве стержней метод позволяет значительно понизить порядок разрешающих уравнений. Метод не требует построения картины перемещений стержней и тел системы, что особенно удобно при рассмотрении пространственных си-

30

стем.

Традиционные методы расчета рассматриваемых систем, основанные на энергетических соотношениях и использующие канонические уравнения метода сил, требуют очень громоздких выкладок и приводят к разрешающим системам уравнений, количество которых равно количеству стержней в системе.

2.2.3. Алгоритм решения задач МБП

При использовании МБП для решения задач сопротивления материалов нет необходимости определять степень статической неопределимости системы, поскольку количество правильно выбранных БП всегда равно количеству независимых уравнений статики. Поэтому исчезает различие между статически определимыми и неопределимыми системами. Это в значительной мере упрощает алгоритм решения задач. Решение задач сопротивления материалов МБП ведется в следующем порядке:

1.Определить количество узлов и дисков.

2.Выбрать нужное число узлов и точек дисков и задать БП для этих узлов и точек. БП для дисков должны удовлетворять связям, наложенным на диски, если таковые имеются. Если какая - либо точка диска неподвижна, то в качестве БП для диска можно использовать или его угол поворота относительно точки закрепления, или перемещение некоторой его точки, направленное перпендикулярно радиусу, соединяющему эту точку с точкой закрепления.

3.Отбросить стержни системы. Считая стержни растянутыми, то есть направленными от узлов или дисков, заменить их действие на диски или узлы нормальными силами. Записать уравнение равновесия узлов или дисков. Число уравнений равновесия узла или диска должно быть равно числу его БП W.

4.Выразить нормальные силы в стержнях через жесткости стержней и базовые перемещения.

5.Подставить нормальные силы в уравнения равновесия.

31

6.Решить уравнения равновесия относительно БП.

7.Определить нормальные силы в стержнях.

8.Проверить правильность решения подстановкой величин нормальных сил в уравнения равновесия.

2.2.4.МБП для плоских стержневых систем

в матричной форме

Для использования матриц в решении задач МБП нужно уметь строить матрицы систем уравнений равновесия и совместности деформаций.

Пусть n и m числа стержней и базовых перемещений си-

стемы, N N1 , N2 , Nn T - матрица столбец нормальных сил в стержнях, Pˆ p1 , p2 , pm T - матрица правых частей системы уравнений равновесия. Пусть R rij (m n)- матри-

ца коэффициентов системы уравнений равновесия стержневой системы. Тогда система уравнений равновесия стержневой системы имеет вид

RN Pˆ .

Пусть l l1 ,l2 , ln T - матрица –столбец длин стержней

матрица жесткостей стержней, а

D dij (m n)- матрица связи удлинений стержней си-

стемы с базовыми перемещениями, такая, что

Dˆ . 32

Тогда N CDˆ , и система уравнений для определения базовых перемещений принимает вид

RCD ˆ Pˆ .

Пусть M mij (m m) RCD , и пусть M 1 - матрица, об- ратная для M . Тогда

ˆ M 1Pˆ .

Поскольку в упругой системе определенным нагрузкам всегда соответствуют определенные перемещения всех точек системы, и наоборот, правильно построенная матрица M всегда имеет определитель отличный от нуля (невырожденная

матрица). Поэтому обратная матрица M 1 всегда существует.

Определив ˆ , можно определить удлинения стержней, нормальные силы и нормальные напряжения в стержнях.

2.2.4.1. Определение температурных напряжений

При определении температурных напряжений внешние нагрузки считаются отсутствующими.

Поэтому матрица Pˆ – матрица правых частей уравнений равновесия становится нулевой

Pˆ 0,0, 0 T .

Уравнения равновесия системы принимают вид

RN 0 .

Удлинение стержня определяется по формуле

li Nili tli Cii1Ni tli ,

EFi

где Ni - нормальная сила в поперечном сечении стержня; li -

длина участка стержня; Ei – модуль упругости стержня; Fi –

площадь поперечного сечения стержня на участке с номером i; - коэффициент линейного расширения материала стержней.

33

В матричном виде получается

Dˆ C 1N tl ,

где C 1- матрица, обратная к матрице жесткости системы. Умножение этого выражения на RC дает

RCDˆ RCC 1N tRCl .

По определению CC 1 I , где I - единичная матрица порядка n n.

Поскольку RI R и RN 0 , получается

RCDˆ tRCl .

Уравнения для определения базовых перемещений в матричной форме имеют вид

Mˆ tRCl ,

Отсюда следует

ˆ M 1 tRCl .

Матрица нормальных сил определяется по формуле

NCDˆ tCl .

2.3.Исследование статически неопределимых стержневых систем с использованием уравнений совместности перемещений

стемы можно составить k независимых уравнений статики. Пусть нормальные силы в стержнях системы определяются n неизвестными величинами. Стержневая система будет статически определимой, если число неизвестных n не превышает

число независимых уравнений k равновесия, составленных по правилам статики. Если число неизвестных больше возможного числа уравнений равновесия, система становится статически неопределимой. Величина L n k называется степенью статической неопределимости системы. Для рассмотрения статически неопределимых стержневых систем необходимо, в

дополнение к уравнениям статики, составить уравнения совместности перемещений. Число уравнений совместности перемещений должно соответствовать числу "лишних" неизвестных системы (термин «лишних» надо понимать как «нормальных сил в стержнях, не требующихся для обеспечения равновесия системы»).

Например, в системе, изображенной на рис 2.2, один из стержней является лишним и без него равновесие тела АВС

может быть обеспечено.

Число лишних неизвестных определяет степень статической неопределимости стержневой системы. Если система имеет одну, две и т.д. лишних неизвестных, то ее называют один раз (или однажды), два раза (или дважды) и т.д. статически неопределимой. Число уравнений совместности перемещений должно соответствовать степени статической неопределимости.

Наиболее трудной частью изучения статически неопределимых систем является составление уравнений перемещений, которые отражают большое разнообразие физических явле-

35

ний, происходящих в системе. Необходимо отметить, что если в статически определимых системах силы в их упругих элементах могут возникать только от активных и реактивных внешних сил, то в стати-

деформированной системы должны оставатъся в тех же шарнирах, что и недеформированной, даже если эти шарниры перемещаются. Например, в системе, изображенной на рис. 2.2, шарниры В и С будут поворачиваться вокруг шарнира А, так как соединяют стержни 1 и 2 с жестким телом АВС. При этом, вследствие малости удлинений по сравнению с длинами стержней, используются следующие допущения:

I) ориентация оси любого стержня в процессе деформирования системы не изменяется;

2) если жесткое тело в соответствии с наложенными связями может совершать вращательное движение, дуги окружностей, по которым перемещается его точки, заменяет отрезками касательных к этим окружностям.

Эти допущения в большинстве случаев практически очень точно выполняются.

Рассмотрим составление уравнений совместности перемещений на нескольких примерах.

На рис. 2.3, а-2.6, а, представлены стержневые системы, а на рис. 2.3, б –2.6, б представлены схемы деформирования

36

Рис. 2.5

этих систем с учетом принятых допущений. На этих схемах цифрами без штрихов помечены части стержней, недеформированной системы, а цифрами со штрихами помечены те же части стержней деформированной системы.

Случай 1.

Система, изображенная на рис. 2.3, а один раз статически неопределима (L = 1). Вследствие симметрии шарнир А пере-

l3 l2 cos .

Случай 2.

Система (рис. 2.4, а) один раз статически неопределима (L = 1). Вследствие симметрии шарниры А и В перемещаются по вертикали и удлинения l1 l2 , l4 l5 . Из схемы де-

формирования (см. рис. 2.4, б) следует

A B AB BB AA , AA AC1 / cos ,

BB B D1 / cos , A B AB l3 , AC1 l1 ,

поскольку первый стержень укоротился.

Уравнение совместности перемещений имеет вид

37

Случай 3.

Система (рис. 2.5, а) один раз статически неопределимая (L = 1). Точка А абсолютно твердого тела остается неподвижной, поэтом тело совершает в процессе деформирования вращательное движение. На схеме деформирования (см. рис. 2.5, б) АС и AC - начальное и возможное положения этого тела. Так как BAB подобен CAC , C C CD / sin , BB l1 ,

CD l2 , поскольку стержень 2 укоротился. Уравнение совместности перемещений имеет вид:

AC l2 sin

Случай 4.

Рис. 2.6

Система (рис. 2.6, а) один раз статически неопределима (L = 1). В процессе деформирования точка О абсолютного твердого тела ОС перемещается по вертикали и при этом тело может поворачиваться вокруг точки О (см. рис. 2.6, б). Из указанной схемы деформирования следует: B B BB BB ,

C C CC CC , C C B B AA , A B B подобен

A C C , поэтому B B / C C AB / AC . Так как

C C B B l1 , B B l2 ,CC l3 , уравнение совместности перемещений имеет вид

( l2 l1 )/( l3 l1 ) AB / AC .

38

Расчет статически неопределимых систем ведется в следующем порядке.

l. Выбирают тело, равновесие которого нужно рассмотреть. Освобождают его от связей и нагружают активными силами и реакциями стержней, считая стержни pастянутыми. Классифицируют получившуюся систему сил и составляют уравнения равновесия.

2.Определяют степень статической неопределимости си-

стемы.

3.Рассматривая возможные перемещения, соответствующие наложенным связям составляют уравнения совместности перемещений характерных точек стержней и выражают перемещения шарниров стержней через удлинения стержней.

При этом принимают:

а.) если из схемы возможных перемещений следует, что какой либо стержень укоротился, то удлинение в уравнении перемещений берут со знаком минус;

6) если стержень К изготовлен с погрешностью длины K , то в уравнении совместности перемещений, составленном без

проектного и K < 0 - если короче.

4. Заменяют в уравнениях совместности перемещений удлинения нормальными силами по закону Гука, при этом длины стержней берут равными расчетным (проектным) длинам

lK ( t N / EF )dz .

lK

Частные случаи:

а) если в стержне реализуется однородное напряженное состояние и t const tK , const K , то

39